Effet de la longueur de la fissure sur T

Il est admis que deux fissures de longueurs différentes se propagent à la même vitesse si elles sont soumises au même facteur d’intensité des contraintes K . Prenons par exemple deux éprouvettes de Griffith avec deux fissures de tailles différentes, une fissure longue de longueur a et une ₁

fissure plus courte de longueur a . ₂

Figure 3-29. Fissures de Griffith de différentes longueurs

Pour avoir le même facteur d’intensité des contraintes dans les deux cas, compte tenu de l’expression du facteur d’intensité des contraintes dans ce cas, la contrainte appliquée à la fissure courte se calcule comme suit :

1 2 1 2 1 2 si a a ya ya a K K S S a = = ^(3-11)

La Figure 3-30 montre les courbes d’émoussement calculées par Eléments Finis pour un chargement uniaxial de deux éprouvettes fissurées, contenant deux fissures de tailles différentes mais soumises au même facteur d’intensité des contraintes. On remarque que pour un même facteur d’intensité des contraintes, l’émoussement plastique est plus élevé pour la fissure courte que pour la fissure longue. Ce résultat montre que la seule intensité K des termes au premier _I

ordre des développements asymptotiques en pointe de fissure ne suffit pas à prévoir le comportement de la fissure. Il faut regarder comment évoluent les termes d’ordre supérieur, et le premier d’entre eux est la contrainte T . La différence entre les courbes d’émoussement s’explique par le fait que si K est bien le même dans les deux cas, en revanche la contrainte T _I

n’est pas la même. En effet, avec cette géométrie, en chargement uniaxial, T = − , et S_y S n’est _y

Figure 3-30. Evolution des courbes d’émoussement pour le même KI , pour un chargement uniaxial de deux éprouvettes contenant une fissure centrale de longueur2a, où a=6mm ou 12 mm. Pour ces calculs le même rafinement de maillage a été employé en pointe de fissure ainsi

que la même méthode de dépouillement. Le comportement du matériau était élasto-plastique parfait : Re=100 MPa, E=200 GPa, ν=0.3

Il est admis dans la littérature que les fissures mécaniquement courtes se propagent plus vite que les fissures longues pour le même facteur d’intensité des contraintes [Miller 1987]. Comme, dans notre modèle, la vitesse de fissuration est proportionnelle à l’émoussement plastique, les résultats présentés à la Figure 3-30 sont cohérents avec cet effet dit « de fissure courte ». Cet effet de fissure courte a été initialement associé au fait que le seuil de non-propagation des fissures mécaniquement courtes est inférieur à celui prévu par la mécanique linéaire élastique de la rupture [Kitagawa et Takahashi 1976]. Le diagramme de Kitagawa et Takahashi (Figure 3-31) illustre cela en traçant l’évolution de la contrainte seuil de non-propagation en fonction de la dimension de défauts créés artificiellement à la surface d’éprouvettes de fatigue. Lorsque la dimension des défauts est petite, la contrainte au-delà de laquelle les défauts se propagent est quasiment constante et tend vers la limite d’endurance du matériau. Au contraire, quand les fissures sont plus longues, cette contrainte décroît avec la longueur des fissures. Cela correspond au seuil de non-propagation des fissures de fatigue (K_Iseuil) qui est proportionnel à la racine de la dimension des défauts, ce qui explique la pente de -1/2 de cette partie décroissante dans un diagramme logarithmique. Iseuil I y yseuil K K YS a S Y a = ⇒ = ^(3-12)

Le passage d’un régime à l’autre (endurance Æ non propagation de fissures longues) se fait de manière continue. Ce diagramme (Figure 3-31) illustre qu’une approche à 1 seul paramètre K , n’est pas suffisante lorsque la dimension des fissures diminue.

Figure 3-31. Evolution de la contrainte seuil de propagation en fonction de la longueur de fissure [Tanaka et al. 1981]

Regardons maintenant comment la contrainte T évolue avec la longueur de la fissure pour un chargement uniaxial. La Figure 3-32 montre l’évolution de la contrainte T d’une fissure de Griffith soumise à un chargement uniaxial à même facteur d’intensité des contraintes et en fonction de la longueur de la fissure ( 3-13) :

= _y =- ⇒ = ^-K

K S πa T πa T

πa

(3-13)

La contrainte T est négative et diminue rapidement en valeur absolue lorsque la longueur de la fissure augmente ( 3-13). Ainsi, le paramètre T , introduit pour tenir compte de la biaxialité du chargement évolue également en fonction de la longueur de la fissure.

Figure 3-32. Evolution de la contrainte T pour une fissure de Griffith en chargement uniaxial en fonction de la longueur de la fissure normalisée par la valeur de T pour une longueur de a=30

Si on souhaite maintenant avoir le même K et le même T pour les deux fissures étudiées ( 3-14), l’éprouvette contenant la fissure courte a doit être chargée de manière biaxiale, par une ₂

contrainte de traction S_x agissant parallèlement au plan de la fissure (Figure 3-33).

Figure 3-33. Fissures de Griffith de différentes longueurs soumises au même K et au même T Le chargement S_x de la petite fissure est calculé comme suit :

2 1 2 1 1 1 si 1 2 a a xa xa ya a T T S S S a ⎛ ⎞ = = + _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ ^(3-14)

La Figure 3-34 montre les courbes d’émoussement obtenues maintenant par éléments finis pour deux fissures de tailles différentes soumises au même facteur d’intensité des contraintes K et à la même contrainte T . On obtient bien cette fois-ci un comportement identique.

Figure 3-34. Evolution des courbes d’émoussement pour le même KI et le mêmeT, pour deux éprouvettes contenant une fissure centrale de longueur2a, où a=6mm ou 12 mm. Pour ces calculs le même rafinement de maillage a été employé en pointe de fissure ainsi que la même méthode de dépouillement. Le comportement du matériau était élasto-plastique parfait : Re=100

MPa, E=200 GPa, ν=0.3

Ainsi, cette étude a permis de montrer qu’une approche à un seul paramètre K ne permet pas de caractériser complètement le comportement de la fissure (Figure 3-30). On a également montré

que deux paramètres T et K sont suffisants pour modéliser le comportement d’une fissure et appliquer le principe de similitude (Figure 3-34) : deux fissures s’émoussent de la même manière si elles sont soumises au même facteur d’intensité des contraintes K et à la même contrainte T .