La clôture constructible dynamique est un ensemble dynamique ou, plus précisé-ment, un ensemble de dynamisme actif [28, section 4.2] : certaines opérations eectuées au cours d'un calcul peuvent modier les éléments spéciques de la clôture que sont les paramètres. En fait, ce n'est pas leur représentation qui peut être amenée à changer mais l'ensemble des contraintes qu'ils vérient et donc, d'après la section précédente, la tour de T. Gómez-Díaz (L0;L1;:::;Ln) dans laquelle s'eectue le calcul. C'est la notion de scindage. Le but de cette section est de montrer que cette opération permet d'eectuer des calculs comme si les anneaux Li (1in) étaient des corps.
On débute cette section en introduisant la notion d'ensemble de zéros d'une tour de T. Gómez-Díaz. Celle-ci, combinée avec le lemme 4.2.2, fournit un cadre algébrique pertinent pour modéliser les concepts de tests d'égalité et de scindages [28, section 3.3] qui constituent le coeur de l'évaluation dynamique simulée par les programmes de T. Gómez-Díaz.
Notation. On désigne (toujours) par Kf0 un corps algébriquement clos de degré de transcendance inni sur K0.
Soit (L0;L1;:::;Ln) une tour de T. Gómez-Díaz. Le résultat suivant permet d'associer,
Clôture constructible dynamique 133 pour tout 1in, un ensemble de points deKf0i à la tour (L0;L1;:::;Li). On rappelle au préalable qu'étant donné un système constructible triangulaire faiblefgjj0gj2EtF
dans Pn alors, pour tout 1in, le sous-ensemble de Kf0i : V(fgjgj2Ei);V(Y
j2Figj)
est appelé l'ensemble des zéros du système fgjj0gj2EitFi (dénition 2.3.2).
Lemme 4.2.1
Soient (L0;L1;:::;Ln) une tour de T. Gómez-Díaz et deux systèmesffjj0gj2EtF et fgjj0gj2EtF associés à cette tour. Pour tout 1 i n, on note Z1;ietZ2;i les ensembles de zéros des systèmesffjj0gj2EitFi etfgjj0gj2EitFi. Alors pour tout 1in :
Z1;i =Z2;i:
Preuve. Soit un entier i compris entre 1 et n. On note G1;i et G2;i les parties mul-tiplicatives de Pi engendrées par ffjgj2Fi et fgjgj2Fi. De même, on désigne par H1;i
et H2;i les produitsQj2Fifj etQj2Figj. Les deux systèmes constructibles triangulaires étant associés à une même tour, on déduit en particulier de la remarque eectuée p.130 que le noyau de i ne dépend pas du choix du système constructible. Ainsi, d'après le théorème 1.2.1, on obtient alors l'isomorphisme :
qi(G1;i);1 Pi
ker i
'qi(G2;i);1 Pi
ker i
et donc d'après [46, proposition IV.2] l'égalité :
Sat(qi(G1;i)) =Sat(qi(G2;i)):
En particulier, l'image de H1;i par qi est un élément de Sat(qi(G2;i)). Ce qui est équiv-alent à :
H1;i2Sat(G2;i) (modker i)
et donc, d'après le lemme C.3.2, il existe un polynôme g de Pi, un entier 2IN et un élément f de ker i tels que :
g H1;i =H2;i+f:
De plus, par dénition, les ensemblesZ1;ietZ2;isont respectivement égaux àV(ker i)
;V(H1;i) et à V(ker i); V(H2;i). Soit un point a de Z2;i. On déduit de l'égalité précédente la relation :
(g H1;i)(a) = (H2;i+f)(a) =H2;i(a)6= 0
puisque Z2;i est inclus dans V(ker i). Ainsi, le pointa n'annule pas le polynômeH1;i. On a donc établi les relations :
Z2;i =V(ker i);V(H2;i)V(ker i);V(H1;i) =Z1;i: L'inclusion réciproque se démontre de manière analogue.
134 Clôture constructible dynamique Ce résultat motive la notation suivante.
Notation. Soit T = (L0;L1;:::;Ln) une tour de T. Gómez-Díaz. Pour tout système
fgjj0gj2EtF associé à cette tour et pour tout 1in, on noteZeroi(T) l'ensemble des zéros du système fgjj0gj2EitFi.
Dénition 4.2.1
Soit une tour de T. Gómez-Díaz T = (L0;L1;:::;Ln). Pour tout 1in, l'ensemble Zeroi(T) est appelé l'ensemble des zéros de la tour T.Soit (L0;L1;:::;Ln) une tour de T. Gómez-Díaz. D'après le théorème 1.2.1 et la propo-sition 4.1.2, il existe un système constructible triangulaire normalisé et sans carré dans Pn tel que pour tout 0 i n, l'anneau Li est isomorphe à qi(Gi);1 Pi
ker i
En particulier, pour tout 0 i n et pour tout f 2 Li, il existe u 2 Pi et v 2 Gi tels que :
f = i qi(u) qi(v)
!
= i(u)
i(v)
Lemme 4.2.2
Soit une tour de T. Gómez-Díaz (L0;L1;:::;Ln). Alors pour tout 1 in et pour tout f = i(iu)(v) 2Li :
8a2Zeroi(T); u(a) = 0,f = 0 et :
8a2Zeroi(T); u(a)6= 0,f 2L?i:
Preuve. Soit i un entier compris entre 1 et n. L'idéalker i étant radical sous l'hy-pothèse de sans carré (corollaire 3.1.1), la première équivalence découle du théorème 2.3.2. La seconde est une conséquence immédiate du théorème 2.3.1 et de la proposition 4.1.2.
Ce résultat permet d'introduire algébriquement les notions de tests d'égalités dans ^K0 et de scindages [28, section 3.3]. Ce sont ces opérations qui permettent d'eectuer l'é-valuation dynamique avec les tours de T. Gómez-Díaz.
Ainsi, soient x1;:::;xn les paramètres successivement introduits au cours d'un cal-cul dans ^K0. D'après [28, théorème 3.1 p.69] et la proposition 4.1.3, les paramètres x1;:::;xn sont soumis à un ensemble de lois qui constitue un système de T. Gómez-Díaz sans carré dans une tour (L0;L1;:::;Ln). D'après la proposition 4.1.2, il existe un système constructible triangulaire normalisé et sans carré dans Pntel que pour tout 0in :
Li =Li:
Pour tout 1 i n, on déduit alors du théorème 3.2.1 que l'anneau Li n'est pas, en général, un corps. Cependant, on peut malgré tout eectuer des calculs avec les éléments des anneaux Li (0in) comme s'il s'agissait eectivement de corps grâce aux tests d'égalités dans ^K0.
On se donne un élément f de ^K0. Par dénition, f appartient à l'un des anneaux
Clôture constructible dynamique 135
Li(0 in). De plus, il existe u2 Pi et v 2 Gi tels que f = ii(u)
(v) Eectuer le test d'égalité :
f = 0 ? c'est, par dénition, déterminer si :
1. u s'annule en tout point de Zeroi(T);
2. u ne s'annule en aucun point de Zeroi(T);
3. il existe un sous-ensemble non vide Vi de Zeroi(T), avec Vi 6=Zeroi(T), tel que u ne s'annule pas sur Vi et s'annule sur Zeroi(T);Vi.
La réponse est alors vrai dans le premier cas et faux dans le second. Ainsi, on déduit du lemme 4.2.2 que f est identiquement nul dans le premier cas et inversible dans le second. Que se passe-t-il dans le dernier cas? Les programmes de T. Gómez-Díaz scindentl'ensemble des lois subies par les paramètres et donc la tourT. Ils déterminent alors deux nouvelles tours T1 etT2 de T. Gómez-Díaz telles que :
Zeroi(T1) =Vi et Zeroi(T2) =Zeroi(T);Vi: Il faut noter que T1 et T2 vérient les deux points fondamentaux :
Zeron(T1)\Zeron(T2) =; et Zeron(T1)[Zeron(T2) = Zeron(T):
La réponse est alors faux dans la tour T1 et vrai dans la tour T2. De plus, toujours d'après le lemme 4.2.2, l'élémentf est inversible dansT1 et identiquement nul dansT2. Après ce test d'égalité, l'élément f est donc soit inversible, soit identiquement nul.
Ainsi, si on rencontre un élément non nul g de ^K0 au cours d'un calcul dans la clôture constructible dynamique, celui-ci peut être rendu inversible après un éventuel scindage au moyen du test d'égalité g = 0?. C'est en ce sens que ^K0 se comporte comme un corps. On retrouve ainsi le principe de D5 [16, 17, 20] ainsi que la méthode de calculs dans les anneaux Ki décrite par D. Lazard dans [47]. On peut noter que cela revient aussi à scinder le produit Qa2Zeroi(T)K0(a) en :
Y
a2Zeroi(T)K0(a)' Y
a2ViK0(a) Y
a2Zeroi(T);ViK0(a)
et eectuer alors le parallèle avec la notion de T-scindage de P. Aubry [5, dénition 5.1.1 p.74].
Il existe aussi une notion d'égalité dans les anneaux Li(0 i n) appelée égalité grossière[28, section 3.2]. Celle-ci, contrairement à l'égalité dans ^K0, n'est évidemment pas dynamique : deux éléments d'un anneau sont soit égaux, soit distincts. Schéma-tiquement, elle détermine si deux éléments de Li(0in) sont égaux en utilisant la relation d'équivalence (théorème C.3.1) qui dénit un anneau de fraction (voir exemples dans [28] p.70,71).
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