Fibrés vectoriels sur une variété compacte lisse

Ici, on donne quelques motivations pour les modules projectifs de type fini et la localisation en expliquant l’exemple des fibrés vectoriels sur une variété lisse compacte. Deux cas particuliers importants sont les fibrés tangents et

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cotangents correspondants aux champs de vecteurs et aux formes différen- tielles C∞.

Nous utiliserons le termehhlisseiicomme synonyme dehhde classe C∞ii.

Nous allons voir que le fait que la sphère ne peut pas être peignée admet une interprétation purement algébrique.

Dans cette section, on considère une variété différentiable réelle lisse V et l’on note A = C∞(V ) l’algèbre réelle des fonctions lisses globales sur la variété.

Quelques localisées de l’algèbre des fonctions continues

Considérons tout d’abord un élément f ∈ A ainsi que l’ouvert

U = { x ∈ V | f (x) 6= 0 }

et regardons comment on peut interpréter l’algèbre A[1/f ] : deux élé- ments g/fk _{et h/f}k _{sont égaux dans A[1/f ] si, et seulement si, pour un}

exposant ` on a gf`_{= hf}` _{ce qui signifie exactement g|}

U = h|U.

Il s’ensuit que l’on peut interpréter A[1/f ] comme une sous-algèbre de l’algèbre des fonctions lisses sur U : cette sous-algèbre a pour éléments les fonctions qui peuvent s’écrire sous la forme (g|U)/(f |U)k (pour un certain

exposant k) avec g ∈ A, ce qui introduit a priori certaines restrictions sur le comportement de la fonction au bord de U .

Pour ne pas avoir à gérer ce problème délicat, on utilise le lemme suivant.

1.1. Lemme. Soit U0 un ouvert contenant le support de f . Alors, l’appli- cation naturelle (par restriction),

de C∞(V )[1/f ] = A[1/f ] vers C∞(U0)[1/f |U0],

est un isomorphisme.

J

Rappelons que le support de f est l’adhérence de l’ouvert U. On a un homomorphisme de restriction h 7→ h|U0 de C∞(V ) vers C∞(U0) qui induit

un homomorphisme ϕ : C∞(V )[1/f ] → C∞(U0)[1/f |U0]. Nous voulons

montrer que ϕ est un isomorphisme. Si g ∈ C∞(U0), la fonction gf , qui est nulle sur U0\ U , peut se prolonger en une fonction lisse à V tout entier, en la prenant nulle en dehors de U0. Nous la notons encore gf . Alors, l’isomor- phisme réciproque de ϕ est donné par g 7→ gf /f et g/fm_{7→ gf /f}m+1_.

 Un germe de fonction lisse en un point p de la variété V est donné par un couple (U, f ) où U est un ouvert contenant p et f est une fonction lisse U → R. Deux couples (U1, f1) et (U2, f2) définissent le même germe s’il

existe un ouvert U ⊆ U1∩ U2 contenant p tel que f1|U = f2|U. Les germes

de fonctions lisses au point p forment une R-algèbre que l’on note Ap.

On a alors le petithhmiracle algébriqueiisuivant.

1.2. Lemme. L’algèbre Ap est naturellement isomorphe au localisé ASp,

J

Tout d’abord, on a une application naturelle A → Apqui à une fonction

définie sur V associe son germe en p. Il est immédiat que l’image de Sp

est contenue dans les inversibles de Ap. Donc, on a une factorisation de

l’application naturelle ci-dessus qui fournit un homomorphisme ASp→ Ap.

Ensuite, on définit un homomorphisme Ap → ASp. Si (U, f ) définit le

germe g considérons une fonction h ∈ A qui est égale à 1 sur un ouvert U0 contenant p avec U0_{⊆ U et qui est nulle en dehors de U (dans une carte on}

pourra prendre pour U0 une boule ouverte de centre p). Alors, chacun des trois couples (U, f ), (U0, f |U0) et (V, f h) définit le même germe g. Mainte-

nant, f h définit un élément de ASp. Il reste à vérifier que la correspondance

que l’on vient d’établir produit bien un homomorphisme de l’algèbre Ap

sur l’algèbre ASp : quelle que soit la manière de représenter le germe sous

la forme (U, f ), l’élément f h/1 de ASp ne dépend que du germe g.

Enfin, on vérifie que les deux homomorphismes de R-algèbres que l’on a définis sont bien des isomorphismes inverses l’un de l’autre. _ Bref, nous venons d’algébriser la notion de germe de fonction lisse. À ceci près que le monoïde Sp est défini à partir de la variété V , pas seulement à

partir de l’algèbre A.

Mais si V est compacte, les monoïdes Sp sont exactement les complémen-

taires des idéaux maximaux de A. En effet, d’une part, que V soit ou non compacte, l’ensemble des f ∈ A nulles en p constitue toujours un idéal maximal mp de corps résiduel égal à R. D’autre part, si m est un idéal

maximal de A l’intersection des Z(f ) = { x ∈ V | f (x) = 0 } pour les f ∈ m est un compact non vide (notez que Z(f ) ∩ Z(g) = Z(f2_{+ g}2_{)). Comme}

l’idéal est maximal, ce compact est nécessairement réduit à un point p et l’on obtient ensuite m = mp.

Fibrés vectoriels et modules projectifs de type fini

Rappelons maintenant la notion de fibré vectoriel au dessus de V .

Un fibré vectoriel est donné par une variété lisse W , une application sur- jective lisse π : W → V , et une structure d’espace vectoriel de dimension finie sur chaque fibre π−1(p). En outre, localement, tout ceci doit être difféomorphe à la situation simple suivante, dite triviale :

π1: (U × Rm) → U, (p, v) 7→ p,

avec m qui peut dépendre de U si V n’est pas connexe. Cela signifie que la structure d’espace vectoriel (de dimension finie) sur la fibre au dessus de p doit dépendrehh_{convenablement}ii_{de p.}

Un tel ouvert U , qui trivialise le fibré, est appelé un ouvert distingué. Une section du fibré vectoriel π : W → V est par définition une applica- tion σ : V → W telle que π ◦ σ = IdV. On notera Γ(W ) l’ensemble des

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Supposons maintenant la variété V compacte. Comme le fibré est localement trivial il existe un recouvrement fini de V par des ouverts distingués Ui

et une partition de l’unité (fi)i∈J1..sK subordonnée à ce recouvrement : le

support de fi est un compact Ki contenu dans Ui.

On remarque d’après le lemme 1.1 que les algèbres A[1/fi] = C∞(V )[1/fi]

et C∞(Ui)[1/fi] sont naturellement isomorphes.

Si on localise l’anneau A et le module M = Γ(W ) en rendant fi inversible,

on obtient l’anneau Ai= A[1/fi] et le module Mi. Notons Wi= π−1(Ui).

Alors, Wi → Uiesthhisomorpheiià Rmi× Ui→ Ui. Il revient donc au même

de se donner une section du fibré Wi, ou de se donner les mifonctions Ui→ R

qui fabriquent une section du fibré Rmi_{× U}

i → Ui. Autrement dit, le module

des sections de Wi est libre de rang m.

Vu qu’un module qui devient libre après localisation en un nombre fini d’élé- ments comaximaux est projectif de type fini (principe local-global V -2.4), on obtient alors la partie directe (point 1 ) du théorème suivant.

1.3. Théorème. Soit V une variété compacte lisse, on note A = C∞(V ).

1. Si W −−→ V est un fibré vectoriel sur V , le A-module des sectionsπ

lisses de W est projectif de type fini.

2. Réciproquement, tout A-module projectif de type fini est isomorphe

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