Profils de vitesses

Dans l’objectif de vérifier la pertinence des simulations menées sans modélisation de la turbulence, on analyse les champs de vitesses obtenus avec les deux solveurs. On montre par exemple, dans la Figure 36, les champs de vitesses instantané et moyenné dans le temps au niveau de la section longitudinale calculés avec le solveur vofTfmFoam dans le maillage fin. On constate juste en aval de la

jonction entre le jet et la surface libre le développement rapide d’importantes fluctuations du champ de vitesses instantané. Cela se traduit par un champ de vitesses moyenné très diffusif, avec une dispersion grandissante suivant l’éloignement de la surface libre. Ces caractéristiques qualitatives correspondent fortement aux observations expérimentales de Qu, et al. (2013), qui ont mesuré les champs de vitesses d’un jet d’eau en plongeon sans entraînement d’air avec une technique de PIV.

Cela confirme la résolution effective d’une partie des tourbillons qui se développent dans un écoulement turbulent par les simulations sans modélisation de la turbulence, justifiant ainsi l’appellation de cette approche par certains auteurs de VLES (Very Large Eddy Simulation).

Figure 36 - Champ de vitesses instantané (à gauche) et moyenné dans le temps (à droite) ; (M2, vofTfmFoam, maillage fin, S-M)

Sur l’aspect quantitatif, l’étude de Chanson, et al. (2004) ne fournit pas de mesures de vitesses auxquelles on pourrait directement comparer les résultats obtenus avec les différentes méthodologies de simulation. Néanmoins, on dispose dans la littérature des nombreuses études sur le développement des profils de vitesses moyennes des jets dans différentes configurations. Plus notamment, Pope (2000), en

Panchapakesan & Lumley (1993), démontre que les profils de vitesses moyens des jets ronds immergés (c’est-à-dire que le jet est composé de la même matière que celle qui occupe le milieu dans lequel il est lancé) présentent des caractéristiques similaires avec un écoulement pleinement développé. Plus spécifiquement, avec les unités adimensionnelles convenables, on pourrait représenter les profils de vitesses longitudinales moyennes à différentes distances x du point de départ avec une seule courbe, qui serait en plus, indépendante du nombre de Reynolds dans les écoulements turbulents. Cela signifie que les taux de déclin B et de propagation Su de la vitesse restent constants dans la direction longitudinale au jet. D’après Pope (2000), ce profil unique peut s’écrire tel qu’exprimé dans l’Eq. (78).

𝑈^̅ 𝑈_𝑚𝑎𝑥

̅̅̅̅̅̅̅^{= (1 + 𝜗𝜂²)−2 (78)}

Où 𝑈̅̅̅̅̅̅̅ est la vitesse maximale du profil, 𝜗 est une constante de proportionnalité _𝑚𝑎𝑥 qui dépend de Su (ici, 𝜗 ≈ 47) et 𝜂 ≡ 𝑟/(𝑥 − 𝑥₁) est l’abscisse du profil de vitesses, indiquant la distance perpendiculaire de la ligne centrale du jet.

La Figure 37 montre que les profils issus des simulations sont assez proches des profils de vitesses pour les jets ronds de Pope (2000). On note cependant une diffusion plus importante des vitesses calculées en comparaison avec le profil de Pope (2000) pour les jets immergés. En effet, selon Qu, et al. (2013), on peut s’attendre à un étalement plus prononcé des profils de vitesses moyennes dans les jets en plongeon, en conséquence d’une production additionnelle d’énergie turbulente provoquée par les fluctuations de la surface libre, ce qui n’a pas lieu lors des écoulements à jets immergés.

Figure 37 - Profils de vitesses moyennes empiriques et calculés dans les simulations (maillage fin)

Par ailleurs, on observe que les profils de vitesses moyennes calculés à chaque simulation sont effectivement autosimilaires, indiquant ainsi que le champ de vitesses de l’écoulement étudié peut être considéré comme pleinement développé, au moins à partir de (x - x1)/D1 = 6. Il s’agit du même ordre de grandeur indiqué par Qu, et al. (2013), alors que, selon Pope (2000), les jets immergés ne seraient pleinement développés qu’une fois qu’ils auraient atteints (x - x1)/D1 = 30.

On montre enfin dans la Figure 38 l’influence du raffinement du maillage dans le résultat obtenu des profils de vitesses moyennes. Les profils de vitesses moyennes calculés avec le maillage moyen présentent une diffusion moins importante que ceux issus du maillage plus raffiné. C’est la tendance contraire de celle constaté par Lopes, et al. (2016), où les profils de vitesses devenaient moins diffusifs lorsque le maillage était raffiné.

Figure 38 – Comparatif des profils de vitesses moyennes obtenus avec différents maillages

L’explication de ces différences sont assez simples. Alors que Lopes, et al. (2016) ont conduit leurs simulations avec un modèle de turbulence type RANS, les résultats montrés dans la Figure 38 proviennent des calculs sans modèle de turbulence. Dans la présente étude, la plupart de la diffusion du champ de vitesses est ainsi issue de ses fluctuations, générées par la résolution des tourbillons dans le domaine numérique. De cette façon, le maillage fin est capable de résoudre un spectre de tourbillons plus large que le maillage moyen, ce qui se traduit finalement dans un profil de vitesses moyennes plus étendu. Dans le cas des simulations de Lopes, et al. (2016), on s’attend à une dispersion du champ de vitesses majoritairement provoquée par l’intégration d’un terme de viscosité turbulente dans la résolution de l’équation de quantité de mouvement, quel que soit le maillage utilisé. La différence entre leurs résultats est alors probablement due à la diffusion numérique, qui apparaît de manière plus intense lorsque le maillage est plus grossier.

➢ Bilan

Les profils de vitesses moyens obtenus dans les simulations présentent une allure très proche des profils de jets immergés de Pope (2000), mais avec une diffusion un peu plus prononcée. Ceci est cohérent avec les mesures de Qu, et al. (2013). Les

simulations en maillage fin prédisent une plus importante diffusion que celles de discrétisation plus grossière, puisqu’une plus grande gamme du spectre d’échelles des tourbillons est directement résolue.