6.4 Deux exemples de synth`ese de RI
6.4.2 Plaque en aluminium
Le deuxi`eme exemple correspond `a une plaque en aluminium dont les param`etres g´eom´etriques sont les mˆemes que ceux du r´everb´erateur EMT140. La Figure 6.13 (a) montre les amortisse- ments thermo´elastique, par rayonnement et total pr´edits par les mod`eles physiques `a partir des param`etres de la plaque. Pour des fr´equences sup´erieures `a 1000 Hz, l’amortissement de la plaque est sup´erieur `a α = 14 s−1, ce qui correspond `a un temps de r´everb´eration inf´erieur `a 0.5 s. La plaque est donc peu amortie uniquement en basses fr´equences. Le choix de l’aluminium conduit `a une plaque dont les vibrations sont plus amorties que celles du r´everb´erateur EMT140.
Suivant la m´ethodologie de la Figure 4.14, la simulation faite par DF inclut uniquement l’amortissement thermo´elastique. Dans la Figure 6.13 (b) on observe le bon accord entre l’amor-
Fig. 6.12: Relief de d´ecroissance de l’acc´el´eration obtenue par DF en r´eponse `a une impulsion ponctuelle de force. Plaque en or, d’´epaisseur h = 18 µm et de dimensions Lx= 0.29 m et Ly= 0.27 m. La simulation
est faite `a la fr´equence d’´echantillonnage F s = 192 kHz et sous-´echantillonn´ee d’un facteur 4. L’´energie totale est plus importante en basses fr´equences en raison du faible amortissement du mod`ele physique en basses fr´equences. 0 0.5 1 1.5 2 x 104 0 10 20 30 40 f [Hz] αray + αth 0 0.5 1 1.5 2 x 104 0 5 10 15 20 25 f [Hz] α [s −1]
α des mod`eles continus α thermo´elastique simulation
Fig. 6.13: Amortissement d’une plaque en aluminium d’´epaisseur h = 0.5 mm : (a) amortissement thermo´elastique (- - -), amortissement par rayonnement (- · -) et leur somme (—) obtenus par les mod`eles continus. (b) amortissement thermo´elastique du mod`ele continu compar´e `a l’amortissement mesur´e sur la RI obtenue par DF avec mod`ele temporel d’amortissement thermo´elastique
tissement de la RI en sortie des DF et l’amortissement du mod`ele continu. L’amortissement par rayonnement est donc ajust´e dans le post-traitement de la RI. Le relief de d´ecroissance de la RI obtenue apr`es le post-traitement est repr´esent´e `a la Figure 6.14. On peut observer claire- ment l’effet passe-haut dˆu `a l’observation de l’acc´el´eration en r´eponse `a une impulsion de force. Comme le spectre de l’admittance d’une plaque tend vers une constante, la pente du spectre de l’acc´el´eration est de +20 dB par d´ecade. L’´egalisation de l’´energie ne pose pas de probl`eme car
Fig. 6.14: Relief de d´ecroissance de l’acc´el´eration simul´ee par DF en r´eponse `a une impulsion ponctuelle. Param`etres : plaque en aluminium d’´epaisseur h = 0.5 mm, de dimensions Lx= 2 et Ly = 1. Simulation
`a la fr´equence d’´echantillonnage F s = 192 kHz et sous-´echantillonn´ee d’un facteur 4.
elle peut ˆetre corrig´ee par le filtrage num´erique d´ecrit au §4.4.2.
Une alternative `a la lecture de l’acc´el´eration en sortie de l’algorithme est l’utilisation de la vitesse, ce qui permet d’obtenir une distribution fr´equentielle de l’´energie plus homog`ene. Le relief de d´ecroissance obtenu `a partir de la RI en vitesse est repr´esent´e `a la Figure 6.15.
6.5
Conclusion
Ce chapitre a permis d’explorer les possibilit´es de l’algorithme de synth`ese du r´everb´erateur `a plaque par application des mod`eles et m´ethodes pr´esent´es aux chapitres pr´ec´edents. Pour aboutir `a un r´everb´erateur avec une densit´e modale ´elev´ee, il est n´ecessaire de simuler des plaques de faible ´epaisseur, de grande surface et faites d’un mat´eriau avec un rapport masse-raideur le plus ´elev´e possible (´equivalent `a une vitesse des ondes de compression cp la plus petite possible). Parmi les m´etaux pr´esent´es, cppeut varier d’un facteur 5, et la densit´e modale pour une g´eom´etrie identique peut donc varier de ce mˆeme facteur. Pour examiner les effets du changement de densit´e modale dans les spectres, et surtout pour l’´ecoute, on s’est servi de l’outil de synth`ese, et on a fait des simulations en changeant uniquement la surface de la plaque. Ces synth`eses confirment la n´ecessit´e d’une valeur ´elev´ee de la densit´e modale pour obtenir une r´everb´eration per¸cue comme naturelle.
Puisque le temps de r´everb´eration est la caract´eristique la plus perceptible de la r´everb´eration, on s’est efforc´e de montrer les comportements fr´equentiels de l’amortissement pour diff´erents mat´eriaux m´etalliques r´eels et pour diff´erents param`etres g´eom´etriques. Les propri´et´es dissipa- tives de la plaque peuvent varier substantiellement selon le mat´eriau et selon l’´epaisseur. Pour des ´epaisseurs de l’ordre du millim`etre, l’amortissement thermo´elastique atteint rapidement sa valeur
Fig. 6.15: Relief de d´ecroissance de la d´eriv´ee temporelle num´erique (vitesse) du d´eplacement simul´e par les DF en r´eponse `a une impulsion ponctuelle pour la mˆeme plaque que la Figure 6.14.
asymptotique α∞= R2h1C21, tandis que pour de tr`es faibles ´epaisseurs, ici de l’ordre de 0.018 mm, l’amortissement thermo´elastique est de la forme 12R1
C1h
2ω2 (voir Figure 6.3). Dans un cas, le fac- teur qui gouverne l’amortissement thermo´elastique est R1C1, tandis que dans l’autre c’est R1/C1. Certains mat´eriaux comme l’acier dissipent alors plus d’´energie que d’autres pour une ´epaisseur 0.02 mm mais moins que les autres pour une ´epaisseur de l’ordre du millim`etre. Concernant l’amortissement par rayonnement, il n’est pas tr`es ´elev´e pour des fr´equences inf´erieures `a environ 0.8fc, o`u fcest la fr´equence critique de la plaque. Pour ´eviter un amortissement excessif dans le domaine audible, une valeur fc> 20 kHz est convenable. Pour un mat´eriau donn´e, cette condi-
tion impose une borne sup´erieure sur l’´epaisseur de la plaque. Il faut choisir alors une plaque mince, ce qui est en accord avec la condition de densit´e modale ´elev´ee, mais il faut s’assurer que l’amortissement thermo´elastique ne devient pas trop important, car sa valeur asymptotique α∞ est en h−2. A titre d’exemple, on a examin´e ce compromis pour l’or et le platine, par le cal- cul de leur courbe d’amortissement total (thermo´elastique et par rayonnement) `a des ´epaisseurs diff´erentes.
Une ´etude comparative sur l’influence des conditions aux limites a ´et´e men´ee pour trois si- mulations correspondant `a la mˆeme plaque sous diff´erentes conditions aux limites (encastr´ee, simplement appuy´ee et bords libres). La comparaison entre les trois RI simul´ees a ´et´e faite dans les domaines temporel et fr´equentiel. Les r´esultats semblent indiquer que les conditions aux limites n’ont pas une influence importante sur l’effet de r´everb´eration obtenu. L’int´erˆet de ce r´esultat est que la simulation de la RI d’une plaque simplement appuy´ee peut se faire tr`es efficacement par synth`ese modale `a partir d’un banc d’oscillateurs num´eriques (voir l’ annexe C). N´eanmoins, ces r´esultats ne sont pas extrapolables `a une plaque r´eelle, car les conditions du type encastrement ou appuis simples ne sont jamais conservatives et produisent souvent des pertes importantes par transfert d’´energie m´ecanique. Cet accroissement de l’amortissement aurait une
influence tr`es forte sur l’effet de r´everb´eration obtenu.
Finalement, on pr´esente deux exemples de synth`ese avec leur courbe d’amortissement et leurs reliefs de d´ecroissance respectifs :
– une simulation `a partir des param`etres physiques de la feuille d’or EMT240 qui produit une r´everb´eration tr`es longue. L’amortissement obtenu est tr`es inf´erieur `a celui de la mesure en raison de la non prise en compte de l’amortissement par transmission m´ecanique,
– une plaque en aluminium avec les param`etres g´eom´etriques du r´everb´erateur EMT140, qui produit une r´everb´eration tr`es courte.