Une deuxième description des anneaux K i - Normalisation polynomiale

1.1 Normalisation polynomiale

1.1.2 Une deuxième description des anneaux K i

Soit ^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Au vu de leur dénition, il est légitime de se demander s'il existe une description non incrémentale des anneaux Ki(1 i n). Une première idée consiste à chercher un isomorphisme qui fait intervenir les anneaux Pi(1 i n) quotientés par les idéaux engendrés par les polynômes du système triangulaire. En eet, d'après la proposition 1.1.1 et [38, théorème 2.9 p.125], pour tout 1 in, il existe un homomorphisme d'anneaux :

hfjⁱj²Eⁱ ^;^!Ki

Cependant, cet homomorphisme n'est pas nécessairement bijectif (voir section B.2).

Toutefois, il existe bien une description non incrémentale de ces anneaux mais qui

Propriété de normalisation 25 utilise les noyaux des homomorphismes i (0in). On se propose ainsi de montrer pour tout 0 in les isomorphismes (théorème 1.1.1) :

Frac Pi

keri

'Ki

Dans cette section, on donne une démonstration élémentaire de ce résultat. L'idée est de décomposer les i (1 i n) en plusieurs homomorphismes en faisant inter-venir les anneaux Pi

keri et en distinguant les cas Xi algébrique et Xi transcendante.

Cette démarche permet de bien comprendre le fonctionnement des homomorphismes i(1 i n). Cependant, elle amène des raisonnements très techniques (mais en revanche peu compliqués).

On adopte les notations suivantes. Soit^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangu-laire faible dansPn. Pour tout 1in, on désigne parpi la projection de l'anneauPi

sur Pi

keri et par cani l'injection canonique de Pi

keri dans son anneau total des frac-tions. D'autre part, si i⁶²E, on pose xi égal àXi. On note alors idi l'homomorphisme canonique suivant :

Ki^;1[Xi],^!^idⁱ Ki^;1[xi] Xi ^7! xi

Dans le cas contraire, on posexi égal à la classe deXi dans Ki^;1[Xi]

hi^;1[Xi](fi)ⁱCelui-ci est alors égal à Ki^;1[xi]: Avec ces notations, l'homomorphisme i est égal à :

( i =inji idii^;1[Xi] si i⁶²E i =inji ii^;1[Xi] sii²E

où inji désigne l'injection canonique de Ki^;1[xi] dans son anneau total des fractions.

Ainsi, pour tout 1 i n, on obtient en appliquant [38, théorème 2.9 p.125] le diagramme commutatif suivant :

Pi =Pi^;1[Xi] ^i;1[^X^i]^//

pⁱ

%%%%❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑

))Ki^;1[Xi]

idⁱ^ouⁱ _//Ki^;1[xi] ^injⁱ ^//Ki =Frac(Ki^;1[xi])

keri

- ^eⁱ

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26 Propriété de normalisation où ^ei est l'homomorphisme injectif déni par :

( idii^;1[Xi] =^eipi si i⁶²E ii^;1[Xi] =^ei pi si i²E

Dans le lemme suivant, on dénit le noyau de i (1 i n) en fonction du noyau de i^;1 dans le cas où Xi est transcendante. Il existe un résultat analogue dans le cas i ² E [57]. On se bornera à utiliser dans la section suivante une caractérisation plus faible du noyau de i (lemme 1.1.11).

Lemme 1.1.8

^Soit ^f^f^j ^{= 0}^g^j²^E un système polynomial triangulaire faible dans Pn. Pour tout entier 1in tel que i⁶²E, le noyau de i est égal à :

keri = (keri^;1)[Xi]:

Preuve. L'entier i n'appartenant pas àE, l'homomorphisme i est égal à : i =injii^;1[Xi]:

Or, l'homomorphisme inji est injectif. Par suite, on en déduit : keri =ker(i^;1[Xi]):

Le résultat est alors immédiat.

Les homomorphismes^ei(1in) relient les anneaux Pi

keri etKi^;1[xi]. On aimerait alors en déduire un homomorphisme entre leurs anneaux totaux de fractions (puisque par dénition Frac(Ki^;1[xi]) = Ki). L'idée est d'utiliser la proposition C.3.8 à cette n en montrant que si la classe d'un polynôme dePi Pi n'est pas un diviseur de zéro dans keri alors son image n'est pas un diviseur de zéro dansKi^;1[xi] (1in). Dans ce but, étant donné un entier i(1in), on établit ce résultat en distinguant les cas :

Xi transcendante (lemme 1.1.9);

Xi algébrique (lemme 1.1.10).

Enn, étant donné un système polynomial triangulaire régulier dans Pn, on désigne pour tout 0 in par ^Hi l'assertion suivante : il existe un isomorphisme d'anneaux noté i :

Frac Pi

keri

^'ⁱ ^//Ki

qui rend commutatif le diagramme suivant : Pi

pⁱ

i //Ki

keri canⁱ ^//Frac Pi

keri

ⁱ

Propriété de normalisation 27

Lemme 1.1.9

^Soient ^f^f^j ^{= 0}^g^j²^E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn, un entier i ⁶² E(1 i n) et f un polynôme de Pi tel que ^ei(pi(f)) soit un diviseur de zéro dans Ki^;1[xi]. Alors, sous l'hypothèse ^Hi^;1, la classe pi(f) def est un diviseur de zéro dans l'anneau Pi

keri

Preuve. Le cas i= 1 est trivial. Soitf ²Pi (avec i2) tel que le polynôme^ei(pi(f)) soit un diviseur de zéro dansKi^;1[Xi]. Par dénition, l'image de pi(f) par^ei est égale à :

ei(pi(f)) = i^;1[Xi](f):

Sous l'hypothèse ^Hi^;1, cela implique en particulier que le polynôme : i^;1[Xi]^;1(i^;1[Xi](f)) = cani^;1[Xi](pi^;1[Xi](f)) est un diviseur de zéro dans l'anneauFrac Pi^;1

keri^;1

[Xi]Par suite, d'après le lemme C.3.8, on en déduit que :

pi^;1[Xi](f)²Div Pi^;1

keri^;1[Xi]

D'autre part, d'après le lemme 1.1.8 (i⁶²E), le noyau de i est égal à : keri = (keri^;1)[Xi]:

Par suite, on en déduit l'isomorphisme : Pi^;1

keri^;1[Xi]^' Pi

keri

Le résultat est alors immédiat.

Le lemme suivant complète le précédent en étudiant cette fois le cas où la variable Xi

est algébrique.

Lemme 1.1.10

^Soient ^f^f^j ^{= 0}^g^j²^E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn, un entier i ² E(1 i n) et un polynôme f de Pi tel que ^ei(pi(f)) soit un diviseur de zéro dans Ki^;1[xi]. Alors, sous l'hypothèse ^Hi^;1, la classe pi(f) def est un diviseur de zéro dans l'anneau Pi

keri

Preuve. Le casi= 1 est immédiat (carker¹ =^hf¹ⁱ). Soitf ²Pi (avec i2) tel que le polynôme ^ei(pi(f)) soit un diviseur de zéro dansKi^;1[xi]. Par dénition, l'image de pi(f) par^ei est égale à :

ei(pi(f)) =i(i^;1[Xi](f)):

28 Propriété de normalisation Par hypothèse, l'image du polynôme i^;1[Xi](f) par i est un diviseur de zéro dans l'anneau Ki^;1[xi] = Ki^;1[Xi]

hi^;1[Xi](fi)ⁱ Par suite, il existe u²Ki^;1[Xi] avec i(u)⁶=i(0) tel que :

i(i^;1[Xi](f))i(u) =i(0): Cela entraîne :

i^;1[Xi](f)u²^hi^;1[Xi](fi)ⁱKi^;1[Xi]: Par suite, il existe un polynôme v de Ki^;1[Xi] tel que :

i^;1[Xi](f)u= i^;1[Xi](fi)v:

Par hypothèse, l'anneau Ki^;1[Xi] est isomorphe à : Ki^;1[Xi]

i;1 [Xⁱ^]^;1

' //Frac Pi^;1

keri^;1

[Xi]

Ainsi, d'après le lemme C.3.4, il existeg;h²Pietg⁰;h⁰ ²Pi^;1avecpi^;1(g⁰);pi^;1(h⁰)⁶² Div Pi^;1

keri^;1

tels que :

u=i^;1[Xi] cani^;1[Xi](pi^;1[Xi](g)) cani^;1(pi^;1(g⁰))

etv =i^;1[Xi] cani^;1[Xi](pi^;1[Xi](h)) cani^;1(pi^;1(h⁰))

D'après ce qui précède et sous l'hypothèse ^Hi^;1, on obtient alors : i^;1[Xi](f) ⁱ^;1[Xi](g)

i^;1[Xi](g⁰) = ⁱ^;1[Xi](fi) ⁱ^;1[Xi](h) i^;1[Xi](h⁰) et donc l'égalité :

i^;1[Xi](h⁰f g) = i^;1[Xi](g⁰fih): Ce qui est équivalent à :

h⁰f g^;g⁰fih²ker(i^;1[Xi]):

Or, le polynômefiest un élément du noyau de i. De plus, on a clairement l'inclusion : ker(i^;1[Xi])keri:

Par suite, d'après la proposition 1.1.1, on obtient : h⁰f g²keri: Ce qui est équivalent à :

pi(f)pi(h⁰g) =pi(0):

Propriété de normalisation 29 Reste à montrer que pi(h⁰g)⁶=pi(0). L'image du polynômeh⁰g par i^;1[Xi] est égale, par dénition, à :

i^;1[Xi](h⁰g) =ui^;1(g⁰h⁰): Or, les classes des polynômes g⁰ eth⁰ dans Pi^;1

keri^;1 ne sont pas des diviseurs de zéro d'après le lemme C.3.4. En particulier, on en déduit que :

cani^;1(pi^;1(g⁰h⁰))²Frac Pi^;1

keri^;1

Ainsi, sous l'hypothèse ^Hi^;1 et d'après le lemme 1.1.4, on obtient : i(g⁰h⁰)²K_?i:

De plus, par dénition de i et d'après l'égalité précédente, l'image de h⁰g par i est égale à :

i(h⁰g) = i(u)

1 ⁱ(g⁰h⁰)

avec i(u)⁶=i(0) par hypothèse. Ainsi, puisque i(g⁰h⁰)²K_?i, on obtient : i(h⁰g)⁶= 0

Ce qui est équivalent à :

h⁰g ⁶²keri

et donc à pi(h⁰g)⁶=pi(0): Ce qu'il fallait montrer.

On peut alors démontrer le résultat escompté.

Théorème 1.1.1

^Soit ^ffj = 0^gj²E un système polynomial triangulaire régulier dans Pn. Pour tout 0in, on a le diagramme commutatif suivant :

pⁱ

//Ki

keri canⁱ ^//Frac Pi

keri

ⁱ

où pour tout f;g ² Pi tels que pi(g) ne soit pas un diviseur de zéro, l'isomorphisme d'anneaux i est déni par :

i pi(f) pi(g)

= ⁱ(f) i(g)

30 Propriété de normalisation Preuve. On raisonne par récurrence sur i. Le cas i = 0 est trivial. On suppose le résultat vrai à l'ordre i^;1 (i1). Soithun polynôme de Pi tel que^ei(pi(h)) soit un diviseur de zéro dans Ki^;1[xi]. D'après les lemmes 1.1.9 et 1.1.10, on sait que pi(h) est un diviseur de zéro dans l'anneau Pi

keri D'après la proposition C.3.8, il existe donc un homomorphisme noté i :

Frac Pi

keri

ⁱ

;!Frac(Ki^;1[xi]) =Ki

tel que le diagramme suivant soit commutatif : Ki^;1[xi]

De plus, par construction, l'homomorphisme^ei est injectif. D'après le premier point de la proposition C.3.9, on en déduit que l'homomorphismeiest aussi injectif. Reste donc à montrer que i est surjectif. L'idée est d'utiliser la seconde partie de la proposition C.3.9.

et dans le cas contraire :

inji(u) =i pi(g) pi(g⁰)

Ainsi, l'image de Ki^;1[xi] par inji est inclus dans Imi. Par suite, on déduit de la proposition C.3.9 que l'homomorphisme i est bijectif. D'où le résultat.

Propriété de normalisation 31

Dans le document Triangularisation de systemes constructibles Application a l'evaluation dynamique (Page 26-33)