Propagation des ondes

La propagation des ondes de pression acoustique est r´egie par l’´equation des ondes :

∂2_p

∂t2 − c 2

a4p = 0, (5.1)

o`u ca est la vitesse de propagation du son dans l’air. De la relation de dispersion de cette ´equation, ω2 _{= c}2

ak2, on en d´eduit la vitesse de phase et la vitesse de groupe des ondes de pression acoustique : cpha = ω k = ca, c_gra = µ ∂ω ∂k ¶ k0 = c_a. (5.2)

La vitesse de groupe et la vitesse de phase sont constantes et de valeur ca. La propagation est non dispersive et elle ne modifie pas la forme du signal.

La propagation des ondes ´elastiques dans les plaques est d´ecrite par le mod`ele de Kirchhoff Love. On rappelle les expressions de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe donn´ees par 3.11 : c_ph(ω) =√κω, cgr(ω) = 2 √ κω. (5.3) La propagation est dispersive puisque cph et cgr d´ependent de ω. Ainsi, la forme des signaux n’est pas pr´eserv´ee au cours de leur propagation.

5.2.1.1 Temps d’arriv´ee

Une cons´equence directe de l’´equation (5.3) est que, pour les plaques, l’´energie vibratoire en hautes fr´equences se propage plus rapidement que celle en basses fr´equences. Pour la r´eponse impulsionnelle (RI) du r´everb´erateur, cela se traduit par l’arriv´ee des hautes fr´equences avant celle des basses fr´equences. Ce ph´enom`ene peut se traduire par une augmentation du niveau per¸cu en hautes fr´equences. On observe exp´erimentalement cette d´ependance fr´equentielle de l’arriv´ee de l’´energie grˆace `a l’analyse temps-fr´equence de la RI mesur´ee montr´ee `a la Figure 5.1. La vitesse de groupe correspond `a la vitesse de propagation de l’´energie vibratoire de la plaque. Pour le r´everb´erateur EMT140, o`u κ = 0.7846, la vitesse de groupe dans le domaine audible f ∈ [20; 20000] Hz est dans l’intervalle cgr ∈ [20; 628] m/s. A partir de cet intervalle de vitesse et de la distance entre l’excitateur et les points d’observation de gauche 0.6 m et de droite 0.88 m, on peut estimer le temps de propagation jusqu’aux points d’observation :

tO1 ∈ [1; 30.3] ms `a gauche et tO2 ∈ [1.4; 44.3] ms `a droite. Ces retards `a l’arriv´ee ne sont pas n´egligeables par rapport aux capacit´es du syst`eme auditif humain [8]. En particulier, les retards temporels sont dans des intervalles pouvant faire intervenir l’effet de pr´ec´edence du syst`eme auditif : lorsqu’un son arrive deux fois aux oreilles, l’information sur la localisation n’est retenue que pour la premi`ere manifestation de ce son. Ceci explique l’importance du retard initial dans l’appr´eciation de la localisation de la source dans un lieu r´everb´erant.

t [s]

f [kHz]

0,01

0.05

0.015

0.020

0.025

0

5

10

15

Fig. 5.1: Spectrogramme du transitoire initial de la RI mesur´ee du r´everb´erateur EMT140. L’´energie arrive plus tˆot en hautes fr´equences par rapport aux basses fr´equences.

102 103 104 10−3 10−2 10−1 f [Hz] t [s]

Fig. 5.2: Temps d’arriv´ee de l’´energie introduite par l’excitateur `a l’acc´el´erom`etre de droite (- - -) et `a celui de gauche (- · -) du r´everb´erateur EMT140 dans le domaine audible f ∈ [20; , 20000] Hz. Retard de l’arriv´ee `a l’acc´el´erom`etre de gauche par rapport `a celui de droite (—).

5.2.1.2 Distorsion de la propagation

La distorsion de la propagation des ondes de flexion est montr´ee ici `a partir de l’´etude de la propagation des ondes de vibration transversales d’une corde raide. L’´equation aux d´eriv´ees partielles qui r´egit ces vibrations est :

∂2_y ∂t2 − c24y + κ,242y = 0, o`u : c2 = T ρS, κ ,2 ₌ EI ρS, (5.4)

o`u ρ est la masse volumique, S la section, I le moment d’inertie de flexion par rapport `a la fibre neutre et E le module de Young de la corde. T est la tension appliqu´ee `a la corde en N/m. Si on

supprime le terme en κ,2_{, on obtient l’´equation de la corde id´eale (sans raideur), dont l’´ecriture} est la mˆeme que celle de l’´equation des ondes en une dimension. Si on supprime le terme en

c2 _{en conservant les deux autres termes, on obtient l’´equation d’Euler Bernoulli qui d´ecrit les} vibrations de flexion des poutres minces et qui est l’´equivalent `a une dimension de l’´equation de Kirchhoff-Love.

Pour passer progressivement d’une propagation non dispersive `a une propagation de plus en plus dispersive, on garde une valeur fixe de c2 <sub>et on regarde la propagation pour des valeurs crois-</sub> santes de κ0<sub>. On contrˆole la raideur `a partir du coefficient d’inharmonicit´e B = (EI/T L</sub>2₎1/2_{, o`u}

L es la longueur de la corde. La Figure 5.3 montre le signal temporel obtenu par synth`ese modale

pour une corde appuy´ee sur ses extr´emit´es et avec un d´eplacement initial impulsionnel, pour des valeurs croissantes de B. On observe que plus la raideur augmente, plus l’impulsion initiale est distordue au cours de sa propagation. Pour B = 10−10_{, on a une propagation non dispersive} comme celle de l’´equation des ondes 1D et le motif initial est conserv´e au cours du temps. Pour

B = 10−4<sub>, l’effet de la dispersion est faible et on a une l´eg`ere distorsion du signal initial, mais</sub> on identifie bien les r´eflexions de l’impulsion. Pour B = 10−3<sub>, la forme impulsionnelle est perdue</sub> progressivement au cours de sa propagation. Pour B = 10−2<sub>, la distorsion est tellement impor-</sub> tante qu’on peut identifier uniquement la premi`ere r´eflexion, et pour B = 10−1_{, on n’identifie} mˆeme pas la premi`ere r´eflexion. La propagation des ondes dans les plaques est similaire `a celle d´ecrite par le dernier cas. On constate qu’il n’est pas possible d’identifier les r´eflexions en raison de l’´etalement de l’impulsion initiale qui est dˆu `a la propagation dispersive.

5.2.1.3 Identification des r´eflexions

Le comportement dispersif des ondes de flexion d’une plaque mince est similaire `a celui d’une poutre mais en deux dimensions. Les effets de la dispersion peuvent s’observer sur le transitoire initial de la RI mesur´ee du r´everb´erateur EMT140, montr´ee par la Figure 5.4. Pour comparaison, on montre la RI acoustique d’une salle de concerts. La RI de la salle a ´et´e enregistr´ee par G. Defrance dans la Salle Pleyel (Paris), une salle de concert de 2000 places. Pour plus de d´etails sur les mesures de la Salle Pleyel, le lecteur peut se r´ef´erer `a [22]. On observe que, pour la salle, le son direct et les premi`eres r´eflexions sont identifiables facilement, tandis que pour la plaque cette identification n’est pas possible. Ce ph´enom`ene est dˆu `a la dispersion dans la propagation.