Sommaire
Introduction . . . . 15 1 Quelques faits concernant les localisations . . . . 15 2 Principe local-global de base . . . . 18 Localisations comaximales et principe local-global . . . 18 Propriétés de caractère fini . . . 23 Rendre des éléments comaximaux par force . . . 26 3 Anneaux et modules cohérents . . . . 26 Une notion fondamentale . . . 26 Caractère local de la cohérence . . . 29 Au sujet du test d’égalité et du test d’appartenance . . . 30 Anneaux et modules cohérents fortement discrets . . . 32 4 Systèmes fondamentaux d’idempotents orthogonaux . . . . . 32 5 Un peu d’algèbre extérieure . . . . 35 Sous-modules libres en facteur direct (splitting off) . . . 36 Le rang d’un module libre . . . 37 Puissances extérieures d’un module . . . 38 Idéaux déterminantiels . . . 39 Rang d’une matrice . . . 40 Méthode du pivot généralisée . . . 41 Formule de Cramer généralisée . . . 43 Une formule magique . . . 44 Inverses généralisés et applications localement simples . . . 45 Grassmanniennes . . . 47 Critères d’injectivité et de surjectivité . . . 48 Caractérisation des applications localement simples . . . 49 Trace, norme, discriminant, transitivité . . . 51
6 Principe local-global de base pour les modules . . . . 56 Complexes et suites exactes . . . 57 Localisation et suites exactes . . . 58 Principe local-global pour les suites exactes de modules . . . 59 Exercices et problèmes . . . . 60 Solutions d’exercices . . . 72 Commentaires bibliographiques . . . . 84
Dans ce chapitre, comme dans tout l’ouvrage sauf mention expresse du contraire, les anneaux sont commutatifs et unitaires, et les homomorphismes entre anneaux respectent les 1. En particulier, un sous-anneau a le même 1 que l’anneau.
Introduction
La théorie de la résolution des systèmes linéaires est un thème omniprésent en algèbre commutative (sa forme la plus évoluée est l’algèbre homologique). Nous donnons dans ce chapitre un rappel de quelques résultats classiques sur ce sujet. Nous y reviendrons souvent.
Nous insistons particulièrement sur le principe local-global de base, sur la notion de module cohérent et sur les variations autour de la formule de Cramer.
1. Quelques faits concernant les quotients et
les localisations
Commençons par un rappel sur les quotients. Soit a un idéal de A. En cas de besoin, on notera l’application canonique par πA,a: A → A/a .
L’anneau quotient (A/a , πA,a) est caractérisé, à isomorphisme unique près,
par la propriété universelle suivante.
1.1. Fait. (Propriété caractéristique du quotient par l’idéal a)
Un homomorphisme d’anneaux ψ : A → B se factorise par πA,a si, et
seulement si, a ⊆ Ker ψ, c’est-à-dire encore si ψ(a) ⊆ {0B}. Dans ce cas,
la factorisation est unique.
A πA,a ψ %% A/a θ ! // B
homomorphismes nuls sur a.
Explication concernant la figure. Dans une figure du type ci-dessus, tout est
donné, sauf le morphisme θ correspondant à la flèche en traits tiretés. Le point d’exclamation signifie que θ fait commuter le diagramme et qu’il est
1. Quelques faits concernant les localisations 17
On note M /aM le A/a -module quotient du A-module M par le sous- module engendré par les ax pour a ∈ a et x ∈ M . Ce module peut aussi être défini par extension des scalaires à A/a du A-module M (voir page 209, et l’exercice IV -5).
Passons aux localisations, qui sont très analogues aux quotients (nous reviendrons plus en détail sur cette analogie, en page 658). Dans cet ouvrage, lorsque l’on parle d’un monoïde contenu dans un anneau, on entend toujours une partie contenant 1 et stable pour la multiplication.
Pour un anneau A nous noterons A× le groupe multiplicatif des éléments inversibles, encore appelé groupe des unités.
Si S est un monoïde, on note AS ou S−1A le localisé de A en S. Tout
élément de AS s’écrit x/s avec x ∈ A et s ∈ S.
Par définition on a x1/s1= x2/s2s’il existe s ∈ S tel que ss2x1= ss1x2. En
cas de besoin, on notera jA,S : A → AS l’application canonique x 7→ x/1.
Le localisé (AS, jA,S) est caractérisé, à isomorphisme unique près, par la
propriété universelle suivante.
1.2. Fait. (Propriété caractéristique de la localisation en S)
Un homomorphisme d’anneaux ψ : A → B se factorise par jA,S si, et
seulement si, ψ(S) ⊆ B×, et dans ce cas la factorisation est unique.
A jA,S ψ && S−1A θ ! // B
homomorphismes qui envoient S dans B×.
De même, on note MS = S−1M le AS-module localisé du A-module M
en S. Tout élément de MS s’écrit x/s avec x ∈ M et s ∈ S. Par définition,
on a x1/s1= x2/s2s’il existe s ∈ S tel que ss2x1= ss1x2. Ce module MS
peut aussi être défini par extension des scalaires à AS du A-module M
(voir page 209, et l’exercice IV -5).
Un monoïde S dans un anneau A est dit saturé lorsque l’implication ∀s, t ∈ A (st ∈ S ⇒ s ∈ S)
est satisfaite. Un monoïde saturé est également appelé un filtre. Nous appellerons filtre principal un filtre engendré par un élément : il est constitué de l’ensemble des diviseurs d’une puissance de cet élément.
On note Ssat le saturé du monoïde S ; il est obtenu en rajoutant tous les
éléments qui divisent un élément de S. Si l’on sature un monoïde S, on ne change pas la localisation1. Deux monoïdes S
1 et S2sont dits équivalents
1. En fait, selon la construction précise que l’on choisit pour définir une localisation, on aura ou bien égalité, ou bien isomorphisme canonique, entre les deux localisés.
s’ils ont le même saturé. Dans ce cas, on écrit AS1= AS2.
Nous gardons la possibilité de localiser en un monoïde qui contient 0. Le résultat est alors l’anneau trivial (rappelons qu’un anneau est trivial
s’il est réduit à un seul élément, c’est-à-dire encore si 1 = 0).
Si S est engendré par s ∈ A, c’est-à-dire si S = sN def= sk| k ∈ N , on
note Asou A[1/s] le localisé S−1A, qui est isomorphe à A[T ]/hsT − 1i.
Dans un anneau le transporteur d’un idéal a dans un idéal b est l’idéal (b : a)A= { a ∈ A | aa ⊆ b } .
Plus généralement, si N et P sont deux sous-modules d’un A-module M , on définit le transporteur de N dans P comme l’idéal
(P : N )A= { a ∈ A | aN ⊆ P } .
Rappelons aussi que l’annulateur d’un élément x d’un A-module M est l’idéal AnnA(x) = (h0Ai : hxi) = { a ∈ A | ax = 0 }.
L’annulateur du module M est l’idéal AnnA(M ) = (h0Mi : M )A. Un module
ou un idéal est fidèle si son annulateur est réduit à 0.
Les notations suivantes sont également utiles pour un sous-module N de M . (N : a)M = { x ∈ M | x a ⊆ N } .
(N : a∞)M = { x ∈ M | ∃n, x an⊆ N } .
Ce dernier module s’appelle le saturé de N par a.
Nous disons qu’un élément x d’un A-module M est régulier (si M = A on dit aussi que x est non diviseur de zéro, en un seul mot) si la suite
0 −→ A−→ M.x
est exacte, autrement dit si Ann(x) = 0. Si 0A est non diviseur de zéro
dans A, l’anneau est trivial.
En général pour alléger les notations précédentes concernant les transpor- teurs on omet l’indice A ou M lorsqu’il est clair d’après le contexte. L’anneau total des fractions de A, que nous notons Frac A, est l’anneau localisé AS, où S est le monoïde des éléments réguliers de A, que nous
notons Reg A.
1.3. Fait.
1. Le noyau de l’homomorphisme naturel jA,s: A → As= A[1/s] est
l’idéal (0 : s∞)A. Il est réduit à 0 si, et seulement si, s est régulier.
2. De même le noyau de l’homomorphisme naturel de M dans Ms=
M [1/s] est le sous-A-module (0 : s∞)M.
3. L’homomorphisme naturel A → Frac A est injectif.
1.4. Fait. Si S ⊆ S0 sont deux monoïdes de A et M un A-module, on a des identifications canoniques (AS)S0 ' AS0 et (MS)S0 ' MS0.
2. Principe local-global de base 19
2. Principe local-global de base
Nous étudierons le fonctionnement général du principe local-global en algè- bre commutative dans le chapitre XV. Nous le rencontrerons cependant à tous les détours de notre chemin sous des formes particulières, adaptées à chaque situation. Une instance essentielle de ce principe est donnée dans cette section parce qu’elle est tellement simple qu’il serait bête de se priver plus longtemps de ce petit plaisir et de cette machinerie si efficace. Le principe local-global affirme que certaines propriétés sont vraies si, et seulement si, elles sont vraies après des localisationshhen quantité suffisanteii.
En mathématiques classiques on invoque souvent la localisation en tous les idéaux maximaux. C’est beaucoup, et un peu mystérieux, surtout d’un point de vue algorithmique. Nous utiliserons des versions plus simples, et moins effrayantes, dans lesquelles seulement un nombre fini de localisations sont mises en œuvre.