Liens entre les deux notions de normalisation

Cette partie est consacrée à l'étude des liens existant entre les notions de normalisa-tion polynomiale et constructible dénies précédemment. Dans ce but, on dénit deux applications ^F et ^G :

systèmes constructibles

triangulaires normalisés ^F ^//systèmes polynomiaux triangulaires faibles systèmes constructibles

triangulaires faibles systèmes polynomiaux triangulaires normalisés

oo G

Si le choix de l'application ^F semble s'imposer de lui-même, ce n'est pas le cas de

G. On utilise pour cela un concept introduit par D. Lazard dans [47] (et repris par M. Moreno Maza dans [57]) qui lui permet d'associer un système constructible à un ensemble triangulaire de D. Lazard.

La première section est consacrée à l'application^F, la seconde à^G. Dans les deux cas, il s'agit avant tout de montrer si la propriété de normalisation est conservée ou pas. Plus généralement, on s'intéresse aux propriétés algébriques reliant un système et son image par l'application adéquate (^F ou^G suivant qu'il soit constructible ou polynomial).

1.3.1 Du constructible au polynomial...

Etant donné un système constructible triangulaire normalisé ^fgjj0^gj²E^tF, est-il possible de lui associer naturellement un système polynomial? L'idée la plus simple et la plus intuitive aussi, est de lui associer le système polynomial^fgj = 0^gj²E. Plusieurs questions se posent alors. Ce système est-il triangulaire faible? Si tel est le cas, quels sont les liens entre les anneaux Ki et Li? Et entre les noyaux des homomorphismes i et i (ces derniers ayant pris une importance croissante au cours des précédentes sections)? Est-il alors normalisé?

C'est à ces questions que cette section répond. On montre tout d'abord que le système polynomial triangulaire ainsi obtenu est eectivement normalisé (proposition 1.3.1).

D'un point de vue purement algébrique, la proposition 1.3.2 établit que les noyaux des homomorphismes i et i sont égaux. Enn, le théorème 1.3.1, sous la forme d'un nouveau diagramme commutatif, met en évidence l'injection des anneaux Li dans les anneaux Ki.

Etant donné un système constructible triangulaire normalisé^fgjj0^gj²E^tF dansPn, l'objet du lemme suivant est de comparer les ensembles^Sat(Gi) etUi(E). Celui-ci utilise notamment la remarque simple suivante. Soit un entier i(1 i n) et un polynôme u de Pi. Alors par dénition, le polynôme uappartient à Ui(E) si et seulement si pour tout ²IN :

ind(lc(u))⁶²E:

Propriété de normalisation 51 Or par convention, on a lc⁰(u) = u. Ainsi, la condition précédente peut encore s'écrire sous la forme :

u²Ui(E)^,ind(u)⁶²E et lc(u)²Ui^;1(E):

Lemme 1.3.1

^Soient ^f^gjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire normalisé dans Pn. Alors pour tout 0in :

Sat(Gi)Ui(E):

Preuve. On raisonne par récurrence suri. Le casi= 0 est immédiat carG⁰ =K⁰^? =U⁰. On suppose celui-ci vrai à l'ordre i^;1 avec i 1. Soit f ² ^Sat(Gi). Si i ⁶² F alors Gi =Gi^;1 et il sut d'appliquer l'hypothèse de récurrence pour conclure. Dans le cas contraire, il existe g ²Pi, un entier ²IN et g^? ²Gi^;1 tels que :

f g=g^?g_i:

En particulier, puisque le système constructible est normalisé, cela implique clairement que lc(f g)² ^Sat(Gi^;1): De plus, par hypothèse de récurrence, on peut supposer que ind(f) = i. On déduit alors de ce qui précède que lc(f)² ^Sat(Gi^;1)Ui^;1(E). D'où le résultat d'après la remarque précédant le lemme.

Ces inclusions permettent d'établir le résultat suivant.

Proposition 1.3.1

^Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire norma lisé dans Pn. Alors ^fgj = 0^gj²E est un système polynomial triangulaire normalisé.

Preuve. D'après le lemme 1.1.1, il faut et il sut de montrer que pour tout j dans E :

lc(gj)²Uj^;1(E): C'est une conséquence immédiate du lemme précédent.

Ainsi, on peut donc dénir l'application notée ^F suivante : systèmes constructibles

triangulaires normalisés dans Pn

F //systèmes polynomiaux triangulaires faibles dans Pn

fgjj0^gj²E^tF ^✤ ^//^fgj = 0^gj²E

qui, d'après la proposition précédente, conserve la propriété de normalisation.

Remarque. Soit T un système constructible triangulaire normalisé dans Pn. D'après le lemme 1.2.2 et le corollaire 1.2.1, pour tout 0 i n, l'anneau Li est unitaire.

De plus, la proposition précédente combinée avec le lemme 1.1.3 et le corollaire 1.1.1 implique en particulier que les anneaux Ki (0in) associés au système ^F(T) sont unitaires.

Les deux résultats suivants précisent les liens algébriques qui peuvent exister entre un système constructible triangulaire normalisé et son image par ^F en comparant les concepts fondamentaux qui les caractérisent (à savoir les noyaux des homomorphismes

i et i d'une part et les anneaux Li et Ki d'autre part).

52 Propriété de normalisation

Proposition 1.3.2

^Soit ^f^g^j^j⁰^g^j²^E^t^F un système constructible triangulaire norma lisé dans Pn. Alors pour tout 0in :

ker i =keri:

Preuve. Sii= 0, l'égalité est immédiate. Dans le cas contraire, le système polynomial triangulaire ^fgj = 0^gj²E étant normalisé d'après la proposition précédente, le résultat est une simple conséquence des théorèmes 1.1.2 et 1.2.2.

Théorème 1.3.1

^Soit ^f^g^j^j⁰^g^j²^E^t^F un système constructible triangulaire normalisé dans Pn. Alors pour tout 0in, il existe un homomorphisme injectif "i d'anneaux unitaires qui rend commutatif le diagramme suivant :

pi(Gi)^;1 Pi

Preuve. Le cas i = 0 est trivial. Soit i compris entre 1 et n. D'après la proposition 1.3.1, le système polynomial triangulaire^fgj = 0^gj²E est normalisé. Par suite, d'après les théorèmes 1.1.1, 1.2.1, la proposition 1.3.2 et la remarque précédente, il faut et il sut de montrer l'existence d'un homomorphisme injectif d'anneaux "i déni par :

i ="i i:

La proposition C.3.2 et le corollaire C.3.1 permettent alors d'en déduire le diagramme commutatif suivant :

Propriété de normalisation 53

On dénit alors un homomorphisme d'anneaux unitaires "i égal à :

"i =ican^gi i^;1: Le résultat est alors immédiat.

Exemple. On reprend l'exemple traité dans la section précédente : T = Par dénition, l'image du système T par ^F est égale à :

F(T) = ⁿ (X¹X²^;1)X³²+X² = 0

En particulier, le théorème précédent permet d'obtenir le diagramme commutatif suiv-ant :

Le résultat suivant montre que l'homomorphisme "i se prolonge en un isomorphisme de Frac(Li) sur Ki.

Théorème 1.3.2

^Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire normalisé dans Pn. Alors pour tout 0i n, il existe un isomorphisme d'anneaux unitaires i

qui rend commutatif le diagramme suivant : Li_{_}

où canLⁱ désigne l'injection naturelle de Li dans son anneau total des fractions.

54 Propriété de normalisation Preuve. Le cas i = 0 est trivial. Soit i compris entre 1 et n. On déduit du théorème 1.3.1 et du lemme 1.2.5 que pour tout g ² Gi, on a pi(g) ⁶² Div(_ker^Pⁱi). Par suite, en appliquant [5, lemme 4.5.6 p. 61], on obtient l'isomorphisme :

Frac Pi

keri

'Fracpi(Gi)^;1 Pi

keri

Le théorème précédent permet alors de conclure.

Au vu des deux sections précédentes, il est légitime de se demander si on peut étendre l'application^F aux systèmes constructibles triangulairesL-normalisés. C'est l'objet de la proposition suivante.

Proposition 1.3.3

^Soit^T un système constructible triangulaireL-normalisé dansPn. Alors ^F(T) est un système polynomial triangulaire régulier dans Pn.

Preuve. Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire normalisé dans Pn. On raisonne par récurrence sur i(1 i n). Le cas i = 1 est immédiat. On suppose le résultat vrai à l'ordre i^; 1 (i 2) avec i ² E. Il s'agit donc de montrer que i^;1(lc(gi))²K_?i^;1. D'après le théorème 1.2.1, c'est équivalent à :

pi^;1(lc(gi))⁶²Div Pi^;1

keri^;1

De plus, d'après les théorèmes 1.1.2 et 1.2.2 (les systèmes triangulaires ^fgj = 0^gj²E^i;1

et^fgjj0^gj²E^i;1^tF^i;1 étant respectivement réguliers etL-normalisés), le noyau de i^;1

est égal à ker i^;1. D'où :

i^;1(lc(gi))² K_?i^;1 ^,pi^;1(lc(gi))⁶²Div Pi^;1

ker i^;1

Or, par dénition, le coecient dominant de gi vérie la relation :

i^;1(lc(gi))²L_?i^;1: En particulier, d'après le théorème 1.2.2, cela implique :

qi^;1(lc(gi))⁶²Div Pi^;1

ker i^;1

D'où le résultat.

1.3.2 Du polynomial au constructible...

Cette section est consacrée, comme son titre l'indique, à l'étude du problème in-verse : étant donné un système polynomial triangulaire normalisé^ffj = 0^gj²E, existe-t-il un système constructible qui lui soit intrinsèquement associé? Toute la diculté est bien sûr de savoir précisément ce qu'on entend par intrinsèque.

Propriété de normalisation 55 C'est la proposition 1.1.2 qui donne la solution. En eet, elle montre que, pour tout j ²E, l'image du coecient dominant du polynômefj par j^;1(j ²E) est inversible dans l'anneau Kj^;1. Ainsi, c'est tout naturellement qu'on est amené à considérer le

système : 8

ffj = 0^gj²E

flc(fj) ⁶= 0^gj²E

Il est alors très facile de construire un système constructible triangulaire faible à par-tir de celui-ci. Malheureusement, il n'est pas nécessairement normalisé. Toutefois, on retrouve les propriétés algébriques mises en évidence dans la section précédente. Ainsi, les noyaux des homomorphismes i et i sont identiques (proposition 1.3.5) et le diagramme commutatif obtenu dans le théorème 1.3.1 reste valable dans ce cadre (théorème 1.3.3). Enn, le chapitre suivant (section 2.4.2) apportera une validité de na-ture géométrique à ce raisonnement en faisant le lien avec la notion de quasi-composante introduite par D. Lazard [47] et M. Moreno Maza [57].

Cette introduction motive la dénition suivante.

Dénition 1.3.1

^Soit T =^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire normal-isé. On pose :

F =^find(lc(fj))^gj²E:

Pour tout j ²E, on pose gj =fj et pour tout j ²F, on note : gj = ^Y

k²E;ind⁽lc⁽f^k⁾⁾⁼jlc(fk):

Le système constructible ^fgjj0^gj²E^tF ainsi construit est ditassocié au système poly-nomial T.

Notation. Dans le lemme suivant, étant donné un système constructible associé à un système polynomial triangulaire normalisé dans Pn, on reprend une notation adoptée dans la dénition 1.2.3. Plus précisément, on note pour tout 1 in :

Gi =gj j²Fⁱ :

Lemme 1.3.2

^Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible associé à un système poly-nomial triangulaire normalisé dans Pn. Alors il constitue un système constructible tri-angulaire faible dans Pn vériant pour tout j ²E :

lc(gj)²^Sat(Gj^;1) et pour tout j ²F :

gj ²Uj(E):

56 Propriété de normalisation Preuve. Soit T =^ffj = 0^gj²E le système polynomial triangulaire normalisé dont est issu le système constructible. Puisque T est normalisé, en particulier, pour toutj ²E, les polynômes vérient la relation :

ind(lc(fj))^\E =^;:

Le système constructible est donc bien déni et par construction, constitue bien un système constructible triangulaire faible. Les derniers points du lemme découlent im-médiatement de la normalisation du système polynomial triangulaire T et de la con-struction du système constructible associé.

Ainsi, la dénition 1.3.1 permet donc de dénir de cette manière une application notée

G : systèmes polynomiaux

triangulaires normalisés dans Pn

G //systèmes constructibles triangulaires faibles dans Pn

ffj = 0^gj²E^✤ ^//^fgjj0^gj²E^tF

avec F =^find(lc(fj))^gj²E:

Notation. Par la suite, l'image d'un système polynomial triangulaire normalisé par^G est appelée un système constructible triangulaire algébriquement normalisé.

Remarque. On peut se demander si un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé est nécessairement normalisé. Ce n'est pas le cas comme le montre l'exemple suivant. On considère le système polynomial triangulaire normalisé dans

Q[X¹;X²;X³] : ⁿ

X¹X²X³²^;1 = 0 Par dénition, son système constructible associé est :

( X¹X²X³²^;1 = 0 X¹X² ⁶= 0

Le coecient dominant du polynôme X¹X² est X¹. Or, celui-ci n'appartient pas à

Sat(G¹) =^f1^g: Le système constructible triangulaire faible n'est donc pas normalisé.

Ainsi, l'application ^G ne conserve pas la propriété de normalisation.

Le but des trois lemmes suivants est de montrer qu'étant donné un système con-structible triangulaire algébriquement normalisé dansPn, il existe, pour tout 0in, un homomorphisme d'anneaux noté "i qui rend commutatif le diagramme suivant ⁴ :

i //

"ⁱ

>>}}}}}}}

4Il sera montré dans le théorème 1.3.3 que l'homomorphisme"ⁱ est de plus injectif.

Propriété de normalisation 57 (proposition 1.3.4). L'idée est de distinguer les trois situations possibles (i ⁶² E ^t F (lemme 1.3.3),i²F (lemme 1.3.4) eti²E (lemme 1.3.5)) en supposant à chaque fois le résultat vrai à l'ordre i^;1.

Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire faible dans Pn. Pour tout 0in, on note ^Ai l'armation suivante :

il existe un homomorphisme d'anneaux "i : Li "ⁱ _//Ki

tel que le diagramme suivant soit commutatif : Pi

i //

"ⁱ

>>}}}}}}}

Lemme 1.3.3

^Soient ^f^gjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire faible dans Pn et un entier i(1in) tel que i⁶²E ^t F. Alors :

Ai^;1 ⁾^Ai:

Preuve. L'entierin'appartenant pas àE^tF, les anneauxLietKisont respectivement égaux à Li^;1[Xi] et à Frac(Ki^;1[Xi]) et les homomorphismes i et i à i^;1[Xi] et à injii^;1[Xi]. On pose alors :

"i =inji"i^;1[Xi]: Par suite, l'homomorphisme vérie les égalités suivantes :

i = injii^;1[Xi]

= inji"i^;1[Xi] i^;1[Xi]

= "i i^;1[Xi]

Ainsi, l'assertion ^Ai est vériée. Ce qu'il fallait montrer.

Lemme 1.3.4

^Soient ^f^g^j^j⁰^g^j²^E^t^F un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé dans Pn et un entier i(1in) tel que i²F. Alors :

Ai^;1 ⁾^Ai:

Preuve. L'entier i appartenant à F, les anneaux Li et Ki sont respectivement égaux à (Li^;1[Xi]) ^i;1^[Xⁱ^](gⁱ⁾ et à Frac(Ki^;1[Xi]) et les homomorphismes i et i à injLⁱ

i^;1[Xi] et à injii^;1[Xi].

Le système constructible triangulaire étant algébriquement normalisé, le coecient dominant de gi est égal à :

lc(gi) = ^Y

k²E;ind⁽lc⁽g^k⁾⁾⁼ind⁽lc⁽gⁱ⁾⁾lc(gk):

58 Propriété de normalisation Par suite, sous l'hypothèse ^Ai^;1 et d'après la proposition 1.1.2, cela implique :

"i^;1( i^;1(lc(gi))) = i^;1(lc(gi))²K_?i^;1:

En particulier, on en déduit que le polynôme"i^;1[Xi]( i^;1[Xi](gi)) n'est pas un diviseur de zéro deKi^;1[Xi]. Par suite, son image parinjiest inversible dansKi. Ainsi, d'après la proposition C.3.2, il existe un homomorphisme d'anneaux (noté"i) qui rend commutatif le diagramme suivant :

Par dénition de l'homomorphisme"i, on en déduit les relations suivantes : i = injii^;1[Xi]

= inji"i^;1[Xi] i^;1[Xi]

= "iinjLⁱ i^;1[Xi]

= "i i

L'assertion ^Ai est donc bien vériée.

Lemme 1.3.5

^Soient ^f^gjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire faible dans Pn et un entier i(1in) tel que i²E. Alors :

Ai^;1 ⁾^Ai:

Preuve. L'entier i appartenant à E, les anneaux Li et Ki sont respectivement égaux à Li^;1[Xi]

On considère l'homomorphisme i "i^;1[Xi]. On déduit en particulier de l'assertion

Ai^;1 l'égalité :

"i^;1[Xi]( i^;1[Xi](gi)) = i^;1[Xi](gi) et donc la relation :

h i^;1[Xi](gi)ⁱker(i"i^;1[Xi]):

Ainsi, d'après [38, théorème 2.9 p.125], on peut donc factoriser l'homomorphisme i

"i^;1[Xi] de la manière suivante :

Propriété de normalisation 59 Siinji désigne l'injection canonique de Ki^;1[Xi]

i^;1[Xi](gi) dans son anneau total des fractions (égal à Ki), on pose :

"i =inji"^ei^;1: L'homomorphisme i vérie alors les relations :

i = injiii^;1[Xi]

= injii"i^;1[Xi] i^;1[Xi]

= inji"^ei^;1Lⁱ i^;1[Xi]

= "iLⁱ i^;1[Xi]

= "i i

L'assertion ^Ai est donc bien vériée.

De ces trois lemmes, on peut alors en déduire le résultat escompté.

Proposition 1.3.4

^Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire algébri quement normalisé dans Pn. Pour tout 0 i n, il existe un homomorphisme d'an-neaux "i :

Li "ⁱ _//Ki

qui rend commutatif le diagramme suivant : Pi

i //

"ⁱ

>>}}}}}}}

Preuve. On raisonne par récurrence sur i. Le cas i = 0 est trivial. En eet, les ensembles P⁰ et L⁰ sont tous deux égaux à K⁰. De même, les homomorphismes ⁰ et ⁰ sont égaux à idK⁰. Il sut donc de poser "⁰ égal à idK⁰. Le résultat est alors immédiat d'après les trois lemmes précédents.

Le résultat suivant permet, en particulier, de préciser le lemme 1.3.2. Etant donné un système constructible triangulaire algébriquement normalisé dans Pn, les images des coecients dominants des inéquations par n ne sont pas des diviseurs de zéro de Ln.

Corollaire 1.3.1

^Soit^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé dans Pn. Pour tout 1in :

8u²Ui(E); i(u)⁶²Div(Li):

Preuve. Soient un entieri(1in) et un polynômeudeUi(E). Si i(u)²Div(Li) alors il existe v ⁶= 0²Li tel que :

i(u)v = 0:

D'après la proposition précédente, cela implique en particulier :

"i( i(u)v) = i(u)"i(v) = 0:

60 Propriété de normalisation Le système polynomial triangulaire ^fgj = 0^gj²E étant normalisé, on déduit alors du lemme 1.1.7 que "i(v) = 0: Or, il sera démontré dans le théorème 1.3.3 que "i est injectif. Par suite, l'élément v de Li est nul, ce qui est absurde par hypothèse. D'où le résultat.

On peut dès lors démontrer le résultat énoncé dans le lemme 1.2.4 dans le cadre des systèmes constructibles triangulaires algébriquement normalisés.

Lemme 1.3.6

^Soit ^f^g^j^j⁰^g^j²^E^t^F un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé dans Pn. Alors pour tout 1in et pour tout g ²^Sat(Gi) :

i(g)²L_?i:

Preuve. La preuve du lemme 1.2.4 reste valable dans ce cas. En eet, il sut de reprendre le raisonnement par récurrence en utilisant la dénition d'un système con-structible triangulaire algébriquement normalisé et le corollaire précédent.

Il faut mettre en parallèle le résultat suivant avec la proposition 1.2.2. Cela permet ainsi de bien distinguer les deux notions de systèmes constructibles triangulaires normalisés et algébriquement normalisés.

Lemme 1.3.7

^Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé dans Pn. Alors :

1. pour tout j ²E, le coecient dominant lc(gj) du polynômegj est inversible dans Lj^;1;

2. pour tout j ²E ^t F, les polynômes gj vérient les relations : degX^j( j^;1[Xj](gj)) =degX^j(gj)>0:

Preuve. Le premier point ainsi que le second (dans le cas algébrique j ²E) sont une simple application du lemme 1.3.6. Le cas exception est une conséquence du corollaire 1.3.1 (si j^;1(lc(gj))⁶²Nil(Lj^;1) alors en particulier j^;1(lc(gj))⁶= 0).

On peut alors se demander si on peut étendre le premier point de ce lemme à tous les polynômes d'un système constructible triangulaire algébriquement normalisé. La réponse est non comme le montre l'exemple suivant.

On considère le système polynomial triangulaire normalisé dans Q[X¹;X²;X³] : T =ⁿ (X¹X²^;1)X³² ^;1 = 0

Son image par ^G est égale à :

G(T) =

( (X¹X²^;1)X³²^;1 = 0 X¹X²^;1⁶= 0

L'anneau L¹ est clairement égal à Q[X¹]. Or, il est clair que X¹ n'est pas inversible dansL¹. Ainsi, le coecient dominant du polynômeX¹X²^;1 n'est pas inversible dans

Propriété de normalisation 61 L¹. Le premier du point du lemme 1.3.7 n'est donc plus nécessairement valable dans les cas exception.

Le résultat suivant, combiné avec le lemme 1.3.6, assure en particulier (d'après la remarque page 46) l'existence du diagramme commutatif obtenu dans le théorème 1.2.1. Ce sera un des points clefs de la démonstration du théorème 1.3.3.

Lemme 1.3.8

^Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé dans Pn. Alors pour tout 0in, l'anneau Li est unitaire.

Preuve. D'après le lemme précédent, pour tout j ² E, le polynôme gj vérie la relation :

degX^j( j^;1[Xj](gj)) = deg(gj)>0:

De plus, d'après le lemme 1.3.2 et le corollaire 1.3.1, pour tout j ²F :

j^;1(lc(gj))⁶²Nil(Lj^;1):

Il sut alors de raisonner par récurrence sur i(0in) en utilisant le lemme C.1.1 si i²E et le premier point du lemme C.1.2 si i²F pour conclure.

Bien que l'image d'un système polynomial triangulaire normalisé dansPnpar l'applica tion ^G ne vérie pas nécessairement la propriété de normalisation, le résultat suivant montre que les noyaux des homomorphismes i et i (0i n) restent malgré tout identiques.

Proposition 1.3.5

^Soit ^f^g^j^j⁰^g^j²^E^t^F un système constructible triangulaire algébri quement normalisé dans Pn. Alors pour tout 0in :

ker i =keri:

Preuve. D'après la proposition 1.3.4, il faut et il sut de montrer pour tout 0 i n les inclusions keri ker i: Soit i compris entre 1 et n (le cas i = 0 est immédiat). Le système polynomial triangulaire^fgj = 0^gj²Eⁱ étant normalisé, le noyau de l'homomorphisme i est égal à ^Ji :h¹_i (théorème 1.1.2) où hi est le polynôme :

j²Eⁱlc(gj):

Ainsi, étant donné g ²keri, il existe un entier tel que : h_ig ²^Ji:

Or, le polynômehi est clairement un élément de^Sat(Gi) d'après le lemme 1.3.2. Il sut alors d'appliquer le lemme 1.3.6 et la proposition 1.2.1 pour conclure.

On retrouve ainsi un résultat analogue à la proposition 1.3.2. Il reste alors un troisième point à étudier. Est-ce que le diagramme commutatif obtenu dans le théorème 1.3.1 reste valable dans ce cadre? Le théorème suivant répond par l'armative à cette ques-tion.

62 Propriété de normalisation

Théorème 1.3.3

^Soit^f^g^j^j⁰^g^j²^E^t^F un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé dans Pn. Alors, pour tout 0 i n, l'homomorphisme "i introduit dans la proposition 1.3.4 est injectif et rend commutatif le diagramme suivant :

pi(Gi)^;1 Pi

Preuve. Si i = 0, le résultat est trivial. Soit un entier i compris entre 1 et n. Le diagramme commutatif obtenu dans le théorème 1.2.1 reste valable grâce aux lemmes 1.3.6 et 1.3.8 (voir remarque page 46). De plus, le système polynomial triangulaire

fgj = 0^gj²E étant normalisé, celui-ci vérie le théorème 1.1.1. Par suite, d'après les propositions 1.3.4 et 1.3.5, il reste à montrer que "i est injectif. Soitu²Li. D'après le théorème 1.2.1, il existe f;g ² Pi, avec qi(g) ² qi(Gi), tels que u= ⁱ(f)

i(g) Par suite, l'image de u par "i est égale à :

"i( i(f))

"i( i(g))

Or, par dénition, l'homomorphisme"i vérie la relation : i ="i i:

D'après l'égalité précédente, cela implique :

"i(u) = ⁱ(f) i(g) et donc l'implication :

("i(u) = 0)⁾(i(f) = 0):

Il sut alors d'appliquer de nouveau la proposition 1.3.5 pour conclure.

Exemple. On considère le système polynomial triangulaire normaliséT introduit page 60 dont l'image par ^G est :

G(T) =

( g³(X¹;X²;X³) = (X¹X²^;1)X³²^;1 = 0 g²(X¹;X²) =X¹X²^;1⁶= 0

D'après la proposition 1.3.5, les noyaux de ³ et ³ sont égaux. On déduit en particulier du théorème précédent (en identiant le polynôme g³ avec ses images par ²[X³] et

Propriété de normalisation 63 Or, l'idéal^P =^h(X¹X²^;1)X³²^;1ⁱde Q[X¹;X²;X³] est clairement premier. L'anneau K³ est donc un corps. Par suite, cela implique pour tout polynômef de Q[X¹;X²;X³] :

³(f)²K³^? ^,f ⁶²ker³ ^,f ⁶²^P: En revanche, d'après le lemme C.3.1, on a :

3(f)²L^?³ ^, p³(f)²^Sat(p³(X¹X²^;1))

, f ²^Sat(X¹X²^;1) (mod^P)

Ainsi, les deux isomorphismes montrent que pour construire l'anneau K³ (respective-ment L³), on rend, en quelque sorte, un maximum (respectivement un minimum) d'éléments de l'anneau Q[X¹;X²;X³]

h(X¹X²^;1)X³²^;1ⁱ inversibles. L'anneau L³ peut donc s'in terpréter comme un sous-anneau de K³ (par l'homomorphisme"³) de taille beaucoup plus petite.

Le résultat suivant est l'analogue, dans le cadre des systèmes constructibles triangu-laires algébriquement normalisés dans Pn, du théorème 1.3.2.

Théorème 1.3.4

^Soit^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire algébrique ment normalisé dans Pn. Alors pour tout 0 i n, il existe un isomorphisme d'an-neaux unitaires i qui rend commutatif le diagramme suivant :

Li_{_}

où canLⁱ désigne l'injection naturelle de Li dans son anneau total des fractions.

Preuve. Le cas i = 0 est trivial. Soit i compris entre 1 et n. On déduit du théorème précédent et du lemme 1.3.6 que pour tout g ²Gi, on a pi(g)⁶²Div(_ker^Pⁱi). La démon-stration est alors identique à celle opérée dans le théorème 1.3.2.

Remarque. Contrairement à l'application^F, l'application^Gne peut pas être prolongée aux systèmes polynomiaux triangulaires réguliers. Il sut de considérer l'exemple suiv-ant :

T =

( X²X³^;1 = 0 X¹X²^;1 = 0

Il s'agit clairement d'un système polynomial triangulaire régulier dans Q[X¹;X²;X³].

Son image par ^G est égale à :

On obtient donc un système avec une équation et une inéquation de même indice.

Celui-ci ne constitue donc pas un système constructible triangulaire faible.

64 Propriété de normalisation Le résultat suivant précise les relations algébriques qui existent entre un système con-structible triangulaire normalisé, son image par^F et son image par^G^F. Cela nécessite d'adopter au préalable la notation suivante.

Notation. Soit ^fgjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire normalisé dans Pn. On pose L⁰ =K⁰ =L⁰⁰ et pour tout 1in, on note respectivement par Li,Ki

et L⁰_i, les anneaux associés aux systèmes T =^fgjj0^gj²Eⁱ^tFⁱ, ^F(T) et ^G(^F(T)).

Proposition 1.3.6

^Soit ^f^gjj0^gj²E^tF un système constructible triangulaire norma lisé dans Pn. Avec les notations adoptées ci-dessus, pour tout 0 i n, les anneaux Li, Ki et L⁰_i vérient les relations :

L⁰_i ,^!Li ,^!Ki =Frac(L⁰_i) =Frac(Li):

Preuve. Les deux égalités sont connues (théorèmes 1.3.2 et 1.3.4). D'après le théorème 1.3.1, il reste simplement à établir la première inclusion. Le cas i = 0 est trivial. Soit i compris entre 1 et n. On note G⁰_i la partie multiplicative de Pi engendrée par les inéquations du système ^G(^F(T)). Le système ^fgjj0^gj²E^tF étant normalisé, on en déduit facilement l'inclusion (il sut de revenir à la dénition des applications ^F et

G) :

qi(G⁰_i)^Sat(qi(Gi)):

Ainsi, d'après [8, corollaire 2 p.78] et la proposition C.3.4, on obtient l'injection : qi(G⁰_i)^;1 Pi

ker i

,^!qi(Gi)^;1 Pi

ker i

Les théorèmes 1.3.1 et 1.3.3 permettent alors de conclure.

Ce résultat sera complété par le corollaire 2.3.3 qui détermine les dimensions des an-neaux Li et L⁰_i(0in).

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