Notions fondamentales

Dans [65], B.L. van der Waerden dénit la notion de zéro d'un idéal de Pn. Etant donnés une extension de corps Lde K⁰ et un idéal ^I de Pn, le point (a¹;:::;an) deLⁿ est un zéro de ^I si pour tout polynôme f ²Pn :

f ^{2I )}f(a¹;:::;an) = 0: (2.1) Le but de B.L. van der Waerden est de paramétrer des variétés algébriques avec des fonctions algébriques (i.e. des éléments d'une extension algébrique deK⁰(X¹;:::;Xn)).

Aussi, il cherche une notion plus ne de zéro s'appliquant uniquement aux idéaux premiers de Pn et telle que la relation (2.1) devienne alors une équivalence. Pour ce faire, il montre qu'on peut associer canoniquement un idéal premier de Pn à tout point de Lⁿet inversement. Il en déduit alors l'existence, pour tout idéal premier de Pn, d'un point de Lⁿ, unique à isomorphisme près, qui vérie la relation (2.1) et sa réciproque.

C'est le concept de zéro générique d'un idéal premier de Pn. Les idéaux des variétés algébriques [15, dénition 5 p.31] irréductibles étant premiers, il peut alors résoudre son problème.

Cette notion permet de dénir un objet algébrique fondamental à partir d'une chaîne régulièreRdansPn. Il s'agit de l'idéalRepn(R) dePnreprésenté parR. Celui-ci possède des propriétés algébriques remarquables (étudiées dans la section suivante) et permet à M. Kalkbrener de résoudre son problème mentionné plus haut.

Enn, comme son titre l'indique, cette section est consacrée à l'introduction des con cepts fondamentaux de M. Kalkbrener. Celle-ci est toutefois enrichie du théorème 2.1.4 qui est le premier élément du lexique algèbre-géométrie et du lemme 2.1.4.

Aperçu géométrique 69 On eectue tout d'abord quelques rappels à propos des zéros génériques des idéaux premiers dePn. Les diérents résultats énoncés dans cette optique (tous issus de [65]) ne sont pas accompagnés de leurs preuves, on renvoie pour cela à l'ouvrage précédemment cité.

Théorème 2.1.1

[65, théorème 1 p.52] Soient n ² IN^?, une extension L de K⁰ et (¹;:::;n) un point de Lⁿ. Les polynômes f de Pn pour lesquels f(¹;:::;n) est égal à zéro, forment un idéal premier de K⁰[X¹;:::;Xn].

Théorème 2.1.2

[65, théorème 2 p.52] Si^P désigne l'idéal premier du théorème précé-dent, alors K⁰(¹;:::;n) est isomorphe au corps des fractions de Pn

P

De plus, l'iso-morphisme envoie chacun des Xi sur i.

Théorème 2.1.3

[65, théorème 3 p.53] A tout idéal premier ^P de Pn correspond un corps = K⁰(¹;:::;n) tel que :

P =^ff ²Pn;f(¹;:::;n) = 0^g

Ainsi, d'après le théorème 2.1.3, le corps = K⁰(¹;:::;n) peut être construit pour tout idéal premier dePn. De plus, d'après le théorème 2.1.1, ce corps n'existe que pour des idéaux premiers et il est unique à isomorphisme près d'après le théorème 2.1.2.

Enn, ses générateurs i vérient la propriété suivante : f(¹;:::;n) = 0^,f ^2P:

Dénition 2.1.1

[65, dénition p.53] Le corps est appelé le corps des zéros de ^P et (¹;:::;n) est appelé le zéro générique de ^P.

Remarque. Il est important de souligner que le zéro générique d'un idéal premier de Pnest unique à isomorphisme près . Plus précisément, si (¹;:::;n) et (¹;:::;n) sont deux zéros génériques d'un même idéal premier^P dePn, alors il existe un isomorphisme de Pn-algèbres :

K⁰(¹;:::;n)^'K⁰(¹;:::;n) qui envoie chacun des i sur i.

Par la suite, on parlera du zéro générique (à isomorphisme près) d'un idéal premier de Pn.

Lemme 2.1.1

^{Soit L} une extension de K⁰. Tout point de Lⁿ est le zéro générique (à isomorphisme près) d'un idéal premier de Pn.

Preuve. Immédiate (d'après le théorème 2.1.1 et par dénition d'un zéro générique).

On peut alors introduire les chaînes régulières de M. Kalkbrener. La terminologie util-isée par la suite est celle de [41]. Ainsi, on désigne parK^f0 un corps algébriquement clos de degré de transcendance inni sur K⁰.

Dénition 2.1.2

[41, dénition p.111] L'ensemble vide est la seule chaîne régulière dans P⁰ = K⁰. L'ensemble constitué uniquement de la liste vide est appelé l'ensemble des zéros réguliers de ^; et est noté RZ(^;).

Soit n²IN^?. Un sous-ensemble R de Pn est une chaîne régulière dans Pn si :

70 Aperçu géométrique 1. l'ensemble R^\Pn^;1 est une chaîne régulière dans Pn^;1;

2. l'ensemble R^;Pn^;1 a au plus un élément;

3. s'il existe un polynôme f dans R^;Pn^;1 alors, pour tout élément (a¹;:::;an^;1) de l'ensemble des zéros réguliers de R^\Pn^;1, le coecient dominant de f en la variable Xn ne s'annule pas en (a¹;:::;an^;1).

Soit R une chaîne régulière dans Pn et RZ l'ensemble des zéros réguliers de R^\Pn^;1. Si R est inclus dans Pn^;1, alors l'ensemble :

f(a¹;:::;an)^j(a¹;:::;an^;1)²RZ;an²K^f0 est transcendant sur K⁰(a¹;:::;an^;1)^g est appelé l'ensemble des zéros réguliers de R. S'il existe un polynôme f dans R^;Pn^;1

alors :

f(a¹;:::;an)^j(a¹;:::;an^;1)²RZ;an²K^f0 et f(a¹;:::;an) = 0^g est appelé l'ensemble des zéros réguliers deR.

L'ensemble des zéros réguliers de R est noté RZn(R).

Il est clair, à partir de la dénition, que si n est un entier naturel strictement positif alors RZn(R) est non vide pour toute chaîne régulièreR dans Pn.

Etant donné un anneau ^A, on rappelle que Spec(^A) désigne l'ensemble des idéaux premiers de ^A.

Dénition 2.1.3

[41, dénition p.112] Si R est une chaîne régulière dans Pn alors l'ensemble :

fP 2Spec(Pn)^jP a un zéro générique dans RZn(R)^g

est appelé l'ensemble des idéaux premiers associés à R et est noté APIn(R): De plus, on pose :

API⁰(^;) =^ff0^gg

L'idéal : \

P2APIⁿ⁽R⁾

P

est dit représenté parR et est noté Repn(R). Enn, l'ensemble Rep⁰(^;) désigne l'idéal

f0^g.

Notation. Pour tout point de K^f0n, on note ^P l'idéal premier de Pn dont est le zéro générique (à isomorphisme près).

Remarque. Etant donnée une chaîne régulière R dans Pn, cette notation permet de donner une présentation plus agréable des ensembles APIi(R) (1in) :

APIi(R) =^fPa^ga²RZⁱ⁽R⁾:

Etant donnée une chaîne régulière R dans Pn, le lemme suivant relie géométriquement RZn(R) et l'idéal Repn(R). Dans le cas particulier où la variété V(Repn(R)) est de dimension nulle, M. Kalkbrener donne une version plus forte de ce résultat [41, p.115].

Aperçu géométrique 71

Lemme 2.1.2

^{Soit R} une chaîne régulière dans Pn. Alors : RZn(R) =V(Repn(R)):

Preuve. Soient a² RZn(R) et ^Pa l'idéal premier de Pn dont a est le zéro générique.

On déduit de [15, proposition 1 p.191] et [15, dénition 2 p.192] l'égalité :

fa^g=V(I(^fa^g)):

Or, par dénition de I [15, p.191], l'idéalI(^fa^g) est clairement égal à^Pa. Par suite, on obtient :

RZn(R) = ^[

a²RZⁿ⁽R⁾

fa^g= ^[

a²RZⁿ⁽R⁾V(^Pa) = ^[

P2APIⁿ⁽R⁾V(^P): Il sut alors de revenir à la dénition de l'idéal Repn(R) pour conclure.

On notera l'analogie entre le lemme suivant et la proposition 1.1.2. En eet, étant donné un système polynomial triangulaire normalisé ^ffj = 0^gj²E dans Pn, l'image du coecient dominant de chaque polynôme fj (j ² E) par j^;1 est non nulle. De même, étant donnée une chaîne régulièreR dansPn, le coecient dominant de chaque polynôme d'indice j ne s'annule pas en tout point de RZj^;1(R).

Lemme 2.1.3

^Soit R une chaîne régulière dans Pn. Alors, pour tout polynôme f de R d'indice i(1in) et pour tout a ²RZi^;1(R) :

degXⁱ(f) =degXⁱ(f(a;Xi)):

Preuve. Triviale. Il sut de revenir à la dénition 2.1.2 d'une chaîne régulière dans Pn.

Soit R une chaîne régulière dans Pn. Le théorème suivant permet de caractériser les polynômes des idéaux Repi(R) en utilisant notamment la propriété fondamentale des zéros génériques des idéaux premiers de Pi(1in).

Théorème 2.1.4

^{Soit R} une chaîne régulière dans Pn. Alors pour tout 1 i n et pour tout polynôme f de Pi :

f ²Repi(R)^,8a²RZi(R);f(a) = 0:

Preuve. Soient i un entier (1 i n) et f un polynôme de Pi. On a la suite d'équivalences :

f ²Repi(R) ^{, 8Q2}APIi(R);f ^2Q;

, 8a²RZi(R);f ^2Pa;

, 8a²RZi(R);f(a) = 0:

La première équivalence découle de la dénition deRepi(R), la deuxième de la remarque précédente et la troisième de la propriété des zéros génériques. D'où le résultat.

Le théorème précédent peut aussi s'énoncer ainsi. SoitR une chaîne régulière dans Pn. Pour tout 1in et pour tout polynôme f de Pi, les deux assertions suivantes sont équivalentes :

72 Aperçu géométrique 1. la classe de f dans l'anneau Pi

Repi(R) est nulle;

2. pour tout a²RZi(R), le polynômef s'annule au point a.

On peut alors se demander ce que devient la première assertion dans le cas où on suppose au contraire que le polynôme f ne s'annule en aucun point de RZi(R). Le lemme suivant permettra de répondre à cette question dans le théorème 2.1.5.

Lemme 2.1.4

^{Soit R} une chaîne régulière dans Pn. Alors pour tout 1in et pour tout g ²Pi :

9P 2APIi(R); g ^{2P ,9}a²RZi(R); g(a) = 0:

Preuve. Il sut de revenir aux dénitions des ensemblesRZi(R) et des idéauxAPIi(R) puis d'appliquer la propriété fondamentale des zéros génériques d'un idéal premier de Pi(1in).

Dans le document Triangularisation de systemes constructibles Application a l'evaluation dynamique (Page 70-74)