Param`etres du choc oblique

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Figure 3.7 Repr´esentation du choc oblique (C), d’angleσ par rapport `a la droite caract´e-ristique (D) (r´ef´erentiel absolu) et de ses param`etres.

La propagation d’un choc plan dans un mat´eriaux, d’apr`es la figure 3.7, se ferait normalement

`a la droite caract´eristique (D) que l’on consid`ere fixe (r´ef´erentiel absolue). Nous verrons par la suite, lors de la description de la propagation d’un choc oblique entre deux milieux que la droite (D) correspond `a l’interface entre deux mat´eriaux diff´erents. Dans le cas pr´esent de la description du choc oblique, celui-ci se propage avec un angle σ par rapport `a (D), avec une vitesse US

dans un mat´eriaux d’´etat initial (P0, Up=0). Le choc, initialement en A, s’est d´eplac´e jusqu’au

2Le processus de r´eflexion de choc (voir ci-dessous) semble ˆetre `a l’origine de la collimation du plasma d’apr`es des simulations num´eriques bidimensionnelles (chapitre 6).

point I, acc´el´erant ainsi les particules `a la vitesse U<sub>P</sub> (figure 3.7). Un des premiers param`etres

`a introduire dans l’´etude des chocs obliques est la vitesse absolue du point I sur (D) ouvitesse apparente du choc (C) sur (D) :~q. D’apr`es la figure 3.7, on en d´eduit que :

q= U_S

sin(σ) (3.16)

On remarque que pour σ=90^◦, on retrouve la vitesse du choc plan U_S se propageant perpendi-culairement `a (D).

Un second param`etre utile, dans l’´etude de la stabilit´e du processus, est la vitesse d’´ecoule-ment ou vitesse mat´erielle du point I :w~ :

~

w=U~p−~q=IM~ (3.17)

L’introduction dew~ revient `a rep´erer les mouvements dans un syst`eme se d´epla¸cant le long de (D) `a la vitesse ~q : on se place donc dans le syst`eme li´e au front de choc. La mati`ere du milieu amont (milieu au repos) p´en`etre le front de choc `a la vitesse w~0 = −~q et en sort `a la vitesse w.~

Les composantes tangentielles de ces deux vitesses sont conserv´ees de part et d’autre du front de choc. Les composantes normales diff`erent du saut de vitesse, U<sub>p</sub>, ce qui entraˆıne une d´eviation des vitesses fluides d’un angle ϕ = (w~0, ~w). Cet angle de d´eviation est le troisi`eme param`etre des chocs obliques et il est de mˆeme sens que σ. Il d´efinit la rotation de la ligne mat´erielle qui se trouvait en IA avant le passage du choc et qui se trouve en IM apr`es. A partir de l’expression (3.16) et, en appliquant les relations de trigonom´etrie dans le triangle IMH (figure 3.7), on en d´eduit les relations de choc oblique :

w² =q²−U_S²+ (US −Up)² =U_S²cotg²(σ) + (US−Up)², (3.18) On obtient donc les trois grandeurs (q, w,ϕ) pour caract´eriser les chocs obliques en fonction des conditions initiales, US et σ ou q. Comme dans le cas du choc plan, l’´etat d’´equilibre hy-drodynamique est obtenu le long de polaires de choc. Celles-ci sont construites et d´efinies pour une valeur de q fixe et le param`etre variable devient soit US soit σ.

⋆ La polaire (π) dans le plan de l’hodographe (figure 3.8)

L’hodographe est le diagramme des vecteurs-vitesses et il permet de remonter aux relations entre les grandeurs caract´eristiques du choc pour tracer les polaires de choc oblique. La figure 3.8 est l’hodographe de la situation d´ecrite sur le sch´ema 3.7. Le point A est l’origine des vitesses absolues (U~S, U~p et ~q), I est l’origine des vitesses relatives li´ees au front (w~0 et w) et M celui~ des vitesses relatives au milieu. On consid`ere tout d’abord tous les chocs ayant mˆeme la vitesse apparente q et on fait varier US. Sa vitesse minimum est c0, vitesse du son dans le milieu initial (repr´esent´ee par AH0). Sa vitesse maximale est q, soit AI sur la figure 3.8. Lorsque US varie sur la courbe noire (figure 3.8), le point M, extr´emit´e de U~p d´ecrit (π), la polaire dans le plan de l’hodographe. Sur la figure 3.8 lorsque M d´ecrit (π), l’angle ϕ passe par un maximum. En annulant la d´eriv´e de tg(ϕ) par rapport `a Up et `a q constant (´equation (3.19)), on obtient une expression :

U_S²+Up(US−Up)dUS

dUp

=q² (3.20)

!

Figure 3.8 Polaire (π) dans le plan de l’hodographe (diagramme des vecteurs-vitesses).

dont le maximum est donn´e par la racine : Upm. Afin d’obtenir une expression plus mall´eable de cette condition, on pr´ef`ere r´e´ecrire cette relation sur l’angle d’incidence au lieu de Up. Pour cela, on ´elimine q dans (3.20) `a l’aide de (3.16) : Cette derni`ere relation d´efinit la fonction σm(US), qui explicite les angles d’incidences σm en fonction de U_S pour lequel la d´eviation est maximale soit ϕ_m.

⋆ La polaire dans le plan d’incidence (US,σ)

Avant de d´ecrire cette courbe, il est important de d´efinir le point sonique. En suivant (π), sur la figure 3.8, lorsque le point M passe de A `a N, w = IM d´ecroˆıt de q `a (U_S-U_p)_N (au point N). La vitesse du son c de la mati`ere apr`es le passage du choc varie quant `a elle de c0 en A

`a cN>(US-Up)N. Par cons´equent, il existe un point o`u les deux vitesses (du sonc et la vitesse fluide w dans le r´ef´erentiel du choc) sont ´egales, le point sonique:

w=c. (3.22)

En injectant cette ´egalit´e dans (3.18) on obtient :

c²+U_S² −(US−Up)² =q² (3.23) La racine de cette derni`ere ´equation est u<sup>⋆</sup>(q) et d´etermine un angle sonique pour lequel son expression en fonction de US est (`a l’aide de la deuxi`eme forme de l’´equation (3.18)) :

σ^⋆(q)< σ_m(q) et, cotg²(σ^⋆) = c²−(US −Up)²

U_S² ,

Les angles σ^⋆(U_S) et σ_m(U_S) sont des param`etres du choc oblique. Pour une mˆeme vitesse de choc US, on d´etermine `a l’aide de σ^⋆(US), deux r´egions dans le plan en fonction de la vitesse du son dans la mati`ere choqu´ee, c :

– w > c soit σ < σ^⋆(q) :

l’´ecoulement derri`ere le choc oblique est supersonique et reste permanent ou stationnaire.

L’´etat est repr´esent´e sur la polaire (US, σ) de la figure 3.9 `a gauche de la polaire σ^⋆(US).

– w < c soit σ > σ^⋆(q) :

l’´ecoulement est subsonique derri`ere le choc. D’´eventuelles perturbations `a l’arri`ere du front de choc peuvent modifier le front de choc et, selon leur amplitude, le d´eformer.

L’´ecoulement devient instationnaire.

Pour les figures 3.9 et 3.10, sont repr´esent´ees les courbes correspondant `a la propagation d’une onde oblique d’angleσ = 53<sup>◦</sup>, de vitesse US = 30km.s<sup>−1</sup> dans de l’aluminium. Pour l’alu-minium, on a prit l’expression lin´eaire de US correspondant `a l’´equation (3.13) avec A= 5,38 km/s et B=1,337.

Figure 3.9 Courbes dans le plan d’incidence (U_S, σ), pour un choc de 30km/s dans de l’aluminium avec une incidence de 53^◦. Le domaine de stabilit´e des chocs pour q fix´e se trouve

`

a gauche de la polaire σ^⋆(U_S) .

⋆ La polaire de choc (φ) dans le plan (P, ϕ)

Cette courbe [not´ee (φ)] est repr´esentative de la relation entre la pression du choc P et l’angle de d´eviation ϕ `a q fix´ee. La relation entre ces deux grandeurs n’est pas directe et passe par un troisi`eme param`etre, Up (ou US) par les relations de choc ci-dessous :

P −P0 =ρ0USUp (3.24)

tg(ϕ) = Up

pq²−U_S² q²−USUp

(3.25) o`u la premi`ere est la polaire de choc (H). La seconde associe `a chaque point de (H) un point dans le plan (P,ϕ) d´ependant de la valeur q.

Figure 3.10 Pour tracer ces deux courbes nous avons utilis´e les mˆemes caract´eristiques que celles du choc de la courbe 3.9. A droite de la figure se trouve la polaire de choc (H). A gauche le r´esultat dans le plan (P,ϕ).