Chapitre 2 Le modèle de fissuration par fatigue sous amplitude variable
2.3 Le modèle incrémental de propagation
2.3.2 Etude des champs de déplacements en pointe de fissure
2.3.2.2 Décomposition de Karhunen-Loeve
La décomposition de Karhunen-Loeve permet justement d’effectuer une telle décomposition ( 2-10) sur un ensemble discret de résultats. Supposons que l’on connaisse une composante U du déplacement d’un ensemble de points n pour un ensemble d’instants t . On construit alors la matrice des données spatio-temporelles V , puis la matrice de corrélation spatiale C de ces donnéesde la manière suivante :
( ) ( )
( ) ( )
= = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ = ⎢ = = = = ⎥ ⎣ ⎦ L M M L 1, 1 1, , . , 1 , T U n t U n t k V C V V U n N t U n N t k (2-11)Les vecteurs propres de la matrice C, normalisés et notés Fk, constituent la base de champs spatiaux de la projection de Karhunen-Loeve, tandis que les coefficients temporels s’obtiennent comme suit :
= T.
k k
A V F (2-12)
La décomposition de Karhunen-Loeve de la matrice V s’écrit alors de la manière suivante :
= =
∑
1 N k k k V A F (2-13)Lorsqu’on se limite aux h premiers modes de la décomposition on obtient une solution approchée, et l’erreur globale liée à cette approximation se calcule comme suit :
( )
( )
= − = =∑
∑ ∑
% % 2 , 2 1 , ik ik h i k k k k ik i k V V V A F erreur V (2-14)Cette méthode permet donc de trouver sans aucun a priori une première approximation des champs de déplacement selon la forme proposée à l’équation ( 2-10).
La méthode a été appliquée aux résultats d’un calcul par éléments finis d’un modèle contenant une fissure centrale de 20 mm dans une plaque de 2m par 2m. Seul un quart de l’éprouvette a été modélisé du fait des symétries du problème. Une zone de 5 mm par 10 mm autour de l’extrémité
de la fissure a été maillée finement par des éléments linéaires de forme triangulaire et de coté égal à 33 mµ . Les calculs ont été effectués en déformation plane.
Un premier calcul, en élasticité a été réalisé (E=200 , 0.3GPa ν = ). La fissure a été sollicitée en Mode I, à un niveau de contrainte tel que le facteur d’intensité des contraintes était égal à 1MPa m.
Un second calcul a ensuite été effectué avec un comportement élasto-plastique pour le matériau. Le module d’élasticité et le coefficient de Poisson étaient comme précédemment respectivement égaux à 200 GPa et 0.3, tandis que la limite d’élasticité était de 400 MPa et le coefficient d’écrouissage isotrope linéaire de 10 MPa. La plaque a été soumise à une contrainte de 200 MPa puis déchargée jusqu’à une contrainte de 20 MPa et enfin rechargée jusqu’à 200 MPa. Chacune des étapes du calcul a été divisée en dix incréments. Pour chacun de ces incréments, les composantes horizontales et verticales du champ de déplacement de chacun des nœuds se trouvant dans la région située autour de la pointe de la fissure ont été enregistrées.
A partir de ces résultats, et pour chaque composante du déplacement Ux ou Uy, une matrice des données spatio-temporelles V a été construite, puis la décomposition de Karhunen-Loeve a été appliquée. Ces calculs ont été effectués avec le logiciel Matlab, en n’utilisant qu’un point tous les 0.1 mm par 0.1 mm sur une zone de 2.5 mm de rayon autour de l’extrémité de la fissure.
Premièrement, on constate que les deux premiers modes sont suffisants pour reconstruire la solution. L’erreur globale est inférieure à 1% dès que deux modes sont utilisés puis l’erreur globale a tendance à saturer lorsque le nombre de modes augmente (Tableau 2-1) :
Décomposition de Karhunen
Loeve supposé être la solution du calcul Idem, mais le premier mode est élastique
Nombre de Modes utilisés
erreur sur Ux erreur sur Uy erreur sur Ux erreur sur Uy
0 100% 100% 100% 100%
1 0.75% 0.96% 1.51% 1.98%
2 0.07% 0.14% 0.11% 0.14%
3 0.06% 0.12% 0.08% 0.13%
Tableau 2-1. Erreur obtenue sur le déplacement pour les différents modes
Deuxièmement, il apparaît que le premier mode de Karhunen-Loeve est très proche de la solution élastique (Figure 2-12). On peut donc faire l’hypothèse que la solution du calcul élastique, notée Fe, est le premier mode de Karhunen-Loeve. On peut alors calculer les coefficients temporels associés à ce premier mode et en déduire la matrice résidu Vr ( 2-15). Cette matrice résidu peut ensuite être décomposée en employant la méthode de Karhunen-Loeve afin de déterminer les modes suivants.
.
T
e e e e
(a) (b)
(c) (d) Figure 2-12. (a) solution du calcul élastique par éléments finis de référence (b) premier mode, (c)
second et (d) troisième modes de Karhunen-Loeve du calcul élasto-plastique
Le second mode de Karhunen-Loeve est localisé à l’extrémité de la fissure et tend à s’annuler lorsqu’on s’éloigne de cette extrémité. Le troisième mode et les suivants sont bruités et n’améliorent pas significativement la solution. On constate ainsi, que dès que deux modes sont employés l’erreur moyenne en fonction du temps devient inférieure à 10-3 excepté au cœur de la zone plastique de la fissure (Figure 2-13).
(a) (b) Figure 2-13. Carte d’erreur moyenne sur le temps (a) avec un seul mode et (b) avec deux modes
Enfin, les coefficients temporels des deux premiers modes sont tracés sur la Figure 2-14. L’évolution du coefficient temporel du premier mode est quasiment identique à celle du facteur d’intensité des contraintes nominal. Ainsi, le coefficient temporel du premier mode mesure t’il la
composante « élastique » du déplacement aussi bien en terme spatial que temporel. En revanche le coefficient temporel du second mode présente une évolution non-linéaire. Comme il suffit de deux modes pour reconstruire la solution élasto-plastique et que le premier mode caractérise la partie « élastique » du champ de déplacement, le second mode caractérise, lui, la partie complémentaire, à savoir la plasticité en pointe de fissure. On note qu’après un changement de direction de chargement, le coefficient temporel du second mode n’évolue pas. Il existe donc un domaine d’élasticité pour la région en pointe de fissure à l’intérieur duquel seul le coefficient temporel du mode « élastique » varie.
(a) (b) Figure 2-14. Coefficient temporel (a) du premier mode et (b) du second mode de Karhunen-Loeve
du calcul élastoplastique en fonction du facteur d’intensité des contraintes nominal (i.e. KINominal=Sy πa)
Cette étude purement numérique permet de montrer que l’on peut décomposer le champ de déplacement dans la région avoisinant la pointe de fissure sur une base de champs spatiaux. Les deux premiers modes sont suffisants pour approcher le champ calculé avec une bonne précision. On observe que le premier mode est quasiment identique à la solution d’un calcul élastique. On peut ainsi diminuer de manière considérable le nombre de degrés de liberté du problème en les réduisant aux seuls coefficients temporels des deux premiers modes.