Densit´e modale num´erique

La sous-estimation des fr´equences propres du syst`eme num´erique d´ecrite par la dispersion num´erique peut s’interpr´eter comme une compression du spectre de la solution num´erique par rapport au spectre de la solution continue. Ce ph´enom`ene se traduit par une augmentation de la densit´e de fr´equences propres, ou densit´e modale. N´eanmoins, `a partir d’une certaine fr´equence seuil, la densit´e modale diminue au lieu d’augmenter. Pour une r´egion fr´equentielle, la densit´e modale diminue quand le nombre de fr´equences propres d´ecal´ees vers cette r´egion est inf´erieur au nombre de fr´equences propres qui ne sont plus dans cette r´egion en raison de la dispersion num´erique. On ´etudie les effets de la dispersion num´erique sur la densit´e modale `a partir du cas simple de la plaque non amortie sur des appuis simples, dont les fr´equences propres du syst`eme continu sont connues analytiquement et donn´ees au chapitre 2 (2.16). Les fr´equences propres du syst`eme num´erique peuvent ˆetre calcul´ees `a partir des valeurs continues et l’expression donn´ee pour la dispersion num´erique (4.20).

Pour estimer la densit´e modale, on divise le spectre f ∈ [0; F s/2] en bandes de fr´equences de largeur ´egale. La densit´e modale est estim´ee comme le rapport entre le nombre de modes pr´esents dans chaque bande sur la largeur de la bande. Pour le syst`eme continu, on tient compte des fr´equences propres inf´erieures `a la fr´equence de Shannon F s/2. Pour le syst`eme discr´etis´e, on fait l’hypoth`ese que toute l’erreur responsable de la sous-estimation des fr´equences propres est due `a la propagation des ondes num´eriques dans le milieu. L’influence de l’erreur due aux conditions aux limites est alors n´egligeable. La grande taille des grilles utilis´ees pour la simulation d’un r´everb´erateur justifie cette hypoth`ese. Le nombre de fr´equences propres `a prendre en compte pour le cas discret d´epend de la capacit´e de la grille spatiale `a les repr´esenter. Les valeurs maxi- males prises en compte pour les indices l et m d´ependent du nombre de points de discr´etisation selon les axes x et y respectivement. Pour repr´esenter un mode d’ordre lmax, la grille n´ecessite au moins lmax+ 2 points de discr´etisation suivant l’axe des x. Le +2 provient du fait qu’il faut tenir compte des deux bords o`u le d´eplacement est nul. Cette condition est ´equivalente `a un th´eor`eme d’´echantillonnage, qui n´ecessite au moins deux points de discr´etisation par longueur d’onde. Des exemples en une dimension sont montr´es par la Figure 4.4, o`u le mode d’ordre le plus ´elev´e est repr´esent´e. La valeur lmax = Nx− 2 est alors le nombre de modes du syst`eme num´erique. Le

syst`eme discret poss`ede alors 2lmax degr´es de libert´e (ddl). Une interpr´etation `a partir du rang de la matrice d’amplification de la repr´esentation matricielle des DF conduit au mˆeme r´esultat. Le nombre de ddl est deux fois le nombre de points o`u le d´eplacement est calcul´e par l’algorithme des DF, en raison de la d´eriv´ee d’ordre 2 dans l’´equation de la dynamique. L’extrapolation pour

x

L

x

x

x

x

x

x

'

x

x

x

x

x

x

x

5

N

N

4

N

3

3

l

2

l

1

l

x

L

x

L

Fig. 4.4: Derni`ere d´eform´ee modale repr´esentable d’une poutre sur des appuis simples sur des grilles d’espace de 3, 4 et 5 points. Chaque cellule correspond `a un point de la grille et le d´eplacement des cellules noires est nul. Pour repr´esenter le mode d’ordre lmax il faut au moins Nx = lmax+ 2 points de

discr´etisation (incluant les deux extr´emit´es de la barre).

les deux dimensions est directe. Avec cette consid´eration sur les modes pr´esents dans le syst`eme num´erique, il est possible de calculer la densit´e modale num´erique `a partir des fr´equences propres num´eriques de la plaque sur des appuis simples.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 F = f / (Fs/2) [u.a.] n p [modes/Hz] F=0.16 F=0.42

Fig. 4.5: Estimation de la densit´e modale d’une plaque non amortie sur des appuis simples : densit´e modale du syst`eme continu calcul´ee `a partir de la connaissance des fr´equence propres (×) et densit´e modale du syst`eme obtenu par DF 2-4 calcul´ee avec les fr´equences propres d´ecal´ees par la dispersion num´erique (·). Les lignes verticales discontinues s´eparent trois zones selon l’erreur de la densit´e modale np num´erique

par rapport `a celle du syst`eme continu : F < 0.16 l’erreur en np est inf´erieure `a 10%, 0.16 < F < 0.42

l’erreur est sup´erieure `a 10% mais la npnum´erique reste ´egale ou sup´erieure `a la np continue, F > 0.42 la

densit´e modale num´erique est inf´erieure `a celle continue.

pour le syst`eme continu np et pour le syst`eme discret npN um. La plaque simul´ee a les param`etres du r´everb´erateur EMT140 : plaque en acier, d’´epaisseur 0.5 mm et de dimensions 2 m×1 m. La fr´equence d’´echantillonnage est fix´ee `a 2000 Hz. L’estimation est faite dans 100 bandes de fr´equences r´eparties entre 0 et 1 kHz qui se recouvrent de 90%. Chaque bande a une longueur de 91.74 Hz. Pour la solution continue, la densit´e modale np estim´ee est quasi constante, comme pr´evu par la th´eorie des plaques. Pour la solution num´erique, la densit´e modale n_{pN um} converge vers np uniquement pour F < 0.16, o`u F est la fr´equence adimensionn´ee par la fr´equence de Shannon. Dans le r´egion 0.16 < F < 0.42 il y a une augmentation de npN um due `a la compression du spectre, qui arrive `a son maximum `a environ F = 0.3, puis il y a une forte diminution au del`a. Pour le syst`eme continu, d’apr`es la th´eorie des plaques minces, la densit´e modale d´epend de la surface de la plaque mais est ind´ependante du rapport entre ses dimensions lat´erales. On se demande si pour le syst`eme discret, qui est anisotrope, la dispersion num´erique affecte cette propri´et´e. La Figure 4.6 montre les r´esultats des np et npN um pour 4 plaques rectangulaires de mˆeme surface mais avec des rapports diff´erents entre les cˆot´es. On observe que la densit´e modale des diff´erentes plaques est tr`es similaire en continu et en discret.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 F = f / (Fs/2) [u.a.] n p [modes / Hz]

Fig. 4.6: Estimation de la densit´e modale de plaques de mˆeme surface mais avec des rapports entre ses dimensions Γ = Lx/Ly diff´erents : 1, 1/2, 1/4 et 1/8. On observe que le comportement des densit´es

modales continue et num´erique ne d´epend pas de Γ.