Propagation d’un choc oblique `a l’interface de deux milieux

Les relations d´ecrites pr´ec´edemment nous autorisent `a traiter le cas de la transmission d’un choc plan sur une interface oblique entre deux mat´eriaux A et B (figure 3.11). Cette configura-tion se produit en partie dans les cibles utilis´ees pour g´en´erer le jet de plasma (voir en d´etail au chapitre 4). On a, comme pour le paragraphe 3.1.2.1, les mˆemes conditions d’´equilibre `a l’interface. De plus on doit, pour satisfaire `a l’´equilibre hydrodynamique, ´egaliser les angles de d´eviation ϕ propres `a chaque ´etat. Pour le v´erifier (voir la figure 3.11), on observe une onde transmise dans le milieu (B).

L’existence d’une onde r´efl´echie et sa nature, de d´etente ou de choc, d´epend de l’angle d’incidence σ et de l’intensit´e du choc. A titre d’exemple, pour le sch´ema 3.11, on observe la g´en´eration d’un choc r´efl´echi (CR) et d’un choc transmis (CT). Cela constitue une situation r´eguli`ere, o`u le choc r´efl´echi est de mˆeme nature que le choc incident. Pour avoir la stabilit´e du choc, il faut quela condition w>c soit n´ecessairement satisfaite, tant pour l’onde r´efl´echie, que pour l’onde transmise et incidentecomme d´ecrit sur la figure 3.9. La v´eri-fication de cette condition d´epend deσ et de la nature des mat´eriaux. Cette stabilit´e s’exprime par la v´erification des trois in´egalit´es suivantes, exprim´ees en fonction de la vitesse du son apr`es le choc principal (C) (voir figure 3.11), c, apr`es le choc r´efl´echi (CR) , cR et le choc transmis (C_T), c_T :

w≥c, wR≥cR et wT ≥cT. (3.26)

Autrement dit, les ´ecoulement derri`eres les trois ondes doivent ˆetre tous les trois superso-niques ou sosuperso-niques.

Pour traiter ce probl`eme de stabilit´e, il faut d´efinir les courbes limites dans le plan (US, σ) comme sur la figure 3.9. Lorsque les diff´erents ´etats (incident, r´efl´echi et transmis) sont `a gauche des courbes soniques, la transmission est dite r´eguli`ere. Les trois ondes se propagent sans d´eformation le long de l’interface `a la vitesse ~q, et les ´ecoulements sont stationnaires ou permanents. Lorsque l’´etat incident du choc (d´etermin´e par US et σ) est `a droite du point sonique alors un des ´ecoulements (transmis ou r´efl´echi) devient subsonique, et la transmission

Milieu A choqué

Figure 3.11 Sch´ema de la propagation d’un choc (C) `a travers une interface oblique et des chocs, r´efl´echi (C_R) et transmis (C_T), r´esultants.

est irr´eguli`ere. L’onde incidente est d´eform´ee sur une longueur croissante du front, et les ´ecou-lements deviennent instationnaires.

Selon la stabilit´e du processus et les caract´eristiques des milieux, le r´esultat est de diff´erente nature. On classe ainsi les chocs possibles en deux groupes contenant deux couples de condi-tions. Cette classification se fait selon les caract´eristiques du milieu : son imp´edance, Z et la vitesse du son cs dans chaque milieu apr`es le passage du choc.

– Groupe I : Imp´edance Z et valeur de cs altern´ees : ZA < ZB et c^A_s > c^B_s ³ ou ZA > ZB

etc^A_s < c^B_s

Comme pour le choc plan (section 3.1.2.1), on retrouve les mˆemes conditions sur la nature de l’onde r´efl´echie, de d´etente ou de choc, selon l’imp´edance des milieux. La particularit´e du choc oblique est qu’il est possible, selon l’angle d’incidence, d’avoir une d´etente du mi-lieu l´eger dans le lourd et que le mimi-lieu lourd re¸coive un choc faible (Couple I.a : ZA<ZB

et couple I.b : ZA>ZB).

– Groupe II: Imp´edance Z et valeur de csde mˆeme sens :ZA< ZBetc^A_s < c^B_s ouZA> ZB

etc^A_s > c^B_s

L’onde r´efl´echie suit les mˆemes principes que pour le cas plan voir 3.1.2.1.(Couple II.a : Z_A<Z_B et couple II.b : Z_A>Z_B).

Pour assurer l’existence d’une onde r´efl´echie, selon les conditions initiales (US, ϕ) du choc incident, il faut avoir le pˆole initial (P,ϕ) en dessous du point sonique S le long de la polaire (Φ) du choc initial. Lorsque cette condition est remplie, la polaire de l’onde r´efl´echie (ΦR) est consti-tu´ee de deux branches, l’une pour le choc r´efl´echi, l’autre pour la d´etente. L’´etat d’´equilibre `a l’interface est obtenu en prenant l’intersection entre la polaire de l’onde transmise (ΦT) et (ΦR).

Si ce point d’intersection existe, on examine sa position par rapport aux points soniques, S_T et SR. S’il se trouve en-dessous de ces points, les relations (3.26) sont v´erifi´ees et l’´ecoulement derri`ere les trois ondes est permanent.

La formation du choc r´efl´echi r´esulte de l’´emission simultan´ee au point I d’un train d’onde de compression d’amplitude finie. L’onde de choc r´efl´echie est la r´esultante de ces ondes. Sa for-mation ne peut ˆetre stable et permanente que si toutes les ondes de faisceau g´en´erateur restent

3Ces deux in´egalit´es d´efinissent ce qu’on appelle le ”couple” de mat´eriaux.

centr´ees au point I au cours de la propagation. Ces conditions sont v´erifi´ees si w_R ≥c_R.

Dans le cas contraire, par exemple si on consid`ere un cas irr´egulier pour le couple I.a, une

Milieu A choqué

Milieu A initial

Milieu B initial (C)

(CR)

(C_T) I

US U

SR

US T

Interface

O T

(CM)

Figure 3.12 Formation de l’onde de Mach dans le cas irr´egulier.

fraction du faisceau g´en´erateur ne passe plus par le point I et donc l’onde r´esultante ´egalement ; On peut dire que cette fraction d’onde r´esultante ”pousse” (CR) hors de l’interface. Le processus au point I n’´etant plus stable, le choc r´efl´echi se forme en un point T (figure 3.12) du front de choc incident, hors de l’axe. Entre T et l’interface, le choc (C) est remplac´e par le choc (CM) que l’on appelle : Onde de Mach. Le processus est instationnaire car il commence au point O, origine de l’interface entre les deux milieux et suit une droite jusqu’au point T qui s’´ecarte de l’interface (voir figure 3.12) ⁴.

Nous venons de voir le cas irr´egulier pour l’onde r´efl´echie, mais le raisonnement est le mˆeme si la condition wT ≥ cT n’est pas v´erifi´ee pour l’onde transmise. Dans ce cas, l’irr´egularit´e se traduit pas une modification du front de choc incident (C) qui estl’affaiblissement du front de choc. L’ensemble des cas possibles selon les couples de mat´eriaux consid´er´es et selon la stationnarit´e des chocs est pr´esent´e dans le tableau 3.1.

Couple de mat´eriau R´egulier Irr´egulier Imp´edance Vitesse du son I.a Choc ou d´etente selonσ Onde de Mach ZA<ZB c^A_s > c^B_s I.b Choc ou d´etente selonσ Choc affaibli ZA>ZB c^A_s < c^B_s

II.a Choc Choc affaibli ZA<ZB c^A_s < c^B_s

II.b D´etentes D´etentes ZA>ZB c^A_s > c^B_s

Tableau 3.1 Nature des cas en fonction de la r´egularit´e et des conditions des mat´eriaux A et B.

4Les premiers calculs th´eoriques n´ecessaires `a la v´erification de la stationnarit´e du choc oblique dans notre cible semblent montrer la formation d’une onde de Mach. Cette ´etude correspond `a la d´etermination des polaires et de la position du choc g´en´er´e dans nos conditions exp´erimentales (choc incident (C)) par rapport aux points soniques des mat´eriaux (pour les mat´eriaux composant notre cible).

R´ecapitulatif :L’ensemble des courbes, dans les plans d’incidence (P,ϕ) et (US,σ) permettent, pour un choc incident donn´e de vitesse US et avec un angle d’incidenceσ, de v´erifier la stabilit´e de la propagation de l’onde de choc. A l’aide des relations 3.16, 3.18 et 3.19, nous pouvons d´eterminer analytiquement l’angle de d´eviation φ de la vitesse des particules dans le milieu . Les param`etres initiaux du choc oblique (US etσ) ainsi que la vitesse du son `a l’arri`ere du choc c<sub>s</sub> et l’imp´edance Z, sont les variables n´ecessaires pour ´etudier la stabilit´e de la propagation du choc oblique `a l’interface de deux milieux et pour en d´eduire ses grandeurs caract´eristiques, φ et w.