Le but de cette section est de faire le lien entre les chaînes régulières de M. Kalk-brener et les systèmes polynomiaux triangulaires réguliers. Etant donnée une chaîne régulière ffjgj2E dans Pn, un théorème de P. Aubry [5, 57] met en évidence le lien algébrique unissant les idéaux hfjij2E : (Qj2Elc(fj))1 et Repn(ffjgj2E) de Pn. Ce résultat est fondamental. Ainsi, on en déduit facilement que les éléments fj (j 2 E) d'un système polynomial triangulaire régulierffj = 0gj2E dansPnforment une chaîne régulièreR (proposition 2.2.1). De plus, les radicaux des noyaux des homomorphismes i sont égaux aux idéaux Repi(R) (1 i n) (corollaire 2.2.1) et présentent donc des propriétés algébriques remarquables (corollaire 2.2.2). On peut alors enrichir le lexique algèbre-géométrie de deux résultats (dans le cadre des systèmes polynomi-aux triangulaires réguliers) qui permettent de répondre, par des arguments de nature géométrique, aux deux questions suivantes. Est-ce qu'un polynôme g de Pn appartient à l'idéal pkern (théorème 2.2.2)? Son image par n est-elle inversible dans l'anneau Kn (théorème 2.2.3)? En particulier, ce dernier résultat montre qu'un système polyno-mial triangulaire faible ffj = 0gj2E est régulier si et seulement si l'ensemble ffjgj2E
constitue une chaîne régulière (cette équivalence apparaît aussi dans [4, 5, 57]). On termine alors cette section par l'étude du cas plus restreint des systèmes polynomiaux triangulaires normalisés.
On débute cette section par le lemme suivant qui découle directement du diagramme commutatif mis en évidence dans le théorème 2.1.5.
Lemme 2.2.1
Soient ffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Alors pour tout 1in et pour tout g 2Pi :i(g)2K?i ,pi(g)62Div Pi
keri
Preuve. Soit i un entier compris entre 1 et n et g un polynôme de Pi. D'après le théorème 1.1.1, l'anneau Ki est isomorphe à :
Ki ;1i
' Frac Pi
keri
Par suite, on en déduit l'équivalence (avec les notations utilisées dans la section 1.1.2) : i(g)2K?i ,;1i (i(g)) =cani(pi(g))2Frac Pi
keri
?
76 Aperçu géométrique Il sut alors d'appliquer le lemme C.3.7 pour conclure.
SoitR=ffjgj2E une chaîne régulière dansPn. Les polynômesfj sont d'indices distincts d'après le deuxième point de la dénition 2.1.2. Quitte à renuméroter les polynômes fj, on peut supposer que ceux-ci vérient pour toutj 2E :
ind(fj) =j:
Ainsi, le système polynomialffj = 0gj2E canoniquement associé à R est triangulaire faible. Réciproquement, étant donné un système polynomial triangulaire faible ffj = 0gj2E dans Pn, il est clair que le sous-ensemble de polynômes ffjgj2E de Pn vérie le second point de la dénition d'une chaîne régulière dans Pn. Il s'agit donc de préciser ce résultat lorsqu'on considère des systèmes polynomiaux triangulaires réguliers.
Notation. Dans toute cette section, que ce soit pour une chaîne régulièreR =ffjgj2E
dePnou pour un système polynomial triangulaire faibleffj = 0gj2E dePn, on reprend les notations adoptées dans la section 1.1.3. Ainsi, pour tout 1 i n, on note Ei l'ensemble E \f1;:::;ig, hi le produit des coecients dominants des polynômes
ffjgj2Ei :
hi = Y
j2Eilc(fj) et Ji l'idéal de Pi engendré par les polynômes ffjgj2Ei.
Théorème 2.2.1
[5, théorème 4.4.11 p.57] Soit une chaîne régulière R =ffjgj2E de Pn. Alors pour tout 1in :Repi(R) =qJi:h1i :
Il est alors facile d'en déduire qu'un système polynomial triangulaire régulier constitue une chaîne régulière. C'est essentiellement la même démonstration que celle de [57, théorème III.6 p.107].
Proposition 2.2.1
Soitffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Alors le sous-ensemble de polynômes ffjgj2E de Pn constitue une chaîne régulière dans Pn.Preuve. On raisonne par récurrence sur i(1in). Le casi= 1 est immédiat. On suppose le résultat vrai à l'ordre i;1. Le cas i62E est trivial. Sii 2E, le coecient dominant de fi vérie la relation :
i;1(lc(fi))2K?i;1:
Par suite, d'après le lemme 2.2.1 et le théorème 1.1.2, on en déduit que la classe du polynôme lc(fi) n'est pas un diviseur de zéro dans Pi;1
Ji;1 :h1i;1 L'anneau Pi étant noethérien, la classe de lc(fi) n'est pas un diviseur de zéro a fortiori (corollaire C.3.3) dans Pi;1
q
Ji;1 :h1i;1 Or, par hypothèse de récurrence, le sous-ensemble R =ffjgj2Ei;1
Aperçu géométrique 77 constitue une chaîne régulière dans Pi;1. On déduit alors du théorème 2.2.1 que la classe de lc(fi) n'est pas un diviseur de zéro dans Pi;1
Repi;1(R)Il sut alors d'appliquer le théorème 2.1.5 pour conclure.
Soit ffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. La proposition précédente permet en particulier de relier, pour tout 1 i n, les idéaux keri et Repi(ffjgj2E).
Corollaire 2.2.1
Soit ffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Alors pour tout 1in :Repi(ffjgj2E) =qkeri:
Preuve. D'après la proposition précédente et le théorème 2.2.1, pour tout 1in, les idéaux Repi(ffjgj2E) sont égaux à :
Repi(ffjgj2E) =qJi :h1i : Il sut alors d'appliquer le théorème 1.1.2 pour conclure.
Remarque. Dans [5, dénition 2.2.22 p.24], P. Aubry dénit la notion d'ensemble tri-angulaire consistant. SoitT un système polynomial triangulaire faible dansPn. Une des caractérisations qu'il propose est, avec nos notations habituelles, que l'idéal Jn : h1n soit propre, i.e. diérent de l'anneau Pn. Or, d'après le lemme 1.1.3, l'anneau Kn est unitaire sous l'hypothèse de régularité. En particulier, d'après les théorèmes 1.1.1 et 1.1.2, il est facile d'en déduire que l'idéal Jn : h1n est propre. Ainsi, étant donné un système polynomial triangulaire régulier ffj = 0gj2E dansPn, l'ensemble triangulaire
ffjgj2E est consistant au sens de P. Aubry.
La proposition suivante n'est que la transposition, dans notre contexte, d'un résultat de P. Aubry [5, corollaire 4.1.5 p.44]. Celui-ci fait suite à un théorème sur l'équidimen-sionnalité forte des idéaux Jn :h1n associés aux ensembles triangulaires consistants [5, théorème 4.1.4 p.44].
Proposition 2.2.2
Soitffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Pour tout 1in :Ass(qkeri) = Ass(keri):
Preuve. D'après la remarque précédente, l'ensemble triangulaire ffjgj2E est consis-tant. Ce qui justie l'application de [5, corollaire 4.1.5 p.44]. Le résultat est alors une simple application du théorème 1.1.2
On déduit alors de ce résultat les propriétés suivantes des idéaux keri(1in).
Corollaire 2.2.2
Soit ffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Pour tout 1in :78 Aperçu géométrique 1. l'ensemble Ass(keri) des idéaux premiers associés à l'idéal keri est égal à
APIi(ffjgj2E);
2. l'idéal keri est équidimensionnel de dimensioni;jEij.
Preuve. C'est une conséquence directe du corollaire 2.2.1 et des propositions 2.1.1 et 2.2.2.
D'autre part, soient ffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn
et un polynômegde Pi(1in). On peut caractériser géométriquement la propriété g 2pkeri en termes de zéros de chaînes régulières.
Théorème 2.2.2
Soit ffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Alors pour tout 1in et pour tout g 2Pi :g 2qkeri ,8a2RZi(ffjgj2E);g(a) = 0:
Preuve. C'est une simple application du théorème 2.1.4 et du corollaire 2.2.1.
Par ailleurs, le corollaire 2.2.1 permet de fusionner le théorème 2.1.5 et le lemme 2.2.1 et ainsi, d'établir le résultat suivant.
Théorème 2.2.3
Soit ffj = 0gj2E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Alors pour tout 1in et pour tout polynôme g 2Pi :i(g)2K?i ,8a2RZi(ffjgj2E); g(a)6= 0:
Preuve. Soient un entier i(1 i n) et un polynôme g de Pi. D'après le théorème 2.1.5, les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. le polynôme g ne s'annule en aucun point deRZi(ffjgj2E);
2. la classe de g dans l'anneau Pi
Repi(ffjgj2E) n'est pas un diviseur de zéro.
D'après le théorème de P. Aubry, la deuxième assertion est encore équivalente au fait que la classe de g dans l'anneau Pi
pkeri n'est pas un diviseur de zéro. On déduit alors de la proposition C.3.10 que la classe de g dans Pi
keri n'est pas un diviseur de zéro.
Il sut d'appliquer le lemme 2.2.1 pour conclure.
On peut alors établir la réciproque de la proposition 2.2.1. C'est l'objet du corollaire suivant (c'est une autre version de [57, théorème 3.6 p.107] et de [5, proposition 4.4.12 p.58]).
Corollaire 2.2.3
Un sous-ensemble de polynômesffjgj2E de Pn est une chaîne régu lière dans Pn si et seulement si le système polynomial triangulaire ffj = 0gj2E est régulier.Preuve. D'après la proposition 2.2.1, il faut et il sut de montrer qu'étant donnée une chaîne régulière ffjgj2E de Pn alors le système polynomial triangulaire faible ffj = 0gj2E est régulier. On raisonne par récurrence sur i(1 i n). Le cas i = 1 est
Aperçu géométrique 79 immédiat. On suppose le résultat vrai à l'ordre i;1 (i 2). Si i 62E, il n'y a rien à montrer. Dans le cas contraire, le coecient dominant de fi vérie la relation :
8a2RZi;1(ffjgj2E);lc(fi)(a)6= 0:
Ce qui, sous l'hypothèse de récurrence et d'après le théorème précédent, est équivalent
à : i;1(lc(fi))2K?i;1
et achève la récurrence.
Reste une question. Etant donnée une chaîne régulièreR =ffjgj2E dansPn, est-ce que le système polynomial triangulaire ffj = 0gj2E est normalisé? D'après les corollaires 1.1.1 et 2.2.3, il s'agit de se demander si les notions de normalisation et de régularité sont équivalentes. Or, dans le chapitre 1, l'exemple page 23 montre que ce n'est pas le cas. Ainsi, le système polynomial triangulaire faible naturellement associé à une chaîne régulière n'est pas nécessairement normalisé.
Le diagramme suivant résume les diérents liens existant entre systèmes polynomiaux triangulaires normalisés, réguliers et les chaînes régulières.
systèmes polynomiaux triangulaires normalisés
#+❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖ ❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖ +3systèmes polynomiaux triangulaires réguliers3;
s{p p p p p pp p p p p p p p p p p
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chaînes régulières