On s’int´eresse `a la mesure du r´everb´erateur dans son ensemble, c’est `a dire `a la r´eponse du syst`eme qui re¸coit un signal ´electrique alimentant l’actionneur et qui d´elivre un signal ´electrique proportionnel `a l’acc´el´eration d’un point de la plaque.
h(t)
]
[V
)
(t
U
x)
(t
U
]
[V
Fig. 3.2: Sch´ema de la r´eponse impulsionnelle mesur´ee, dont l’entr´ee est le signal ´electrique d’alimentation de l’excitateur et la grandeur de sortie est le signal ´electrique fourni par l’acc´el´erom`etre.
Dans le r´egime lin´eaire, la connaissance de la r´eponse impulsionnelle (RI) du syst`eme permet de pr´edire sa r´eponse `a n’importe quel signal d’excitation. L’analyse de cette mesure permet d’´etablir certains param`etres d’entr´ee du mod`ele et de comparer la r´eponse exp´erimentale aux si- mulations issues du mod`ele physique. En particulier, l’analyse temps-fr´equence de la d´ecroissance de la r´eponse impulsionnelle fournit le comportement fr´equentiel de l’amortissement des vibra- tions. L’acc`es `a cette information n´ecessite une r´eponse impulsionnelle avec un rapport signal sur bruit (RSB) ´elev´e. Une RSB d’au moins 30 dB est ainsi n´ecessaire dans chaque bande de fr´equence. Un int´erˆet suppl´ementaire de la mesure de la RI est la caract´erisation possible de l’effet de l’actionneur par comparaison de la RI avec l’admittance au point d’excitation de la plaque.
3.3.1 M´ethode de mesure
La mesure de la RI par excitation du syst`eme avec une source impulsionnelle n’est pas conseill´ee en raison du faible RSB obtenu. Pour augmenter le RSB, la source impulsionnelle devrait avoir plus d’´energie, ce qui est incompatible avec la contrainte de faible amplitude pour rester dans le domaine lin´eaire des vibrations. Les m´ethodes actuelles de mesure de la r´eponse impulsionnelle avec un meilleur RSB sont pour la plupart employ´ees en acoustique des salles. Ces m´ethodes ont connu un grand essor depuis quelques ann´ees grˆace `a l’augmentation de la perfor- mance des ordinateurs, qui permet le calcul en temps r´eel de la r´everb´eration par convolution du signal `a traiter avec la RI. Dans ces m´ethodes, un signal d’excitation large bande, d´eterministe et p´eriodique est appliqu´e au syst`eme. La r´eponse du syst`eme `a ce signal est enregistr´ee puis
trait´ee par un processus de d´econvolution afin d’obtenir la RI. Les trois principaux types de si- gnal d’excitation utilis´es sont les s´equences de longueur maximale (MLS) [75], les codes de Golay [32] et le balayage fr´equentiel [30], [31]. L’utilisation de ces m´ethodes suppose que le syst`eme mesur´e soit lin´eaire et invariant dans le temps, et le non respect de ces hypoth`eses peut conduire `a des mesures probl´ematiques. La m´ethode choisie ici pour mesurer la RI du r´everb´erateur est le balayage fr´equentiel en raison de sa simplicit´e d’impl´ementation, de sa souplesse d’utilisation et du rapport signal sur bruit obtenu satisfaisant.
On s’inspire des travaux de Farina [30], [31] concernant la mesure de la r´eponse impulsion- nelle d’espaces acoustiques par des m´ethodes de balayage fr´equentiel. La technique la plus simple consiste `a utiliser comme signal d’excitation un sinus dont la fr´equence varie de fa¸con lin´eaire avec le temps. On emploie par la suite la terminologie “sinus glissant lin´eaire” par analogie avec la terminologie anglaise linear sweep sinus.
3.3.1.1 Sinus glissant lin´eaire
La pulsation instantan´ee d’une sinuso¨ıde est la d´eriv´ee temporelle de sa phase φ(t). Pour un sinus glissant lin´eaire de dur´ee T secondes, si on impose les pulsations initiale et finale ω1 et ω2, on trouve une condition sur la d´eriv´ee de sa phase :
dφ(t)
dt = ω1+
ω2− ω1
T t. (3.1)
Pour une phase initiale nulle, l’int´egration de (3.1) conduit `a l’expression du sinus glissant lin´eaire :
x(t) = sin (φ(t)) , avec : φ(t) = ω1t +ω2− ωT 1t 2
2. (3.2)
L’´echantillonnage temporel de x(t) `a F s > ω2/(2π) donne l’expression du sinus glissant lin´eaire discret x(n). On appelle y(n) le signal mesur´e en r´eponse `a l’excitation du syst`eme avec x(n). La r´eponse impulsionnelle du syst`eme h(n) s’obtient alors par filtrage de y(n) avec le filtre inverse de
x(n). La r´eponse impulsionnelle du filtre inverse fi(n) est telle que le signal r´esultant du filtrage de x(n) avec fi(n) soit une impulsion de Dirac. L’avantage des sinus glissants est que leur filtre inverse est connu explicitement : le filtre inverse du sinus glissant lin´eaire x(n) de longueur N ´echantillons est le retournement temporel de lui mˆeme, fi(n) = x(N − n). La Figure 3.3 montre le sinus glissant lin´eaire de dur´ee T = 2 s ´echantillonn´e `a F s = 400 Hz et avec f ∈ [0; F s/2] Hz, et le signal obtenu par convolution avec son filtre inverse. On retrouve une impulsion retard´ee de T = 2 s en raison du retard total constant introduit par l’op´eration d’´emission du signal x(n) et le filtrage de x(n) avec fi(n). L’impulsion ne correspond pas compl`etement `a une impulsion de Dirac discr`ete δ(n) du fait de la troncature des signaux.
Le filtrage inverse du signal d’excitation est ´equivalent au filtrage de δ(n) avec deux filtres `a r´eponse impulsionnelle finie (RIF) x(n) et fi(n). Par construction, la phase r´esultant de l’addition des phases de x(n) et de fi(n) est lin´eaire avec la fr´equence. Le filtre x(n) ∗ fi(n) est alors ´equivalent `a un filtre `a phase lin´eaire dont l’amplitude est constante dans tout le spectre. Un r´esultat connu de ce type de filtres est que leur retard de phase et leur retard de groupe sont constants et de valeur ´egale `a la moiti´e de la dur´ee de sa r´eponse impulsionnelle. Ici le retard est
t = T s puisque la dur´ee de x(n)∗fi(n) est 2T . Lorsqu’au lieu de convoluer directement x(n) avec
fi(n), on ins`ere entre les deux le syst`eme qu’on souhaite mesurer, c’est `a dire x(n) ∗ h(n) ∗ fi(n), on obtient un signal avec la r´eponse impulsionnelle du syst`eme h(n) retard´ee de T s.
0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 t [s] Amp 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t [s] Amp (a) x(n) (b) x(n) ∗ fi(n)
Fig. 3.3: (a) : forme d’onde d’un sinus glissant lin´eaire. (b) : convolution du sinus glissant avec son filtre inverse.
3.3.1.2 Sinus glissant logarithmique
Si le syst`eme mesur´e a un comportement faiblement non lin´eaire, sa r´eponse au sinus glissant contient des harmoniques `a des fr´equences multiples de la fr´equence d’excitation. On constate alors l’apparition d’un bruit d´eterministe dans la r´eponse impulsionnelle obtenue par filtrage inverse. Ce bruit est dˆu `a la contribution des diff´erents harmoniques et il est corr´el´e au signal d’excitation. A la diff´erence du bruit al´eatoire, ce bruit ne peut pas ˆetre ´elimin´e en faisant la moyenne de plusieurs mesures. Farina montre que l’utilisation d’un sinus glissant dont la fr´equence varie de mani`ere exponentielle permet d’´eviter ce ph´enom`ene [30]. On obtient alors la partie lin´eaire de la r´eponse du syst`eme s´epar´ement de la contribution de chacun des harmoniques issus de la distorsion non lin´eaire. Avec un raisonnement similaire `a celui qui a permis d’obtenir (3.2), on obtient l’expression pour le sinus glissant logarithmique :
xe(t) = sin (φ(t)) , avec : φ(t) = ln (ωω1T 2/ω1) ³ eTt ln(ω2/ω1)− 1 ´ . (3.3)
Son filtre inverse est le signal lui-mˆeme retourn´e en temps avec une enveloppe d’amplitude d´ecroissante. Cette enveloppe compense la distribution in´egale de l’´energie totale du signal, car le signal d’excitation “passe plus de temps” en basses fr´equences qu’en hautes fr´equences. L’en- veloppe d´ecroˆıt de 6 dB/octave et sa valeur initiale est de 1. Le filtre inverse est alors :
fi(t) = xe(T − t)E(t), avec : E(t) = e t Tln(ω2/ω1) ³ −6 log10(2) ´ . (3.4)
A la diff´erence du sinus glissant lin´eaire, la fr´equence initiale ne peut pas, ici, ˆetre nulle, ce qui ne pose pas de probl`eme particulier. La Figure 3.4 montre les formes d’onde du sinus glissant logarithmique de dur´ee T = 2 s ´echantillonn´e `a F s = 400 Hz avec ω1 = 4π et ω2= πF s, de son filtre inverse et du signal r´esultant de la convolution des deux signaux.
Pour la mesure du r´everb´erateur on a donc retenu l’utilisation d’un sinus glissant logarith- mique en raison de cette immunit´e `a de faibles non-lin´earit´es.
Le choix de l’amplitude d’excitation r´esulte d’un compromis entre d’une part un RSB ´elev´e et d’autre part un comportement le moins non lin´eaire possible. On rappelle qu’un comportement non lin´eaire apparaˆıt en tr`es basses fr´equences pour des excitations importantes. Le niveau de bruit de l’acc´el´erom`etre est ind´ependant de l’amplitude du signal utile et de la fr´equence. En
0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 t [s] Amp 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 t [s] Amp 0 1 2 3 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t [s] Amp (a) xe(n) (b) fi(n) (c) xe(n) ∗ fi(n)
Fig. 3.4: (a) : forme d’onde d’un sinus glissant logarithmique. (b) : filtre inverse du sinus glissant loga- rithmique. (c) : r´esultat de la convolution du sinus glissant avec son filtre inverse.
pratique, `a tr`es basses fr´equences, le niveau du signal d’acc´el´eration est plus petit et le RSB du signal de l’acc´el´erom`etre devient faible. Puisque le niveau de signal utile est proportionnel `a l’amplitude d’excitation, on n’a pas int´erˆet `a travailler avec des amplitudes d’excitation trop petites qui auraient comme cons´equence un signal utile compl`etement noy´e dans le bruit. C’est pourquoi les mesures sont faites avec un signal d’excitation d’amplitude 900 mV mesur´e aux bornes de l’actionneur. Pour ce niveau les non-lin´earit´es restent encore l´eg`eres et l’utilisation d’un sinus glissant logarithmique conduit `a des r´esultats de mesure satisfaisants.
3.3.2 Dispositif exp´erimental
Le dispositif de mesure consiste en un ordinateur ´equip´e d’une carte audio externe M-Audio Audiophile USB permettant d’´emettre et d’enregistrer des signaux ´echantillonn´es jusqu’`a une fr´equence F s = 192 kHz et avec des ´echantillons repr´esent´es par 32 bits. Une sortie de la carte audio est branch´ee sur un amplificateur de puissance QSC audio RMX 2450, dont la r´eponse en fr´equence est constante `a ±1 dB pr`es dans le domaine [20 Hz ; 20 kHz]. La sortie de l’amplifica- teur alimente l’actionneur du r´everb´erateur EMT140. Le r´eglage du niveau est fait au niveau de l’amplificateur pour ´emettre un signal d’amplitude de crˆete 900 mV.
Pour la mesure des vibrations, un acc´el´erom`etre B&K 4374 est coll´e au point de mesure de la plaque avec de la cire d’abeille. L’acc´el´erom`etre est branch´e en sortie `a un conditionneur Nexus qui convertit le signal de charge (pC) en tension (mV). La carte audio enregistre la sortie du conditionneur. Le logiciel libre Audacity est utilis´e pour l’´emission du signal d’excitation et pour l’enregistrement de la r´eponse du syst`eme `a une fr´equence d’´echantillonnage F s = 48 kHz. Remarques sur le choix de l’acc´el´erom`etre
Un mat´eriau pi´ezo´electrique est un mat´eriau actif qui g´en`ere une charge ´electrique en fonction de la force qui lui est appliqu´ee. Dans un acc´el´erom`etre pi´ezo´electrique, ces mat´eriaux agissent comme un ressort qui relie la base de l’acc´el´erom`etre `a sa masse sismique. Lorsque l’acc´el´erom`etre subit des vibrations, une force ´egale au produit de la masse sismique par sa propre acc´el´eration agit sur l’´el´ement pi´ezo´electrique. Si on consid`ere que la masse de la base (base + structure de montage) est beaucoup plus grande que la masse sismique, ce syst`eme ´equivaut `a un syst`eme masse ressort avec une pulsation de r´esonance ωn = k/ms, o`u k est une raideur ´equivalente et ms est la masse sismique. En pratique, la gamme fr´equentielle utile de l’acc´el´erom`etre est d´etermin´ee par cette pulsation de r´esonance : pour ω < 0.3ωn, la r´eponse est lin´eaire `a 10% pr`es. Pour des pulsations plus grandes, on est trop pr`es de ωn pour avoir une r´eponse en fr´equence constante. En r`egle g´en´erale, plus la masse sismique de l’acc´el´erom`etre est petite et plus le
amplifi- cateur ] [V
)
(t
x
A)
(t
x
] / [m s2 ] [N ] [V)
(
~
t
F
~x(t)
action- neur plaque ) ( ~ t by(t)
] [V sortie carte entrée carteMAUDIO USB
+ Nexus accéléromètre
Fig. 3.5: Repr´esentation sch´ematique des dispositifs de mesure de la r´eponse impulsionnelle et des signaux intervenant dans la mesure. Les signaux auxquels on n’a pas acc`es sont not´es avec e.
domaine fr´equentiel utile est large, mais en revanche plus faible sa sensibilit´e. Puisque la mesure doit ˆetre valable jusqu’`a 20 kHz, l’acc´el´erom`etre choisi est le B&K 4374, qui a une fr´equence de r´esonance de 85 kHz et une fr´equence maximale utile de 26 kHz. Sa faible masse sismique signifie une sensibilit´e faible, ce qui a pour effet un RSB faible en basses fr´equences. N´eanmoins, un acc´el´erom`etre l´eger perturbe peu la structure `a mesurer (la masse totale du B&K 4374 est de 0.75 gr). La dynamique du point de mesure d’une plaque en acier de 0.5 mm est d’autant plus perturb´ee que la masse de l’acc´el´erom`etre est importante.
3.3.3 Un exemple de mesure
On montre ici la mesure de la r´eponse en acc´el´eration en un point de la plaque situ´e `a la mˆeme position que le capteur de gauche d’origine du r´everb´erateur EMT140 (voir la Figure 1.4). L’acc´el´erom`etre de laboratoire est coll´e juste derri`ere le capteur d’origine, de l’autre cot´e de la plaque. L’acc´el´erom`etre utilis´e est parfaitement calibr´e et on en connaˆıt les limites d’utilisation en fr´equence, `a la diff´erence de l’acc´el´erom`etre d’origine du r´everb´erateur. Pour cette mesure, la plaque poreuse est situ´ee dans la position la plus ´eloign´ee de la plaque r´everb´erante, d = 66 mm. Le signal d’excitation est un sinus glissant logarithmique de dur´ee T = 100 s et de fr´equences initiale et finale f1 = 20 Hz et f2 = 20 kHz couvrant le spectre audible. Un signal d’excitation long permet d’am´eliorer consid´erablement le rapport signal sur bruit de la r´eponse impulsion- nelle obtenue par filtrage inverse. La Figure 3.6 montre le signal obtenu par filtrage inverse de la r´eponse du syst`eme au signal d’excitation. On observe que la RI du syst`eme est effectivement plac´ee `a T = 100 s, et elle est pr´ec´ed´ee de petites r´eponses impulsionnelles correspondant aux ´energies des harmoniques apparus pendant l’excitation. Dans le d´etail (b), on remarque que la valeur maximale de la contribution de ces harmoniques est environ 40 dB en dessous de la “partie lin´eaire” de la r´eponse.
Le RSB global de la r´eponse obtenue est d’environ 80 dB. A la fin de la r´eponse impulsionnelle, quand toute l’´energie vibratoire de la plaque a ´et´e amortie, on retrouve un bruit `a −80 dB. Cette r´eponse impulsionnelle doit ˆetre analys´ee par bandes de fr´equences, dans lesquelles le RSB peut ˆetre tr`es inf´erieur. Une fa¸con d’augmenter le RSB est de r´ealiser un post-traitement de la r´eponse du syst`eme enregistr´ee. Pour cette op´eration, on utilise l’outil de r´eduction de bruit du logiciel Audacity. Dans la r´eponse au sinus glissant, l’´energie instantan´ee est concentr´ee dans un petit intervalle de fr´equences et la r´eduction de bruit est tr`es efficace. Il est important de souligner que cette ´etape de r´eduction de bruit est r´ealis´ee sur la r´eponse du syst`eme au signal x(n), avant de r´ealiser le filtrage inverse. Appliquer la r´eduction de bruit directement sur la r´eponse impulsionnelle aurait modifi´e la r´eponse impulsionnelle utile. Avec ce post-traitement, apr`es filtrage inverse du signal trait´e, on obtient un rapport signal sur bruit de 110 dB. La Figure 3.7
0 50 100 150 200 −1 −0.5 0 0.5 1 t [s] y [u.a.] 70 80 90 100 110 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 t [s] y [u.a.]
(a) y(n) ∗ fi(n) (b) D´etail de (a)
Fig. 3.6: (a) : signal r´esultant de la convolution de la r´eponse du syst`eme y(n) avec le filtre inverse du signal d’excitation. (b) : d´etail du signal autour de son temps central.
0 2000 4000 6000 −4 −2 0 2 4x 10 −4 t [échantillons] y [u.a.] 0 2000 4000 6000 −4 −2 0 2 4x 10 −4 t [échantillons] y [u.a.]
(a) Sans r´eduction de bruit. (b) Avec r´eduction de bruit.
Fig. 3.7: D´etail `a t = 3 s de la r´eponse impulsionnelle mesur´ee : sans application de la r´eduction de bruit (a) et avec (b).
montre l’am´elioration obtenue dans la r´eponse impulsionnelle `a t = 3 s, o`u l’amplitude du signal utile est de l’ordre de −70 dB. A cet instant, les vibrations restantes sont des basses fr´equences en raison de l’amortissement croissant avec la fr´equence. On observe sur la Figure 3.7 (a) un bruit perturbant le signal utile basses fr´equences. Sur la Figure 3.7 (b) le bruit n’est plus pr´esent et le signal utile ne se voit pas modifi´e par le traitement de r´eduction de bruit.