Le principe local-global concret de base peut être reformulé comme un
hhprincipe de transfertii.
2.8. Principe de transfert de base.
Pour un système linéaire dans un anneau A les éléments s tels que le système linéaire ait une solution dans A[1/s] forment un idéal de A.
Nous proposons tout d’abord à la lectrice de faire la démonstration que ce principe de transfert est équivalent au principe local-global concret de base. Nous faisons maintenant une analyse détaillée de ce qui se passe. L’équiva- lence repose en fait sur la notion suivante.
2.9. Définition. Une propriété P concernant les anneaux commutatifs et
les modules est dite de caractère fini si elle est conservée par localisation (par passage de A à S−1A) et si, lorsqu’elle est vérifiée avec S−1A, alors
elle est vérifiée avec A[1/s] pour un certain s ∈ S.
2.10. Fait. Soit P une propriété de caractère fini. Alors, le principe local-
global concret pour P est équivalent au principe de transfert pour P. Autre- ment dit les principes suivants sont équivalents.
1. Si la propriété P est vraie après localisation en une famille de mo- noïdes comaximaux, alors elle est vraie.
2. L’ensemble des éléments s de l’anneau pour lesquels la propriété P est vraie après localisation en s forme un idéal.
J
Soit A un anneau qui fournit le contexte pour la propriété P. Considérons alors l’ensemble I = { s ∈ A | P est vraie pour As}.1. ⇒ 2. Supposons 1. Soient s, t ∈ I, a, b ∈ A et u = as + bt. Les éléments s
et t sont comaximaux dans Au. Puisque P est stable par localisation, P est
vraie pour (Au)s= (As)u et (Au)t= (At)u. En appliquant 1, P est vraie
pour Au, i.e., u = as + bt ∈ I.
2. ⇒ 1. Supposons 2 et soit (Si) la famille de monoïdes comaximaux consi-
dérée. Puisque la propriété est de caractère fini, on trouve dans chaque Si
un élément si tel que P soit vraie après localisation en si. Puisque les Si
sont comaximaux les si sont des éléments comaximaux. En appliquant 2,
on obtient I = h1i. Et la localisation en 1 donne la réponse. La plupart des principes local-globals concrets que nous considérerons dans cet ouvrage s’appliquent pour des propriétés de caractère fini. Si le lecteur le préfère, il a tout le loisir de remplacer alors le principe local-global concret par le principe de transfert correspondant.
En mathématiques classiques on a pour les propriétés de caractère fini l’équi- valence de deux notions, l’une concrète et l’autre abstraite, comme expliqué dans le fait suivant. On utilisera la version concrète dans les chapitres XV et XVII.
2. Principe local-global de base 25
2.11. Fait∗.Soit P une propriété de caractère fini. Alors, en mathématiques classiques les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Il existe des monoïdes comaximaux tels que la propriété P soit vraie après localisation en chacun des monoïdes.
2. La propriété P est vraie après localisation en tout idéal maximal.
J
1. ⇒ 2. Soit (Si) la famille de monoïdes comaximaux considérée. Puisquela propriété est de caractère fini, on trouve dans chaque Si un élément si tel
que P soit vraie après localisation en si. Puisque les Si sont comaximaux
les si sont des éléments comaximaux. Soit m un idéal maximal. L’un des si
n’est pas dans m. La localisation en 1 + m est une localisation de la locali- sation en si. Donc P est vraie après localisation en 1 + m.
2. ⇒ 1. Pour chaque idéal maximal m sélectionnons un sm ∈ m tel que la/
propriété P soit vraie après localisation en sm. L’ensemble des sm engendre
un idéal qui n’est contenu dans aucun idéal maximal, donc c’est l’idéal h1i. Une famille finie de certains de ces sm est donc un système d’éléments co-
maximaux. La famille des monoïdes engendrés par ces éléments convient. On a le corollaire immédiat suivant.
2.12. Fait∗. Soit P une propriété de caractère fini. Alors, le principe local-
global concret pour P est équivalent (en mathématiques classiques) au prin- cipe local-global abstrait pour P. Autrement dit les principes suivants sont équivalents.
1. Si la propriété P est vraie après localisation en une famille de mo- noïdes comaximaux, alors elle est vraie.
2. Si la propriété P est vraie après localisation en tout idéal maximal, alors elle est vraie.
Remarque. Donnons une démonstration directe de l’équivalence en mathéma-
tiques classiques du principe de transfert et du principe local-global abstrait pour la propriété P (supposée de caractère fini).
Transfert ⇒ Abstrait. Supposons la propriété vraie après localisation en tout
idéal maximal. L’idéal donné par le principe de transfert ne peut pas être strict3car sinon il serait contenu dans un idéal maximal m, ce qui est en
contradiction avec le fait que la propriété est vraie après localisation en un s /∈ m.
Abstrait ⇒ Transfert. Pour chaque idéal maximal m sélectionnons un sm ∈ m/
tel que la propriété P soit vraie après localisation en sm. L’ensemble des sm
engendre un idéal qui n’est contenu dans aucun idéal maximal, donc c’est
3. Rappelons qu’un idéal est dit strict lorsqu’il ne contient pas 1. Nous ferons usage de cette notion essentiellement dans nos commentaires au sujet des mathématiques classiques.
l’idéal h1i. On peut conclure par le principe de transfert : la propriété est vraie après localisation en 1 !
Commentaire. L’avantage de la localisation en un idéal premier est que
le localisé est un anneau local, lequel a de très bonnes propriétés (voir le chapitre IX). Le désavantage est que les preuves qui utilisent un prin- cipe local-global abstrait en lieu et place du principe local-global concret correspondant sont non constructives dans la mesure où le seul accès que l’on a (dans une situation générale) aux idéaux premiers est donné par le lemme de Zorn. En outre même le fait 2.2 est obtenu au moyen d’un raisonnement par l’absurde qui enlève tout caractère algorithmique à la
hhconstructioniicorrespondante.
Certains principes local-globals concrets n’ont pas de correspondant abstrait, parce que la propriété concernée n’est pas de caractère fini. Ce sera le cas des principes local-globals concrets 3.6 pour les modules de type fini et 3.5 pour les anneaux cohérents.
Nous ferons un usage systématique efficace et constructif du principe local- global concret de base et de ses conséquences. Souvent, nous nous inspirerons d’une démonstration d’un principe local-global abstrait en mathématiques classiques. Dans le chapitre XV nous mettrons au point une machinerie locale-globale générale pour exploiter à fond de manière constructive les preuves classiques de type local-global.
Version abstraite du principe local-global de base
Vu que la propriété considérée est de caractère fini, on obtient en mathéma- tiques classiques la version abstraite suivante pour le principe local-global de base.
2.13. Principe local-global abstrait∗. (Principe local-global abstrait de
base : recollement abstrait de solutions d’un système linéaire)
Soient B une matrice ∈ Am×p et C un vecteur colonne de Am. Alors les
propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Le système linéaire BX = C admet une solution dans Ap.
2. Pour tout idéal maximal m le système linéaire BX = C admet une solution dans (A1+m)p.