Une densit´e modale ´elev´ee est une des caract´eristiques demand´ee au r´everb´erateur en termes de qualit´e de r´everb´eration artificielle. La densit´e modale d’une plaque mince peut ˆetre calcul´ee analytiquement `a partir de ses param`etres physiques. La densit´e modale est presque ind´ependante des conditions aux limites, et peut ˆetre estim´ee `a partir du cas simple de la plaque simplement appuy´ee sur ses bords. Pour ce cas, l’expression analytique des fr´equences modales est connue, ce qui permet d’estimer le nombre de modes jusqu’`a une fr´equence donn´ee Nm(f ). La densit´e modale est alors donn´ee par [94] :
np(f ) = ∂N∂fm(f ) ≈ L2κxLy − (Lx+ Ly) r 1 8πκf ≈ LxLy 2κ . (3.12)
Quand la fr´equence augmente, le deuxi`eme terme de np(f ) dans (3.12) devient n´egligeable et la densit´e modale est constante, et est ´egale `a np(f ) = 1.27 modes/Hz pour la valeur de κ obtenue par la mesure et la surface du EMT140.
Ici, on s’int´eresse `a la mesure de cette densit´e modale. Une estimation de la densit´e modale peut ˆetre faite `a partir de l’identification du nombre de modes dans un intervalle fr´equentiel du spectre de l’acc´el´eration mesur´ee. N´eanmoins, lorsque la densit´e modale est ´elev´ee, les modes se superposent et ils ne peuvent ˆetre d´etect´es facilement `a partir du spectre vibratoire. Une alternative pour la mesure de la densit´e modale est bas´ee sur des mesures d’admittance [41; 66; 15]. La densit´e modale np(f ) d’une structure peut ˆetre estim´ee par [17] :
np(f ) = 4M h<e{Y (f )}iS, (3.13)
o`u M est la masse de la structure et h<e{Y (f )}iS est la partie r´eelle de l’admittance au point d’excitation moyenn´ee en temps et en espace. Ce r´esultat est valable quand il y a au moins 5 modes par bande fr´equentielle d’analyse et quand l’amortissement est suffisamment petit pour que la fr´equence propre du mode amorti soit tr`es proche de la fr´equence propre du mode non amorti [17]. La mesure de l’admittance au point d’excitation est d´ecrite ci-apr`es.
3.5.1 Admittance m´ecanique de la plaque
3.5.1.1 D´efinition
L’admittance m´ecanique d’un syst`eme est d´efinie comme le rapport complexe entre vitesse et force. Cette grandeur permet de quantifier comment la plaque r´eagit `a la force qu’elle subit de l’actionneur. L’admittance est d´efinie par :
Y (ω) = ˙x(ω)
F (ω) [s/kg], (3.14)
o`u ˙x(ω) est la vitesse de la surface d’excitation et F (ω) la force d’excitation [17]. Cette d´efinition n´ecessite aussi de pr´eciser la r´egion d’excitation et la distribution de la force. Quand la force agit sur un seul point, on parle d’admittance au point d’excitation (en anglais driving point
admittance). En pratique, une excitation est ponctuelle quand la taille caract´eristique de la
r´egion d’excitation est plus petite que le dixi`eme de la longueur d’onde minimale. L’int´erˆet de la grandeur Y (ω) est qu’elle est ind´ependante du syst`eme d’excitation et est uniquement une caract´eristique de la structure mesur´ee.
3.5.1.2 M´ethode de mesure
L’admittance est souvent obtenue par mesure simultan´ee de l’acc´el´eration et de la force `a l’aide d’une tˆete d’imp´edance. La base de la tˆete d’imp´edance est fix´ee au pot vibrant et son extr´emit´e est fix´ee au point de mesure de la structure. La liaison entre la structure et la tˆete d’imp´edance doit ˆetre aussi rigide que possible et il faut s’assurer que la plaque est sollicit´ee uniquement dans sa direction transversale. Un estimateur de la fonction de transfert Y (ω) est donn´ee par :
Ym(ω) = H˙xF = jω1 GGxF¨ (ω) F F(ω)
= 1
jωHxF¨ (ω). (3.15)
Ym(ω) est l’admittance mesur´ee. GF F(ω) est l’autospectre du signal de force et GxF¨ (ω) est l’interspectre des signaux de force et d’acc´el´eration. L’acquisition des signaux et les calculs de ces spectres sont faits par le syst`eme d’acquisition Pulse de B&K. L’excitation du syst`eme est un signal al´eatoire large bande f ∈ [0, 12] kHz g´en´er´e par Pulse. Ce signal est amplifi´e et en- voy´e en entr´ee d’un pot vibrant B&K 4810 ´equip´e d’une tˆete d’imp´edance B&K 8001. Selon les sp´ecifications du constructeur, la mesure de la tˆete d’imp´edance est valable `a ±5% jusqu’`a 6 kHz et `a ±10% jusqu’`a 10 kHz. Le syst`eme d’acquisition donne acc`es `a la coh´erence entre les deux signaux, permettant ainsi de s’assurer du comportement lin´eaire des vibrations pendant la mesure. Le probl`eme qui est souvent associ´e `a ce type de mesure est dˆu `a l’influence de la tˆete d’imp´edance sur la mesure de force. Entre le capteur de force plac´e `a l’int´erieur de la tˆete et la structure, il y a une masse. Cette masse provient de la tˆete d’imp´edance mais aussi de la pi`ece utilis´ee pour la fixer `a la plaque. L’inertie de cette masse FT I = ¨x∆m perturbe la me- sure de force, en particulier aux hautes fr´equences. Cet effet est amplifi´e en raison de la faible ´epaisseur de la plaque que l’on mesure. La Figure 3.24 montre comment la force mesur´ee par le
Fig. 3.24: Correction de masse de la force du pot vibrant.
capteur FM(t) est modifi´ee par rapport `a la force appliqu´ee sur la structure F (t). En pratique, la correction la plus efficace de ce ph´enom`ene s’obtient `a partir d’une mesure r´ealis´ee avec le pot vibrant s´epar´e de la plaque mais comprenant la tˆete d’imp´edance et l’´el´ement d’attache [41]. On appelle admittance de la tˆete d’imp´edance YT I = (jωHT I)−1 l’admittance du syst`eme obtenu par cette mesure, o`u HT I = GF F/GF ¨x. L’admittance r´eelle de la structure peut alors s’obtenir
par correction de la mesure avec YT I par :
Y (ω) = ˙x(ω) F (ω) = ˙x(ω) FM(ω) − FT I = ˙x(ω)/FM(ω) 1 − (FT I(ω)/FM(ω)) = Ym(ω) 1 − (Ym(ω)/YT I(ω)) = 1 jωHxF¨ (ω) · F C(ω), (3.16)
o`u F C(ω) est le facteur de correction appliqu´e `a l’admittance mesur´ee pour obtenir l’admittance r´eelle :
F C(ω) = 1
1 − HT I(ω) · H¨xF(ω). (3.17)
HT I est souvent appel´ee dans la litt´erature masse dynamique de la tˆete d’imp´edance. Cette grandeur, pour le dispositif de mesure qu’on a utilis´e, est montr´ee par la Figure 3.25. Jusqu’`a
0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 f [kHz] | H TI | [10 −3 kg]
Fig. 3.25: Masse dynamique de la tˆete d’imp´edance HT I(ω) : partie r´eelle (—) et partie imaginaire (- -
-). Approximation par une masse constante (· · · )
f = 4 kHz, HT I peut ˆetre bien approch´ee par une masse ∆m = 3.28 · 10−3 kg. Cette approxima- tion, YT I = 1/(jω∆m), a ´et´e utilis´ee par d’autres auteurs [41; 66; 15].
3.5.1.3 R´esultats de mesure
La Figure 3.26 montre les r´esultats issus de la mesure de l’admittance sans appliquer la correction, celle corrig´ee `a partir de l’inertie d’une masse ∆m et celle corrig´ee avec la fonction de transfert mesur´ee HT I(ω). Cette derni`ere correction donne les meilleurs r´esultats. Comme pr´evu dans la litt´erature, l’admittance de la plaque tend vers une valeur asymptotique constante [79]. Dans l’intervalle [10; 12] kHz l’admittance obtenue oscille encore un peu, entre −24 dB et −31 dB. La valeur moyenne dans cet intervalle est de 0.042 s/kg (−27.5 dB). On s’attend `a que cette valeur asymptotique corresponde `a l’admittance de la plaque infinie, donn´ee par
Ydp = 1/(8ρhκ). Pour la valeur de κ mesur´ee pr´ec´edemment, ρ = 7860 kg/m3 et h = 0.5 mm, on obtient Ydp= 0.0405 s/kg (−27.8 dB), qui est en tr`es bon accord avec la valeur mesur´ee. Cet accord confirme la validit´e de l’estimation du param`etre κ.
3.5.2 Estimation de la densit´e modale `a partir de l’admittance
Pour r´ealiser la moyenne spatiale de (3.13), on mesure l’admittance aux 9 points de la plaque indiqu´es par la Figure 3.27. L’estimation de la densit´e modale par cette technique est montr´ee sur la Figure 3.28. Sur (a) on pr´esente l’estimation obtenue sans moyenne spatiale, `a partir d’une seule mesure d’admittance. Sur (b) il s’agit de l’estimation `a partir de la moyenne de l’admittance mesur´ee en 9 points diff´erents. La non prise en compte de la moyenne spatiale se traduit par une oscillation importante autour d’une valeur moyenne de densit´e modale. La prise en compte de la moyenne spatiale avec 9 points de mesure r´eduit ces oscillations parce qu’elle minimise l’influence des participations modales de chaque point de mesure. La densit´e modale pr´edite par la th´eorie des plaques ainsi que sa valeur asymptotique sont en accord avec les mesures sauf en
2 4 6 8 10 12 −50 −45 −40 −35 −30 −25 −20 f [kHz] | Y | [dB]
Fig. 3.26: Admittance au point d’excitation de coordonn´ees (x, y) = (1.055, 0.425) m : mesur´ee sans correction (- - -), corrig´ee avec ∆m (— trait fin) et corrig´ee avec HT I(ω) (— trait ´epais). Valeur th´eorique
pour la plaque infinie −27.8 dB (- · -)
Fig. 3.27: Disposition des points de mesure de l’admittance pour l’estimation de la densit´e modale.
basses fr´equences, o`u l’exp´erimentation sous-estime d’environ 35% la densit´e modale. Une sous- estimation lors de la mesure d’une plaque isotrope a d´ej`a ´et´e observ´ee par Clarkson [14]. Il r´eduit l’´ecart entre mesure et th´eorie en ajoutant de l’amortissement `a la plaque. Cependant, l’auteur ne commente pas en quoi l’ajout d’amortissement permet d’am´eliorer l’accord entre mesure et th´eorie. Renji mesure la densit´e modale de panneaux sandwich nid d’abeille [66], et ses r´esultats sous-estiment aussi la densit´e modale th´eorique d’environ 30% pour des fr´equences inf´erieures `a
2 4 6 8 10 0.6 0.8 1 1.2 1.4 f [kHz] n p [modes / Hz] 2 4 6 8 10 0.6 0.8 1 1.2 1.4 f [kHz] n p [modes / Hz]
(a) 1 point de mesure (b) 9 points de mesure
Fig. 3.28: Estimation de la densit´e modale du r´everb´erateur EMT140 `a partir de l’´equation (3.12) (—), la valeur asymptotique de (3.12)(- - -) et la valeur obtenue `a partir des mesures d’admittance (+). (a) : `a partir d’une mesure d’admittance. (b) : par moyenne spatiale avec 9 mesures d’admittance en des points diff´erents.
1 kHz. Lui non plus ne commente pas cette divergence. Ce d´esaccord entre mesure et th´eorie, qui n’est donc pas clairement justifi´e dans la litt´erature, est provoqu´e par une diminution de la valeur moyenne de l’admittance en basses fr´equences, o`u l’amortissement et le recouvrement modal sont plus petits, mais rien ne justifie que l’origine de ces diff´erences soit une cons´equence du faible recouvrement modal.