Propagation des fissures par fatigue

-10 -5 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 r/a Erreur

σ

Figure 1-15. Evolution de l’erreur due au développement asymptotique sur le champ de contrainte

yy

σ calculé dans l’axe de la fissure en fonction du rapport (r/a) sur l’axe

L’évolution de l’erreur sur le champ σ_xx suivant l’axe de la fissure (θ = ) est donnée dans la 0 Figure 1-16 pour un r/a=0.1. Nous remarquons que cette erreur augmente rapidement en fonction du niveau de biaxialité.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Sx/Sy Erreur

σ

Figure 1-16. Evolution de l’erreur due au développement asymptotique sur le champ de contrainte

xx

σ calculé dans l’axe de la fissure en fonction du rapport de biaxialité Sx/Sy pour r/a=0.1 Donc, la limite supérieure de validité du champ des contraintes autour d’une fissure est typiquement égale à 1/10 de la longueur de la fissure (pour une erreur inférieure à 10%), si le rapport de biaxialité du chargement est positif.

1.2.3 Propagation des fissures par fatigue

Les modèles classiques de propagation de fissure par fatigue donnent l’évolution de la vitesse de propagation en fonction du chargement appliqué en pointe de fissure par une approche empirique. Le modèle le plus utilisé est celui de [Paris et Erdogan 1963], pour ce modèle un essai de fissuration est nécessaire pour caractériser l’évolution de la vitesse de propagation en fonction de la variation du facteur d’intensité des contraintes (Figure 1-17). La courbe obtenue fait apparaître trois régimes, le régime central (régime II) dit de Paris pour lequel la vitesse de

fissuration est une fonction puissance de la variation du facteur d’intensité des contraintes. Au-delà de ce régime, la vitesse de propagation est supérieure à celle prévue dans le régime de Paris car la fissure se propage d’une manière instable (régime III). En deçà du régime II, la vitesse de propagation est inférieure à celle de Paris (régime I). Dans ce régime, la vitesse diminue rapidement quand ∆K diminue et la fissure finit par présenter des vitesses de fissuration difficilement détectables.

Figure 1-17. Courbe de propagation de Paris

La relation proposée par [Paris et Erdogan 1963] durant le régime II de propagation est la suivante :

.∆ m

da

C K

dN = ^(1-3)

∆K étant la variation du facteur d’intensité des contraintes au cours d’un cycle qui induit une avancée da de la fissure, C et m sont deux paramètres du matériau définissant respectivement la

position et la pente de la droite de Paris.

L’expérience montre que la vitesse de propagation d’une fissure n’est pas proportionnelle à la variation du facteur d’intensité des contraintes ∆K appliquée mais plutôt au facteur d’intensité des contraintes effectif ∆K vu par la fissure. En effet, seule une fraction du cycle de fatigue est _eff

efficace, la fissure restant fermée pendant l’autre partie. La fermeture de la fissure peut avoir plusieurs sources comme la plasticité, la rugosité de ses faces, l’oxydation ou une transformation de phase induite par le chargement mécanique à l’extrémité de la fissure. Nous nous intéressons ici à la fermeture induite par plasticité, qui est particulièrement sensible aux effets d’histoire du chargement. La fermeture induite par plasticité provient de deux sources différentes, la première est le sillage plastique créé par la zone plastique le long du chemin de la fissure (Figure 1-18a) et la deuxième est l’apparition des contraintes résiduelles de compression devant la fissure qui a été mis en évidence par [Elber 1971] pour la première fois (Figure 1-18b). En réalité ces effets ne sont pas indépendants, et sont deux conséquences d’un même phénomène. En régime de plasticité confinée, la déformation plastique qui se développe dans la zone plastique monotone est à l’origine de contraintes résiduelles de compression devant l’extrémité de la fissure qui rend les cycles ultérieurs moins efficaces. Puis lorsque la fissure se propage les contraintes résiduelles s’exercent alors sur les faces de la fissure ce qui augmente le niveau d’ouverture de celle-ci.

(a) (b) Figure 1-18. Sillage plastique (a) et phénomène de fermeture de la fissure par plasticité (b)

Le niveau de fermeture peut être déterminé expérimentalement ou par simulation par Eléments Finis connaissant le comportement élastoplastique de la structure fissurée [Mc Clung 1996]. La méthode de détermination expérimentale s’appelle la méthode de variation de la complaisance de l’éprouvette, on trace l’évolution du déplacement de deux points de part et d’autre des lèvres de la fissure en fonction du chargement appliqué. Le seuil d’ouverture correspond au niveau de chargement à partir duquel la complaisance devient linéaire puisque la fissure est alors complètement ouverte. La difficulté réside dans la définition du critère de perte de linéarité nécessaire pour déterminer le niveau de charge à partir duquel la fissure est fermée. Ce critère doit varier en fonction de la distance entre les points de mesure et l’extrémité de la fissure.

Figure 1-19. Détermination du niveau d’ouverture Kouv par la méthode de complaisance Les paramètres influant sur le niveau de fermeture par plasticité, en fatigue à amplitude monotone, sont classés en deux catégories, les paramètres liés au chargement appliqué et les paramètres liés au matériau [Roychowdhury et Dodds 2004]. Les paramètres matériaux sont ses propriétés élastiques (E et ν ) et plastiques (limite d’élasticité et coefficients d’écrouissage). Les paramètres liés au chargement ont été étudiés d’une manière abondante dans la littérature depuis les travaux d’[Elber 1971]. Par exemple, dans le cadre d’une étude sur les essieux ferroviaire [Kurzawa 2002] a montré que l’influence du rapport de charge R sur le niveau de fermeture dépend du signe de R. Les simulations de la propagation par Eléments Finis ont permis de conclure que K_ouv dépend de R quand ce dernier est positif et de K_max et S_ymin quand R est négatif. Ces simulations ont été validées grâce à des essais de fissuration réalisés à différents rapports de charge. Le niveau d’ouverture dépend également de la biaxialité autour de la fissure (contrainte T). L’influence de la contrainte T sur la vitesse de propagation est attribuée à la dépendance du niveau de fermeture à T ([Hutar et al. 2004] et [Hutar et al. 2006]).

max max min

.∆ m .( ) et m ( , , , )

eff ouv ouv

da

C K C K K K f R T K S

dN = = − = _(1-4)

En fatigue à amplitude variable, la prise en compte de K_ouv est indispensable pour modéliser l’interaction entre les cycles. Son évolution ne peut généralement pas être calculée analytiquement. Les Eléments Finis constituent un moyen de détermination de K_ouv , mais dans la pratique cette méthode n’est pas employée en amplitude variable puisqu’il reste hors de portée des machines actuelles de calculer par éléments finis des millions de cycles, surtout si l’on emploie des lois de comportement élaborées.