Premières propriétés

Cette section constitue en quelque sorte une introduction aux systèmes polynomiaux triangulaires normalisés. Un des résultats principaux (proposition 1.1.2) montre que la notion de régularité de M. Moreno Maza est plus faible que la propriété de normalisation de D. Lazard (corollaire 1.1.1). Ainsi, les résultats fondamentaux de cette section, énoncés sous l'hypothèse de régularité, restent valables dans le cadre plus restreint des systèmes polynomiaux triangulaires normalisés.

Notations.

Soit K⁰ un corps commutatif de caractéristique nulle. On note P⁰ le corps K⁰ et pour toutientier naturel non nul, on notePi l'anneauK⁰[X¹;:::;Xi]. Soitf un polynôme appartenant à Pi mais pas à Pi^;1, on dénit :

la variable principale de f comme étant Xi; l'indice de f, noté ind(f), égal à i;

le degré de f, notédeg(f), comme étant le degré de f en Xi;

le coecient de tête def, notélc(f), égal au coecient deX_i^deg(f) dans Pi^;1[Xi];

on a lc(f)²Pi^;1;

la j^ème itérée de la fonction lc appliquée à f, notée lc^j(f) (avec par convention lc⁰(f) =f).

Remarque. Par la suite, lorsqu'une dénition ou une propriété fera appel à la j^ème itérée de la fonction lc appliquée à un polynôme f, ce sera implicitement sous réserve que celle-ci soit bien dénie.

Exemple. Soient K⁰ = Q et :

f(X¹;X²;X³) = (X¹X²²+X¹²)X³²+ 1

un polynôme de P³. Alors par dénition la variable principale de f est X³ et :

8

>

<

>

:

ind(f) = 3;

deg(f) = 2;

lc(f) = (X¹X²²+X¹²);lc²(f) =X¹:

Dénition 1.1.1

^{Soient n 2IN? et E} un sous-ensemble ¹ de ^f1;:::;n^g. Un système polynomial triangulaire faible dans Pn est un ensemble ^ffj = 0^gj²E où pour tout j ²E, le polynôme fj vérie :

ind(fj) =j:

En particulier, les polynômes d'un tel système sont donc de degrés strictement positifs (i.e. non constants).

Notation. Soit T =^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire faible dans Pn.

1Par la suite, sauf mention contraire, l'ensemble Esera supposé non vide.

Propriété de normalisation 17 Si E =^fm¹;:::;mr^g avec m¹ < m² < ::: < mr alors on écrit en pratique le système T sous la forme :

T =

8

>

>

<

>

>

:

fm^r = 0 ...fm¹ = 0

Dénition 1.1.2

^{Soient f}fj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire faible dans Pn et i un entier (1in). Si i²E, la variableXi est dite algébrique; dans le cas contraire, elle est dite transcendante.

Ainsi, si on considère le système polynomial triangulaire faible (très simple) dans P³ (avec K⁰ = Q) :

n (X¹X²²+X¹²)X³²+ 1 = 0

alors la variableX³ est algébrique tandis que les variablesX¹etX² sont transcendantes.

Remarque. Dans la dénition suivante, on utilise implicitement [38, théorème 4.4 (ii) p.144] : si ^A est un anneau alors l'homomorphisme canonique :

A //Frac(^A) a^{✤ //} a

1 est injectif.

Dénition 1.1.3

^{Soit ff}j = 0^gj²E un système polynomial triangulaire faible dans Pn. On note ⁰ l'homomorphisme identité du corps K⁰ sur lui-même. Pour tout entier i(1in), on dénit récursivement un anneau Ki et un homomorphisme d'anneaux i :Pi ^!Ki de la manière suivante :

si i⁶²E, on pose :

Ki =Frac(Ki^;1[Xi]) et i =injii^;1[Xi]; où inji est l'injection canonique de Ki^;1[Xi] dans Frac(Ki^;1[Xi]);

Pi =Pi^;1[Xi]

i;1 [Xⁱ_//^]

i

99Ki^;1[Xi] ^{ inji //}Ki =Frac(Ki^;1[Xi])

si i²E, on pose :

Ki =Frac Ki^;1[Xi]

hi^;1[Xi](fi)ⁱ

!

et i =inj_i⁰ii^;1[Xi];

18 Propriété de normalisation où i est la projection deKi^;1[Xi] sur Ki^;1[Xi]

hi^;1[Xi](fi)ⁱ etinj_i⁰ est l'injection canon-ique de Ki^;1[Xi]

hi^;1[Xi](fi)ⁱ dans son anneau total des fractions.

Pi =Pi^;1[Xi]

i;1 [Xⁱ_//^]

i

44

Ki^;1[Xi] ^{i ////} Ki^;1[Xi]

hi^;1[Xi](fi)^{i  inj}

0

i //Ki =Frac Ki^;1[Xi]

hi^;1[Xi](fi)ⁱ

!

Exemple. On reprend l'exemple précédent. L'entier 1 n'est pas dans E = ^f3^g donc l'anneau K¹ est égal à :

K¹ = Q(X¹)

et ¹est l'injection canonique de Q[X¹] dans Q(X¹). De même, puisque 2⁶²E, l'anneau K² est égal à :

K² =Frac(K¹[X²]) = Q(X¹;X²)

et ² est l'injection canonique de Q[X¹;X²] dans Q(X¹;X²). En revanche, l'entier 3 est dans E. La dénition de K³ est donc :

K³ =Frac K²[X³]

h²[X³](f³)ⁱ

!

=Frac ^Q(X¹;X²)[X³]

h(X¹X²²+X¹²)X³²+ 1ⁱ

!

et l'homomorphisme ³ est égal à :

³ =inj^{30 32}[X³] où ³ est la projection deK²[X³] sur K²[X³]

h²[X³](f³)ⁱ etinj³⁰ est l'injection canonique de ce dernier dans son anneau total des fractions.

Etant donné un système polynomial triangulaire faible dansPn, pour tout 1in, on note respectivementcanK^i;1 etcanP^i;1 les inclusions canoniques deKi^;1 dansKi^;1[Xi] et dePi^;1dansPi^;1[Xi]. De plus, pour tout 1in, on introduit un homomorphisme i :Ki^{;1 !}Ki déni par :

( i =injicanK^i;1 si i⁶²E i =inj_i⁰icanK^i;1 si i²E

Propriété de normalisation 19 Alors, pour tout 1 in, on construit le diagramme commutatif suivant :

Notation. Soit ^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire faible dans Pn. Pour tout entier 1in, on note Ei l'ensemble :

E ^\f1;:::;i^g:

Etant donné un système polynomial triangulaire faible^ffj = 0^gj²E dansPn, la propo-sition suivante précise une idée intuitive : pour tout 1in, les polynômes^ffj^gj²Eⁱ

sont des éléments du noyau de i.

Proposition 1.1.1

^{Soit f}fj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire faible dans Pn. Pour tout 1in et pour tout j ²Ei :

On peut alors dénir la notion de normalisation introduite par D. Lazard dans [47].

Dénition 1.1.4

^Un système polynomial triangulaire normalisé dans Pn est un sys tème polynomial triangulaire faible ^ffj = 0^gj²E dans Pn vériant pour tout j ²E :

8 ²IN^?;ind(lc(fj))⁶²E:

Notre petit système polynomial triangulaire est bien normalisé. En eet, l'indice de lc(f) =X¹X²²+X¹² est 2, celui de lc²(f) = X¹ est 1 et ni 1, ni 2 n'appartiennent àE. Ainsi, il est visiblement très facile de vérier en pratique si un système polynomial triangulaire faible est normalisé ou pas. On pourrait donc se contenter de garder la dénition de la normalisation sous cette forme. Cependant, elle est dicilement ex-ploitable si on souhaite étudier les propriétés des systèmes polynomiaux triangulaires normalisés. D'où l'intérêt de chercher une autre caractérisation de la normalisation.

Dans ce but, on dénit les ensembles de polynômes suivants.

20 Propriété de normalisation

Dénition 1.1.5

^{Soitn 2IN? et E} un sous-ensemble de^f1;:::;n^g. On pose U⁰(E) = K^0?. Pour tout entieri(1in), on dénit un sous-ensembleUi(E) de Pi par :

Ui(E) =^fu ²Pi^;f0^g;⁸²IN;ind(lc(u))⁶²E^g

où, par convention, la 0^ème itérée de lc(u) est égale à u et l'indice d'un élément de K⁰ est égal à 0.

Remarque. Soient i un entier (1in), un sous-ensemble E de ^f1;:::;n^g etu un élément de Ui(E). Alors, le polynôme lc(u) est un élément de Ui^;1(E). En eet, par dénition :

lc(u)²Ui(E)^\Pi^;1 =Ui^;1(E):

Le lemme suivant fait le lien entre les ensembles Ui(E) et la dénition 1.1.4.

Lemme 1.1.1

Un système polynomial triangulaire faible ^ffj = 0^gj²E dans Pn est normalisé si et seulement si la condition suivante est vériée pour tout j ²E :

lc(fj)²Uj^;1(E):

Preuve. En eet, étant donné j dans E, on a la suite d'équivalences : lc(fj)²Uj^;1(E) ^{, 82}IN;ind(lc(lc(fj)))⁶²E;

, 8²IN;ind(lc⁺¹(fj))⁶²E;

, 8²IN^?;ind(lc(fj))⁶²E:

On retrouve donc bien la dénition 1.1.4.

Notation. Par la suite, les ensembles Ui(E) (1 i n) seront toujours dénis à partir de l'ensemble E des indices des variables algébriques d'un système polynomial triangulaire faible dans Pn. Par conséquent, ils seront notés plus simplement Ui(1 in).

Dans [57], M. Moreno Maza introduit une notion voisine de normalisation appelée régularité, qui s'énonce, dans notre contexte, de la manière suivante.

Dénition 1.1.6

Un système polynomial triangulaire faible^ffj = 0^gj²E dans Pn est régulier si pour tout j ²E :

j^;1(lc(fj))²K_?j^;1:

Remarque. Soit ^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Il est facile de vérier que pour tout j ²E (se reporter à la n du chapitre A) :

Kj^;1[Xj]

hj^;1[Xj](fj)^{i '}Frac Kj^;1[Xj]

hj^;1[Xj](fj)ⁱ

!

Sous l'hypothèse de régularité, les homomorphismes injj⁰ (j ² E) sont donc des bijec-tions. Ainsi, dans l'exemple précédent :

n (X¹X²²+X¹²)X³²+ 1 = 0

Propriété de normalisation 21 le système polynomial triangulaire faible étant clairement régulier, l'homomorphisme inj³⁰ est simplement l'identité.

Le résultat suivant, très utile par la suite, est une conséquence immédiate de la propriété de régularité.

Lemme 1.1.2

^{Soit f}fj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Alors, pour tout j ² E, l'homomorphisme j^;1[Xj] laisse invariant le degré du

Le système polynomial triangulaire faible T n'est pas régulier. De plus, l'anneau K² est égal à :

Ainsi, l'anneau K² est clairement isomorphe à : K^{2 '}Frac ^Q[X²]

h;1ⁱ

!

'f0^g: L'anneau K² est donc réduit à^f0^g!

La propriété de régularité des systèmes polynomiaux triangulaires faibles permet, en particulier, d'éviter les situations de ce type comme le montre le lemme suivant. On rappelle qu'un anneau est dit unitaire s'il possède un élément neutre pour la multipli-cation, distinct de 0 (dénition C.1.1).

Lemme 1.1.3

^{Soit ff}j = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dansPn. Alors, pour tout 0in, l'anneau Ki est unitaire.

Preuve. Il sut de raisonner par récurrence sur i(0in) en utilisant les lemmes C.1.1 et 1.1.2 pour conclure.

Le lemme technique suivant interviendra à de nombreuses reprises par la suite.

Lemme 1.1.4

^{Soit f}fj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dansPn. Etant donnés un polynôme g d'indice i(1 i n) et un entier k avec i k n, on a l'implication :

(i(g)²K_?i)⁾(k(g)²K_?k):

22 Propriété de normalisation Preuve. Par dénition, l'image deg par k est égale à :

k(g) = (k:::i⁺¹)(i(g)):

De plus, le système polynomial triangulaire étant régulier, on déduit du lemme précé-dent que les anneauxKi⁺¹;:::;Kk sont unitaires. Par suite, si i(g) est inversible dans Ki alors (k:::i⁺¹)(i(g)), c'est-à-dire k(g), est inversible dansKk.

Le résultat suivant met une évidence une propriété des systèmes polynomiaux trian-gulaires faibles dans Pn pour lesquels les anneauxKi(0in) ne sont pas réduits à

f0^g. Il est intéressant pour deux raisons. Tout d'abord, on sait, d'après le lemme 1.1.3, que les systèmes polynomiaux triangulaires réguliers vérient cette hypothèse sur les anneaux Ki (0 i n). De plus, ce résultat permet de montrer facilement que les systèmes polynomiaux triangulaires normalisés vérient aussi cette propriété (lemme 1.1.7).

Lemme 1.1.5

^{Soit ffj = 0gj2E} un système polynomial triangulaire faible dans Pn. Si les anneaux Ki (0in) sont unitaires alors pour tout 0in :

8u²Ui;i(u)²K_?i:

Preuve. On raisonne par récurrence suri. Le casi= 0 est immédiat car U⁰ =K^0?. On suppose le résultat vrai à l'ordre i^;1 avec i1. On se donne un élément u de Ui. Si i ⁶²E alors, par dénition, l'homomorphisme i est égal à injii^;1[Xi]. Puisque u²Ui, cela implique quelc(u)²Ui^;1. Ainsi, par hypothèse de récurrence, on en déduit que :

i^;1(lc(u))²K_?i^;1:

Le polynôme i^;1[Xi](u) ne peut donc pas être un diviseur de zéro dansKi^;1[Xi]. Par conséquent, son image par inji, c'est-à-dire i(u), est inversible dans Ki.

Si i²E alors l'ensembleUi reste égal à Ui^;1. Par suite, cela implique que : i^;1[Xi](u) = i^;1(u)²Ki^;1[Xi]^?:

L'anneau Ki étant unitaire, le résultat est alors immédiat.

En particulier, on déduit alors du lemme 1.1.3 que les systèmes polynomiaux triangu-laires réguliers vérient aussi cette propriété.

Lemme 1.1.6

^{Soit f}fj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dansPn. Alors pour tout 0in :

8u²Ui;i(u)²K_?i: Preuve. Immédiate.

Soit ^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire normalisé dans Pn. Le lemme suivant renforce le rôle joué par les ensembles Uj (j ² E). En eet, il montre que le résultat précédent reste valable sous l'hypothèse de normalisation. C'est d'autant plus important que les polynômes lc(fj) (j ² E) appartiennent alors précisément à Uj^;1. On en déduira le résultat principal de cette section (proposition 1.1.2).

Propriété de normalisation 23

Lemme 1.1.7

^{Soit ffj = 0gj2E} un système polynomial triangulaire normalisé dans Pn. Alors pour tout 0in :

8u²Ui;i(u)²K_?i:

Preuve. On raisonne par récurrence sur i. Le cas i = 0 est immédiat. On suppose le résultat vrai jusqu'à l'ordre i^; 1 avec i 1. D'après le lemme 1.1.1, pour tout j ² E, le coecient dominant de fj appartient à Uj^;1. Par suite, d'après l'hypothèse de récurrence, on déduit du lemme C.1.1 que tous les anneaux Kk(1 k i) sont unitaires. Il sut alors d'appliquer le lemme 1.1.5 pour conclure.

Le résultat suivant assure la pertinence des résultats énoncés sous l'hypothèse de régu-larité dans le cadre des systèmes polynomiaux triangulaires normalisés.

Proposition 1.1.2

^{Soit ffj = 0gj2E} un système polynomial triangulaire normalisé dans Pn. Alors pour tout j ²E :

j^;1(lc(fj))²K_?j^;1:

Preuve. Le système polynomial triangulaire étant normalisé, c'est une conséquence directe des lemmes 1.1.1 et 1.1.7.

Corollaire 1.1.1

Tout système normalisé au sens de D. Lazard est régulier.

Preuve. Triviale. Le résultat découle de la proposition précédente.

Exemple. On considère le système polynomial triangulaire faible dans Q[X¹;X²]

suiv-ant : ⁽

(X^1;1)X^2;1 = 0 X¹²+X¹+ 1 = 0 Par dénition, l'anneau K¹ est égal à :

K¹ =Frac ^Q[X¹]

hX¹²+X¹+ 1ⁱ

!

et l'homomorphisme ¹ est égal à :

¹ =inj^{10 1} où ¹ est la projection de Q[X¹] sur Q[X¹]

hX¹²+X¹+ 1ⁱ et inj¹⁰ est l'injection canonique de Q[X¹]

hX¹²+X¹+ 1ⁱ dans son anneau total des fractions ². Les polynômes X^{1 ;} 1 et X¹²+X¹+ 1 étant premiers entre eux dans Q[X¹], l'image du coecient dominant de f² = (X^1;1)X^2;1 par ¹, c'est-à-dire ¹(X^1;1), est donc inversible dansK¹. D'autre

2Il est facile de vérier que l'anneau Q[X¹]

hX¹²+X¹+ 1ⁱ est un corps. En particulier, celui-ci est donc isomorphe àK¹ et l'homomorphismeinj¹⁰ est simplement l'identité.

24 Propriété de normalisation part, l'indice delc(f²) =X^1;1 est aussi l'indice def¹ =X¹²+X¹+1. Ainsi, ce système polynomial triangulaire faible est régulier mais pas normalisé. Les deux notions ne sont donc pas équivalentes.

La proposition suivante précise la nature des homomorphismes i.

Proposition 1.1.3

^Soitffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Alors pour tout entier 1in, l'homomorphisme i est unitaire et injectif.

Preuve. Soit un entier i compris entre 1 et n. Si i ⁶²E alors, par dénition, l'homo-morphisme i est égal à :

i =injiinjK^i;1:

Ainsi, l'homomorphismei est égal à la composée de deux injections et, par conséquent, est injectif.

Si i²E alors, par dénition, l'homomorphismei est égal à : i =inj_i⁰iinjK^i;1:

Soit g un élément de Ki^;1 tel que i(g) soit nul. Alors :

i(g) = 0^,g ^2hi^;1[Xi](fi)ⁱKi^;1[Xi]:

Ce qui est encore équivalent au fait que le polynôme i^;1[Xi](fi) diviseg dans l'anneau Ki^;1[Xi]. Or, le degré deg en la variableXi est nul car, par hypothèse, c'est un élément de l'anneau Ki^;1. D'autre part, le système polynomial triangulaire étant régulier, le polynôme i^;1[Xi](fi) est de degré :

degXⁱ(i^;1[Xi](fi)) =deg(fi)>0:

Par suite, on en déduit que le polynôme g est identiquement nul. Ce qui montre que i

est injectif et achève la démonstration.

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