Amortissement moyen par bande de fr´equence

Les m´ecanismes dissipatifs des vibrations du r´everb´erateur ont ´et´e pr´esent´es dans la mod´elisa- tion. La description la plus d´etaill´ee de cet amortissement est donn´ee par l’amortissement modal, o`u une enveloppe de d´ecroissance de la forme e−αpt <sub>est associ´ee au r´egime libre de chaque</sub> mode de vibration. N´eanmoins, la mesure du param`etre αp pour chacun des pr`es de 25000 modes du r´everb´erateur dans le domaine audible est une tˆache fastidieuse et difficile `a mettre en œuvre. Les analyses men´ees `a tr`es basses fr´equences avec la m´ethode param´etrique Esprit ne sont pas concluantes, en raison de la tr`es grande densit´e modale et de la difficult´e `a valider les r´esultats obtenus. Pour ces raisons, une description sous forme d’amortissement moyen par bande

fr´equentielle a ´et´e choisie pour caract´eriser exp´erimentalement la d´ecroissance des vibrations du r´everb´erateur.

3.4.1.1 Analyse temps fr´equence de la r´eponse impulsionnelle

L’analyse temps-fr´equence des r´eponses impulsionnelles mesur´ees est faite grˆace `a la trans- form´ee de Fourier `a court terme (TFCT). Pour un signal x(n), elle est d´efinie par [61] :

Xn,k= X[n, 2πk/Nf] = L−1_X m=0

x[n + m]w[m]ej(2π/Nf)km_{. (3.5)}

Xn,k est la Transform´ee de Fourier Discr`ete (TFD) d’une portion du signal d’entr´ee pond´er´e par la fenˆetre d’analyse x[n + m]w[m]. La fenˆetre w(m) est non nulle pour m ∈ [0; L − 1] et nulle ailleurs. Les pulsations discr`etes sont λk = 2πk/Nf avec Nf ≥ L. En pratique, pour Nf = L, cette repr´esentation se calcule avec la commande Matlab©specgram. Les param`etres de la TFCT

sont la taille des transform´ees successives N_f, le type de fenˆetre w(m) et le pas ∆n d’avancement dans le signal. ∆n doit ˆetre dans l’intervalle [1; Nf] pour ´eviter la perte d’information. On le d´efinit, `a partir du recouvrement r ∈]0; 1] entre transform´ees successives, par ∆n = d(1 − r)Nfe, o`u d e est l’op´erateur partie enti`ere par exc`es. Par exemple, un recouvrement de 50%, r = 0.50, correspond `a un avancement ∆n = 0.5N_f, et chaque ´echantillon de x(n) participe dans le calcul de deux spectres locaux. L’analyse temps fr´equence du signal temporel x(n) retourne la matrice

X_i∆n,k.

Fig. 3.8: Analyse temps fr´equence d’un signal par TFCT.

Pour un instant donn´e, c’est `a dire i = i0 fixe, le spectre Xi0∆n,: est la transform´ee de Fou- rier du segment de signal x(n) avec n ∈ [i0∆n; i0∆n + Nf] pond´er´e par la fenˆetre d’analyse

w. Cette repr´esentation donne une estimation de la r´epartition spectrale de l’´energie tous les

∆n ´echantillons. Il peut ˆetre interpr´et´e comme un ´echantillonnage `a F s/∆n Hz d’un “spectre instantan´e”. Plus ∆n est petit et plus le recouvrement entre portions successives est grand. La

r´esolution fr´equentielle de chacun de ces spectres est donn´ee par ∆f = F s/Nf et la r´esolution temporelle est ∆t = ∆n/F s. Cette op´eration peut ˆetre aussi interpr´et´ee comme le passage de

x(n) dans un banc de N_f/2 + 1 filtres passe bande centr´es `a la fr´equence f<sub>k</sub> = F s(k/N<sub>f</sub>) Hz. Pour plus de d´etails le lecteur peut s’adresser `a [49].

Pour l’analyse du r´everb´erateur, le signal x(n) correspond `a la r´eponse impulsionnelle mesur´ee ´echantillonn´ee `a F s = 48000 Hz. Une fenˆetre d’analyse de Hanning offre un bon compromis entre largeur des lobes secondaires et primaire. Le choix d’une taille de transform´ee N_f = 1024 et d’un recouvrement r = 0.9 fournit une repr´esentation de r´esolution fr´equentielle ∆f = 46.875 Hz et de r´esolution temporelle ∆t = 2 ms. Ces r´esolutions sont jug´ees suffisantes pour l’analyse de l’amortissement du r´everb´erateur. L’estimation de la d´ecroissance temporelle de chaque bande fr´equentielle Xn,k d’index k est d´ecrite ci-apr`es.

3.4.1.2 Analyse de la d´ecroissance d’un canal

La d´ecroissance de chaque bande X_n,k d’index k peut ˆetre estim´ee par r´egression lin´eaire, au sens des moindres carr´es, de Xn,ki en ´echelle logarithmique par rapport au temps. La relation entre l’amortissement α et la pente de la droite KdB exprim´ee en dB/s est donn´ee par :

α = KdBln(10)/20. (3.6)

L’´evolution temporelle de l’´energie pr´esente des oscillations et n’est pas strictement d´ecroissante. Ce ph´enom`ene introduit une incertitude lors de l’ajustement de la droite, qui d´epend de l’in- tervalle d’ajustement utilis´e. La Figure 3.9 montre deux cas typiques de ces incertitudes d’ajus- tement. La Figure 3.9 (a) montre les diff´erentes droites obtenues pour 4 dur´ees d’ajustement

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −4 −3 −2 −1 0 t [s] log ( X n,2 ) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 t [s] log ( X n,200 ) (a) fki = 70 Hz (b) fki = 10 kHz

Fig. 3.9: Module de la bande fr´equentielle de la TFCT centr´ee `a fki |X·,ki| (· · · ) et plusieurs droites de

d´ecroissance ajust´ees de longueurs diff´erentes (—). (a) : fki = 70 Hz. (b) : fki = 10 kHz.

diff´erentes d’une bande faiblement amortie. La pente des droites, et donc l’estimation de α, d´epend de la dur´ee de signal utilis´ee pour faire l’ajustement. Ceci est critique pour de faibles dur´ees, o`u l’estimation de α est fausse. Par exemple, l’ajustement sur l’intervalle t ∈ [0; 0.5] s conduit `a une pente positive. Pour ˆetre pr´ecis dans l’estimation de α, l’ajustement doit ˆetre fait sur une portion tr`es grande de signal. Ceci est possible dans ce cas, puisque l’amortissement est faible, mais il n’en est pas de mˆeme pour des amortissements ´elev´es, o`u la dur´ee utile est limit´ee. La Figure 3.9 (b) montre la d´ecroissance `a fi = 10 kHz. L’amortissement est plus important que dans le cas pr´ec´edent et l’ajustement de la droite doit se faire sur une dur´ee plus courte. De tr`es petites variations de la dur´ee du signal analys´e peuvent conduire `a des ´ecarts importants dans

l’estimation de l’amortissement. Par exemple, pour t ∈ [0; 0.5] s on obtient α = 6.21, tandis que pour t ∈ [0; 0.54] s on obtient α = 7.54. Ces diff´erences sont dues `a la pr´esence d’un minimum relatif `a t = 0.54 s, dont l’effet est l’augmentation de l’inclinaison de la droite quand il est pris en compte. Il semble clair, d’apr`es ces remarques, qu’il est n´ecessaire de recourir `a un moyen plus robuste pour l’estimation de la d´ecroissance.

3.4.1.3 Courbe de d´ecroissance

L’estimation de la d´ecroissance d’une r´eponse impulsionnelle est souvent trait´ee en acoustique des salles `a l’aide de la courbe de d´ecroissance, d´efinie par Schroeder [72] :

EDC_h(t) = Z _+∞

t

h2(τ )dτ. (3.7)

Cette courbe s’obtient par int´egration, dans le sens inverse du temps, de l’´energie de la r´eponse impulsionnelle h2(t). La valeur de EDCh(t) correspond `a l’´energie restante de la r´eponse im- pulsionnelle au temps t. EDCh(t) est donc une fonction monotone d´ecroissante. Cette propri´et´e permet de contourner les difficult´es li´ees aux oscillations et mises en ´evidence `a la Figure 3.9. Dans le domaine discret, l’´equation (3.7) n’est plus une int´egrale mais une somme sur des ´echantillons discrets. L’application de cette courbe de d´ecroissance `a chaque bande ki de la TFCT s’´ecrit :

EDCX_n,ki(m) = M X n=m

|Xn,ki|. (3.8)

La borne sup´erieure n’est plus +∞ mais un instant M au-del`a duquel la r´eponse impulsionnelle est n´egligeable par rapport au bruit [72]. La valeur de M doit ˆetre soigneusement choisie afin d’´eviter une sous-estimation de la courbe par une troncature excessive de la r´eponse, ou une sur- estimation de la courbe `a cause de la contribution du bruit. Il est ainsi n´ecessaire de connaˆıtre la dur´ee utile de la r´eponse, qui d´ependra de l’amortissement de la bande fr´equentielle. La m´ethode pratique de calcul consiste `a inclure dans la somme les ´echantillons de h2(t) dont la valeur est sup´erieure au niveau de crˆete du bruit de mesure. Le niveau de crˆete est estim´e `a partir de l’´energie de la partie finale de chaque bande, o`u il ne reste que du bruit. Pour un bruit gaussien, le niveau de crˆete est `a environ 10 dB au dessus de sa valeur moyenne. En pratique, un choix entre 6 et 8 dB au dessus du niveau moyen du bruit de mesure donne la dynamique maximale de mesure. Ce choix avait d´ej`a ´etait retenu par Jot lors de l’analyse de la r´eponse impulsionnelle d’espaces acoustiques [40].

La Figure 3.10 montre l’application de cette m´ethode pour deux bandes diff´erentes de la RI du r´everb´erateur. Cette m´ethode est suffisamment robuste pour ˆetre appliqu´ee au calcul automatique de l’amortissement de chaque bande de la r´eponse impulsionnelle.