Produit scalaire

.

Equation polaire

DÉFINITION2.10 _♥ Equation polaire

SoitR_(O,−→ı ,→−), un repère orthonormal direct. Une équationF(r,θ)=0est une équation polaire d’une partieA du plan lorsqu’un pointMappartient àA si et seulement si l’un des couples de coordonnées polaires(r,θ)deMvérifie F(r,θ)=0.

Exemple 2.4 Un repère orthonormal^¡O,−→ı,−→¢

du plan étant fixé, l’ensemble des points du plan d’équation polaire

• θ=0est l’axe^¡O,−→ı¢ deR.

• r=1est le cercle de centreOet de rayon1.

2.3 Produit scalaire

2.3.1 Définition

✎ Notation 2.5 Si^−→u est un vecteur deV, on note^°°−→u°

°sa norme. SiAetBsont deux points deP tels que^−→u =−→

AB, la norme de^−→u est donnée par la longueurAB.

DÉFINITION2.11 _♥ Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs^−→u et^−→v du planV, noté^−→u.−→v (on rencontrera aussi les notations_〈−^→u|−→v〉ou encore

¡−→u | −→v¢

) est défini, de manière géométrique, par : ( →−u.−→v =°

°→−u°

°°

°−→v°

°cos (−→u,→−v)si les deux vecteurs^→−u et^−→v sont non nuls

−

→u.−→v =0sinon.

Remarque 2.8

– Le produit scalaire ne dépend pas de l’orientation choisie dans le plan.

– ^−→u· −→u=°°−→u°°.°°→−u°°cos³

−

→u,→−u´

=°°−→u°°². En résumé, ^→−u· −→u =°°→−u°°² .

PROPOSITION2.8 _♥

Deux vecteurs^−→u et^→−v deV sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Preuve _♥ Si un des deux vecteurs^−→u ou^−→v est nul, le résultat est immédiat. Supposons que^−→u et^−→v ne sont pas nuls.

⇒ Si^−→uet^−→v sont orthogonaux alors^³→−u,−→v´

=π/2 [π]etcos³



−

→u,−→v´

=0et^→−u.−→v =°°−→u°°°°→−v°°cos (→−u,−→v)=0.

⇐ Réciproquement, si^→−u.−→v =0alors^°°→−u°°°°−→v°°cos (−→u,−→v)=0. Mais comme^−→u et^−→v ne sont pas nuls, on a nécessairement cos (→−u,−→v)=0, c’est à dire^³−→u^,−→v´

=π/2 [π]et^→−u,^−→v sont bien orthogonaux.

2.3.2 Interprétation en terme de projection

DÉFINITION2.12 Mesure algébrique

Soit D une droite deP orientée par un vecteur unitaire^→−u. Soient AetB deux points distincts deD. La mesure algébriqueABest l’unique réelλtel que^−→AB=λ→−u.

PROPOSITION2.9 _♥ Projection orthogonale

SoitDune droite et soitAun point du planP. Il existe un unique pointA^′deDtel que le vecteur^−−→AA^′soit orthogonal à la droiteD. Ce point est appelé le projeté orthogonal deAsurD.

Preuve Soit^−→u un vecteur unitaire directeur deD. Soit^−→v un vecteur unitaire deV choisi en sorte que le couple(−→u,−→v)forme une base orthonormale du plan. Considérons le repère orthonormalR_(Ω,→−u,−→v)oùΩest un point deD. Soient(x_A,y_A)les coordonnées

A B

O

H θ

FIGURE2.5 – Interprétation en terme de projec-tion du produit scalaire : angle aigu

A B

O H

θ

FIGURE2.6 – angle obtus

deAdans ce repère. Un pointMest élément deDsi et seulement si dansR, son ordonnée est nulle. Considérons doncM(x,0)un point deD. On a^−−→AM¡

x−x_A,−y_A¢

. Ce vecteur est orthogonal àDsi et seulement si il est colinéaire à^−→v, c’est-à-dire si et seulement six−xA=0. On prouve ainsi à la fois l’existence et l’unicité deA^′.

Remarque 2.9 SoitR_(O,−→ı,−→)un repère orthonormal etAun point du plan de coordonnées(x,y)dans ce repère. La droite des abscisses est orientée par le vecteur^−→ı. SiAx est le projeté orthogonal deAsur(Ox)alorsOAx=x.

PROPOSITION2.10 _♥ Interprétation du produit scalaire en terme de projection

Soient^−→u et^−→v deux vecteurs deV. SoientO, A, B trois points deP tels que^−→OA= −→u et^−→OB= −→v. SoitHle projeté orthogonal deBsur la droite(OA). Choisissons pour cette droite l’orientation donnée par le vecteur^−→OA. On a alors

−

→u.−→v =OA. OH

Preuve _♥ Avec l’orientation choisie pour la droite(OA),^°°−→u°°=OA=OA. Si(→−u,−→v)est un angle aigu, alors^°°→−v°°cos(−→u,→−v)=OH et si(−→u,−→v)est un angle obtus alors^°°→−v°°cos (−→u,→−v)= −OH. Par conséquent,^°°−→v°°cos(→−u,−→v)=OHet^−→u.→−v =°°−→u°°°°→−v°°cos (→−u,−→v)= OA .OH.

2.3.3 Propriétés du produit scalaire

PROPOSITION2.11 _♥ Symétrie du produit scalaire

Le produit scalaire est symétrique : si^→−u et^−→v sont deux vecteurs deV alors ^→−u.−→v = −→v.−→u .

Preuve Il suffit d’écrire^−→u.→−v =°°−→u°°°°→−v°°cos (−→u,−→v)et^−→v.−→u=°°→−v°°°°−→u°°cos (−→v,→−u)puis d’observer que(−→u,−→v)= −(−→v,−→u)et que la fonction cosinus est paire.

PROPOSITION2.12 _♥ Bilinéarité du produit scalaire

Le produit scalaire est bilinéaire : pour tous vecteurs^−→u,⁻u^→1,⁻u^→2,^−→v,^−→v1,⁻v^→2deV et pour tous réelsλ1,λ2

−

→u.(λ1−→v1+λ2−→v2)=λ1−→u.−→v1+λ2−→u.−v→2 et (λ1−u→1+λ2−u→2).−→v =λ1−u→1.→−v +λ2−u→2.−→v

Preuve Supposons que^−→u6=0. Soient^−→ı =_k^→−u_uk etOun point deP. Soit^−→ le vecteur image de^−→ı par la rotation de centreOet d’angle ^π₂. Le triplet(O,−→ı,−→)forme un repère orthonormal directRdu plan. Dans cette base, les coordonnées de

– ^−→u sont(x,0)avecx=°°−→u°°. – ⁻v^→1sont(x1,y1)

– ⁻v^→₂sont(x₂,y₂).

– λ₁−v→1+λ₂−v→2sont(λ₁x1+λ₂x2,λ₁y1+λ₂y2). Par application de la proposition 2.10, il vient :

−

→u.(λ₁−v→₁+λ₂−v→₂)=x(λ₁x₁+λ₂x₂), −→u.−→v₁=x.x₁ et ^−→u.−v→₂=x.x₂

Ceci prouve que^→−u.(λ₁−v→₁+λ₂−v→₂)=λ₁→−u.−v→₁+λ₂−→u.−v→₂. La seconde égalité se démontre de la même façon ou en utilisant la symétrie du produit scalaire et la première égalité.

PROPOSITION2.13 _♥♥♥ Expression du produit scalaire dans une base orthonormale Soit(→−ı,−→)une base orthonormale et soient^−→u,^−→v deux vecteurs deV de coordonnées^−→u

¯¯

¯¯x y et^−→v

¯¯

¯¯x^′

y^′ dans cette base.

Alors

−

→u.→−v =xx^′+y y^′

Preuve _♥ Comme^→−u=x→−ı +y→− et^−→v =x^′−→ı +y^′→−, par bilinéarité du produit scalaire, il vient

−

→u.−→v = (x→−ı +y→−).(x^′−→ı +y^′−→)

= x−→ı.(x^′→−ı +y^′−→)+y−→.(x^′→−ı +y^′−→)

= x.x^′−→ı.→−ı +x y^′−→ı.−→ +y x^′→−.−→ı +y y^′−→−→

Comme^−→ı et^−→ sont orthogonaux, d’après la proposition 2.8, on a :^−→ı.−→ =0. Par ailleurs,^−→ı et^−→ étant unitaires, on a^→−ı.−→ı =

°°−→ı°°.°°−→ı°°=1et^−→.→− =°°−→°°.°°−→°°=1. Il vient alors que^→−u.−→v =xx^′+y y^′.

COROLLAIRE2.14 _♥ Expression de la norme d’un vecteur dans une base orthonormale Soit(−→ı,→−)une base orthonormale. Soient^−→u un vecteur de coordonnées^→−u

¯¯

¯¯x

y dans cette base. Alors

°°−→u°°= q

x²+y²

Si(O,−→ı,−→)est un repère orthonormal et queAetBsont deux points dePde coordonnéesA(xA,yA),B(xB,yB)dans ce repère alors

AB=

°°

°−→

AB

°°

°= q

(xB−xA)²+(yB−yA)²

Preuve Ces formules sont immédiates. Pour la première, on a^°°−→u°°=p→−u.−→u= q

x²+y². Pour la seconde, il suffit d’appliquer la première au vecteur^−→ABdont les coordonnées sont données par^¡x_B−x_A,y_B−y_A¢

.

2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes

PROPOSITION2.15 _♥

Un repère orthonormal(O,−→ı,−→)étant fixé, on peut identifierV etC. Si^−→u et^−→v ont pour affixes respectivesz etz^′, alors

−

→u.→−v =Re ( ¯z.z^′).

Preuve Exercice...

2.4 Déterminant

2.4.1 Définition

DÉFINITION2.13 _♥ Déterminant

Le déterminant de deux vecteurs du planV −→u et^−→v, notédet(−→u,→−v)est défini, de manière géométrique, par : (

det(−→u,−→v)=°°−→u°°°°−→v°°sin (→−u,−→v)si les deux vecteurs^−→u et^−→v sont non nuls det(−→u,−→v)=0sinon.

Remarque 2.10

– Le déterminant dépend de l’orientation choisie dans le plan. Si on avait choisie l’orientation contraire, on aurait un déterminant de signe contraire.

– Pour tout^−→u ∈V,det¡−→u,−→u¢

=0. En effet, si^→−u 6=−→0,det¡−→u,−→u¢

=°°−→u°°·°°−→u°°sin³



−

→u,→−u

´

=0et si^−→u =0le résultat est immédiat.

PROPOSITION2.16 _♥

Deux vecteurs^−→u et^→−v sont colinéaires si et seulement si det(−→u,−→v)=0 .

Preuve _♥ Si l’un des deux vecteurs^−→u ou^−→v est nul, alors la proposition est évidente. Supposons qu’aucun des deux vecteurs est nul.

⇒ Si^−→uet^−→v sont colinéaires alors^³−→u^,−→v´

=0 [π]etsin³



−

→u,−→v´

=0. Il vient alors quedet¡→−u,−→u¢

=°°→−u°°·°°−→u°°sin³



−

→u,−→u´

=0.

⇐ Réciproquement, sidet¡→−u,−→u¢

=°°→−u°°·°°→−u°°sin³

−

→u,→−u´

=0alors comme^→−uet^→−v sont non nuls, cette égalité n’est possible que sisin³

−

→u,−→u´

=0ce qui amène^³→−u^,−→v´

=0 [π]et les vecteurs^−→uet^−→v sont donc colinéaires.

Remarque 2.11 Un corollaire immédiat à cette proposition est que trois points du planA,BetC sont alignés si et seulement sidet(−→AB,−→AC)=0.

2.4.2 Interprétation en terme d’aire

A B

O H

θ

FIGURE2.7 – Interprétation en terme d’aire du déterminant

PROPOSITION2.17 _♥ Interprétation du déterminant en terme de projection

Soient^−→u et^−→v deux vecteurs deV. SoientO, A, B trois points deP tels que^−→OA= −→u et^−→OB= −→v. SoitHle projeté orthogonal deBsur la droite(OA). Choisissons pour la droite(BH)l’orientation dans le sens directement orthogonale à

−→OA. On a alors :

det(−→u,→−v)=OA.HB.

La valeur absolue de ce déterminant correspond à l’aire du parallélogramme construit selon les vecteurs^→−u et^−→v. Preuve _♥ Il est clair que^°°−→u°°=OA. Compte tenu de l’orientation choisie pour(HB), siαest la détermination de(→−u,−→v) appartenant à]−π,π]alors

– siαest positif,^°°−→v°°sin(→−u,−→v)=HB – siαest négatif,^°°−→v°°sin(→−u,−→v)= −HB.

Par conséquent^°°−→v°°sin(→−u,−→v)=HBet^−→u.−→v =°°−→u°°°°→−v°°sin(−→u,−→v)=OA .HB.

2.4.3 Propriétés du déterminant

PROPOSITION2.18 _♥ Antisymétrie du déterminant

Le déterminant est antisymétrique : si^→−u et^−→v sont deux vecteurs deV alors det(→−u,−→v)= −det(−→v,→−u) . Preuve C’est une conséquence directe du fait quesin(−→u,→−v)= −sin(→−v,−→u).

PROPOSITION2.19 _♥ Bilinéarité du déterminant

Le déterminant est bilinéaire : pour tous^→−u,⁻u^→1,⁻u^→2,^−→v,^−→v1,^−→v2deV et pour tous réelsλ1,λ2, on a

det(→−u,λ1−v→1+λ2−→v2)=λ1det(−→u,−→v1)+λ2det(−→u,−→v2) et det(λ1−u→1+λ2−u→2,−→v)=λ1det(−u→1,−→v)+λ2det(−u→2,−→v).

Preuve Supposons^→−u6=0. Soient^→−ı =_k^→−u_uketOun point deP. Soit^−→ le vecteur image de^−→ı par la rotation de centreOet d’angle

π

2. Le triplet(O,−→ı,−→)forme un repère orthonormal directRdu plan. Dans cette base, les coordonnées de : – ^−→u sont(x,0)avecx=°°−→u°°.

– ⁻v^→₁sont(x₁,y₁) – ⁻v^→2sont(x2,y2).

– λ₁−v→₁+λ₂−v→₂sont(λ₁x₁+λ₂x₂,λ₁y₁+λ₂y₂). Par application de la proposition 2.17 :

det(−→u,λ₁−v→₁+λ₂−v→₂)=x(λ₁y₁+λ₂y₂), det(→−u,−v→₁)=x.y₁ et det(−→u,−v→₂)=x.y₂.

Il vient alorsdet(−→u,λ1−v→1+λ2−v→2)=λ1det(−→u,−v→1)+λ2det(→−u,−v→2). La seconde égalité se démontre de la même façon ou en utilisant l’antisymétrie du déterminant et la première égalité.

PROPOSITION2.20 _♥♥♥ Expression du déterminant dans une base orthonormale directe Soit(−→ı ,→−)une base orthonormale directe et soient^→−u,^→−v deux vecteurs deV de coordonnées^→−u

¯¯

¯¯x y et^→−v

¯¯

¯¯x^′

y^′ dans cette base. Alors

det(→−u,−→v)=x y^′−y x^′ On notera

¯¯

¯¯ x x^′ y y^′

¯¯

¯¯le déterminantdet(→−u,−→v). On a donc

det(→−u,−→v)=

¯¯

¯¯ x x^′ y y^′

¯¯

¯¯=x y^′−x^′y

Preuve _♥ Comme^−→u=x−→ı +y−→ et^→−v =x^′−→ı +y^′−→, par bilinéarité du déterminant, on a det(−→u,−→v) = det(x−→ı +y−→,x^′−→ı +y^′→−)

= xdet(−→ı,x^′−→ı +y^′−→)+ydet(−→,x^′−→ı +y^′→−)

= x.x^′det(−→ı,→−ı)+x y^′det(−→ı,−→)+y x^′det(→−,→−ı)+y y^′det(→−,−→).

Comme la base(−→ı,−→)est orthonormale et directe,det(→−ı,−→)=1etdet(→−,−→ı)= −1. D’après la proposition 2.16,det(→−ı,−→ı)= det(→−,−→)=0. On obtient alorsdet(→−u,→−v)=x y^′−y x^′.

2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes

PROPOSITION2.21 _♥

Un repère orthonormal direct(O,→−ı,−→)étant fixé, on peut identifierV etC. Si^−→u et^−→v ont pour affixes respectiveszet z^′, alors

det(−→u,−→v)=Im( ¯z.z^′).

Preuve Exercice...

2.4.5 Application du déterminant : résolution d’un système linéaire de Cramer de deux équa-tions à deux inconnues

Soit

(S_{) :}

½ax+by=α cx+d y=β

On appelle déterminant de ce système le réelδ=ad−bc. Ce système linéaire est dit de Cramer si et seulement si son déterminantδest non nul. On a alors la proposition suivante.

PROPOSITION2.22 _♥

Si(S₎est un système de Cramer alors il admet un et un seul couple solution^¡x,y¢

donné par

x=

¯¯

¯¯ α b β d

¯¯

¯¯

ad−bc et y=

¯¯

¯¯ a α c β

¯¯

¯¯ ad−bc

Preuve

1 Prouvons l’unicité du couple^¡x,y¢

. Soient^¡x₁,y₁¢

et^¡x₂,y₂¢

deux couples solutions de(S₎. On vérifie facilement que le couple(X,Y)=¡

x₂−x₁,y₂−y₁¢

est solution du système

½ax+by=0 cx+d y=0.

Ceci prouve que dans le plan, identifié àR²par le choix d’un repère orthonormal, les vecteurs(a,b)et(c,d)sont tout deux orthogonaux au vecteur(X,Y). Mais comme

det((a,b) ,(c,d))=

¯¯

¯¯ a b c d

¯¯

¯¯=δ6=0,

les deux vecteurs(a,b)et(c,d)ne sont pas colinéaires. Le vecteur(X,Y)étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires ne peut être que nul doncX=0etY=0. Ceci prouve quex₁=x₂et quey₁=y₂et donc l’unicité du couple solution.

2 Pour prouver l’existence du couple^¡x,y¢

, il suffit de vérifier que le couple donné dans l’énoncé de la proposition est bien solution de(S₎, ce qui ne pose pas de difficulté.

Remarque 2.12 Si le déterminant du système est nul alors ce système admet soit une infinité de solutions soit aucune.

2.5 Droites

2.5.1 Préambule : Lignes de niveau

DÉFINITION2.14 _♥ Ligne de niveau

Soitαun réel. Une partieA du plan est une ligne de niveauαd’une fonctionF :P_−→RsiA est solution de l’équation F(M)=α.

M∈A _⇔F(M)=α

2.5.2 Lignes de niveau de

M7→~u.−−→AM

A

M0

−

→u

F(M) =α

AM0= |α|

||−→u||

FIGURE2.8 – Ligne de niveau deM7→~u.AM~ PROPOSITION2.23 _♥

SoientAun point deP,^→−u un vecteur non nul deV,αun réel etF :

½ P _{−→ R}

M 7−→ −→u.−−→

AM .La ligne de niveauαde F:F(M)=αest donnée par la droite dont la direction est orthogonale à^→−u et qui passe par le pointM0dePdéfini par

−−−→AM0=α. ^−→u

kuk² .

Preuve Posons^→−U= −→u/°°−→u°°et considérons^−→V un vecteur unitaire deV tel que(A,−→U ,−→V )forme une repère orthonormale directe deV. Soient(x,y)les coordonnées deMdans ce repère etαun réel. Comme^−→u¡°°−→u°°,0¢

et^−−→AM¡ x,y¢

, on a : F(M)=α =⇒ −→u.−−→

AM=α=⇒ x.°°→−u°°=α =⇒ x=°°−→^αu°°

ce qui prouve que siMest élément de la ligne de niveauF(M)=αalorsMest élément de la droite orthogonale à^→−u passant par le pointM₀tel que^−−−→AM₀=α.°°−→u^−→u°°².

Réciproquement, siMest élément de cette droite alors les coordoonées deMdans le repère(A,→−U ,−→V )sont de la forme^¡α/°°−→u°°,y¢ oùy∈Ret on vérifie facilement queF (M)= −→u.−−→

AM=α. DoncMappartient à la ligne de niveauF(M)=α.

2.5.3 Lignes de niveau de

M7→det³

~u,−−→AM´

A

M0

−

→u

−

→v

F(M) =α

AM₀= |α|

||−→u||

FIGURE2.9 – Ligne de niveau deM7→det(~u,AM)~

PROPOSITION2.24 _♥

SoientAun point deP,^−→u un vecteur non nul deV,αun réel etG :

½ P _{−→ R}

M 7−→ det(→−u,−−→AM) .La ligne de niveauαde G:G(M)=αest donnée par la droite de vecteur directeur^−→u et qui passe par le pointM0dePdéfini par ^−−−→AM0=α ^−→v

kuk²

où^−→v est le vecteur directement orthogonal à^−→u et de même norme.

Preuve Comme dans la démonstration de la proposition précédente, posons^−→U= −→u/°°−→u°°et considérons^→−V un vecteur unitaire de V tel que(A,−→

U,−→

V )forme une repère orthonormal direct deV. Soient(x,y)les coordonnées deMdans ce repère. Soitαun réel.

Comme^−→u¡°°−→u°°,0¢ et^−−→AM¡

x,y¢ , on a :

G(M)=α =⇒det(→−u,−−→AM)=α=⇒ y.°°→−u°°=α=⇒ y=_°°−→^α u°°

Donc siM(x,y)vérifie l’équationG(M)=αalors il est élément de la droite de vecteur directeur^−→u passant par le pointM₀tel que

−−−→AM0=α.°°^−→−→^Vu°°. Réciproquement, siMest élément de cette droite, alors ses coordonnées dans le repère(A,−→ U ,−→

V )sont de la forme

¡x,α/°°−→u°°¢oùx∈Ret on vérifie facilement queMest élément de la ligne de niveauG(M)=αcarG(M)=det(−→u,−−→AM)=α. Par ailleurs, si^−→v =°°−→u°°→−

V, on obtient bien^−−−→AM0=α._°°→−^−→v

u°°² et^−→v est comme indiqué dans la proposition.

2.5.4 Représentation paramétrique d’une droite

Cette représentation peut être utilisée quand on connaît un point et un vecteur directeur de la droite étudiée.

PROPOSITION2.25 _♥ Représentation paramétrique d’une droite

SoitR_(O,−→ı,−→)un repère du plan. SoitDune droite du plan passant par un pointAde coordonnées(xA,yA)dansRet dirigée par le vecteur non nul^→−u

¯¯

¯¯α

β.Dadmet comme représentation paramétrique : (x =xA+tα

y =yA+tβ;t∈R (⋆)

(Ce qui signifie queM(xM,yM)∈D⇔ ∃λ0∈R

½ xM=xA+λ0α yM=yA+λ0β ).

Preuve SiM¡ x,y¢

∈Dalors les vecteurs^−−→AMet^−→u sont colinéaires. Il existe donc un réelt tel que^−−→AM=t→−u et l’égalité des coordonnées de ces deux vecteurs se traduit par les égalités(⋆). Réciproquement, les égalités(⋆)impliquent l’égalité vectorielle

−−→AM=t−→u et le fait que le pointM∈D.

Exemple 2.6 SoitR_(O,→−ı,−→)un repère du plan. Déterminons une équation paramétrique de la droiteDpassant par le point :A (1,−2)et dirigée par le vecteur :^−→u

¯¯

¯¯3 5.

Par application du théorème précédent, une équation paramétrique deDest :

½ x=1+3tα y= −2+5tβ t∈R

2.5.5 Équation cartésienne d’une droite

Cette représentation est aussi utilisable quand on connaît un point et un vecteur directeur de la droite en question. On se remémorera au préalable ce qu’est une équation cartésienne (voir la définition 2.9 page 67).

PROPOSITION2.26 _♥♥♥ Équation cartésienne d’une droite

SoientR_(O,→−ı,−→)un repère orthonormal du plan,α,β,ctrois réels tels queαetβne sont pas tous deux nuls.

1. La droiteDpassant par le pointAde coordonnées(xA,yA)dansRet dirigée par le vecteur non nul^−→u

¯¯

¯¯−β α admet une équation cartésienne de la forme

αx+βy+c=0 .

2. Réciproquement, l’ensemble des points du plan d’équationαx+βy+c=0est une droite de vecteur directeur

−

→u

¯¯

¯¯−β α .

3. Deux telles équations représentent deux droites confondues si et seulement si elles sont proportionnelles.

Preuve

1. On pourrait démontrer cette égalité en éliminant le paramètret dans l’équation paramétrique deD. Il est plus rapide de constater que

M(x,y)∈D =⇒ det(−→u,−−→AM)=0

=⇒

¯¯

¯¯ −β x−x_A α y−y_A

¯¯

¯¯=0

=⇒ −¡

α(x−x_A))+β(y−y_A)¢

=0

=⇒ αx+βy= −(αx_A+βy_A) qui correspond à l’égalité recherchée avecc= −(αx_A+βy_A).

2. Réciproquement, siαx+βy+c=0est une équation cartésienne d’un sous ensembleA du plan et siA(x_A,y_A)est élément de ce sous-ensemble alors ses coordonnées vérifient l’équationαx+βy+c=0et, pour toutM(x,y)deA :α(x−x_A)+β(y− y_A)+c=0. Donc, pour tout pointMdeA,det(−−→

AM,→−u)=0où^−→u¡

−β,α¢

.A est donc la ligne de niveau0de l’applicationG de la proposition 2.24.A est donc, d’après cette proposition, la droite orthogonale à^−→u passant parA.

3. Considérons les deux équations cartésiennes

(1) α1x+β1y+c1=0 et (2) α2x+β2y+c2=0,

la première représente une droiteD1et la seconde une droiteD2. Si ces deux équations sont proportionnelles, alors tout point Mdont les coordonnées(x,y)vérifient l’équation(1)(_⇔M∈D₁) vérifient aussi l’équation(2)et donc est aussi élément de D2. Ceci prouve queD1=D2. Réciproquement, si une droiteDpossède deux représentations cartésiennes(1)et(2)alors,

−→u₁¡

−β₁,α₁¢ et^−→u₂¡

−β₂,α₂¢

étant deux vecteurs directeurs deD, ils sont colinéaires et il existe donck∈R^∗tel queα₂=kα₁, β₂=kβ₁. Considérons un pointA(x_A,y_A)deDet étudions les égalités

½ α₁x_A+β₁y_A+c₁=0 α2x_A+β2y_A+c2=0 , on montre quec₂=kc₁et donc que(1)et(2)sont proportionnelles.

Remarque 2.13 Une droite donnée dans un repère orthonormal possède une infinité d’équations cartésiennes propor-tionnelles.

Exemple 2.7 SoientR_(O,−→ı,−→)un repère orthonormal du plan,Dune droite passant pas le pointA (1,−1)et dirigée par le vecteur^−→u

¯¯

¯¯1

2. Calculons une équation cartésienne deDdansR. SoitM¡

x,y¢

∈P. On a :

M∈D_⇐⇒ ^−−→_AM et ^−→u sont colinéaires_⇐⇒det³−−→

AM,−→u´

=0⇐⇒

¯¯

¯¯ x−1 1 y+1 2

¯¯

¯¯=0⇐⇒2x−y−3=0

Une équation cartésienne deDest donc :2x−y−3=0

2.5.6 Droite définie par deux points distincts

Cette méthode est à utiliser pour déterminer l’équation cartésienne d’une droite quand on connaît deux points de cette droite. Soit Dune droite passant par les points AetB deP de coordonnées respectives(xA,yA)et(xB,yB)dans un repère orthonormal direct du plan. On détermine une représentation paramétrique ou une équation cartésienne deDen remarquant queDadmet^−→ABcomme vecteur directeur et en se ramenant à une des méthodes développées dans l’un des deux paragraphes précédents.

2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal

DÉFINITION2.15 _♥ Vecteur normal

SoitDune droite du plan et^−→n un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur deD.^−→n est un vecteur normal àD. La proposition qui suit permet de calculer l’équation cartésienne d’une droite quand on connaît un point et un vecteur normal de cette droite.

PROPOSITION2.27 _♥

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, on considère une droiteDd’équation cartésienneαx+βy+c=0. Alors le vecteur ^−→u¡

−β,α¢

est un vecteur directeur deDet ^→−v ¡ α,β¢

est un vecteur normal àD. Preuve _♥ Le fait que^→−u¡

−β,α¢

est un vecteur directeur deDa déjà été prouvé dans la proposition 2.26. Le vecteur^−→v¡ α,β¢

est par ailleurs clairement orthogonal à^−→uet est donc un vecteur normal àD.

PROPOSITION2.28 _♥ Équation d’une droite définie par un point et un vecteur normal Un repère orthonormal étant fixé, la droiteDpassant par le pointA(xA,yA)et de vecteur normal^→−n¡

α,β¢

a pour équation α(x−xA)+β(y−yA)=0 .

Preuve _♥ SoitM¡ x,y¢

un point du plan. Supposons queM∈Dalors^−−→AM.−→n=0, ce qui s’écrit aussiα(x−x_A)+β(y−y_A)=0. Réciproquement siMvérifie cette égalité alors le produit scalaire^−−→AM.−→n est nul et les vecteurs^−−→AMet^−→n sont orthogonaux. Le vecteur^−−→AMdirige donc la droiteD.Aétant un point de cette droite, ceci n’est possible que siM∈D.

2.5.8 Distance d’un point à une droite

M

H N

D

FIGURE2.10 – Distance d’un point à une droite

DÉFINITION2.16 _♥ Distance d’un point à une droite

SoitDune droite etMun point du plan. On appelle distance deMàDet on noted(M, D)la plus petite distance entre Met un point deD.

Remarque 2.14 Si Hest le projeté orthogonal deMsur Det siNest un point deDalors, d’après le théorème de Pythagore,

MN²=MH²+HN²ÊMH²

Le minimum de la distance entreMet un point de la droite existe, est atteint enHet vautMH.

PROPOSITION2.29 _♥

SoitR_(O,−→ı ,→−)un repère orthonormal direct du plan. SoitDune droite du plan :

• passant par un pointA(xA,yA)

• de vecteur normal^−→n

• de vecteur directeur^−→u

• et d’équation cartésienneax+by+c=0. SoitM(xM,yM)un point du plan, alors

d(M, D)=

¯¯

¯det³−−→

AM,−→u´¯¯¯

°°−→u°° =

¯¯

¯−−→

AM· −→n

¯¯

° ¯

°−→n°° =

¯¯axM+byM+c¯¯ pa²+b²

Preuve _♥ SoitHle projeté orthogonal deMsurD.

• Par application des formules de trigonométrie dans le triangleAHMrectangle enH, on a

d(M,D)=HM=AM

¯¯

¯¯sin µ−−→à

AM,−→u¶¯¯¯¯=

°°

°−−→AM°°°°°→−u°°¯¯¯¯sin

µ−−→AM,à−→u¶¯¯¯¯

°°→−u°° =

¯¯

¯det³−−→AM,→−u´¯¯¯

°°−→u°°

• Par ailleurs, toujours par utilisation de la trigonométrie dans le triangleAHM, on a aussi

d(M,D)=HM=AM

¯¯

¯¯cos

µ−−→AM,à−→n¶¯¯¯¯=

°°

°−−→

AM°°°°°−→n°°¯¯¯¯cos µ−−→à

AM,→−n¶¯¯¯¯

°°−→n°° =

¯¯

¯−−→AM· −→n¯¯¯

°°−→n°°

• Enfin, prenant pour^−→n le vecteur normal àDde coordonnées(a,b), on a

d(M,D)=

¯¯

¯−−→AM· −→n¯¯¯

°°→−n°° =

¯¯a(x_M−x_A)+b¡

y_M−y_A¢¯¯

pa²+b² =

¯¯ax_M+by_M−¡

ax_A+by_A¢¯¯

pa²+b² =

¯¯ax_M+by_M+c¯¯ pa²+b²

carA∈Det doncaxA+byA+c=0.

2.5.9 Équation normale d’une droite

DÉFINITION2.17 _♥ Équation normale d’une droite

αx+βy=cest une équation normale d’une droite siα²+β²=1.

O

H p

− θ

→n

cosθx + sinθy = p

FIGURE2.11 – Équation normale d’une droite

PROPOSITION2.30 _♥

SoitR_(O,→−ı,−→)un repère orthonormal du plan. Pour toute droiteDdu plan, il existe des réelsθetptel quexcosθ+ ysinθ=psoit une équation normale deDdansR.

Preuve Soitax+by=cune équation cartésienne deD. Alors

p a

a²+b²x+p ^b

a²+b²x=p ^c a²+b²

est une équation proportionnelle à notre première équation et est donc une autre représentation cartésienne deDdansR. Comme µ a

pa²+b²

¶2 +

µ b pa²+b²

¶2

=1, il existe ( défini modulo2π)θ∈Rtel que

cosθ=p ^a

a²+b² etsinθ=p ^b a²+b². Posonsp=^{p c}

a²+b². Une équation deDest doncxcosθ+ysinθ=pet cette équation est, par construction, normale.

Remarque 2.15

– Sixcosθ+ysinθ=pest une équation normale d’une droiteDdans un repère orthonormalR, la seule autre équation normale deDdansRestxcos(θ+π)+ysin(θ+π)= −p

– Interprétation géométrique deθetp: SoitDune droite du plan rapporté à un repère orthonormal directR_(O,−→ı ,−→). On suppose queDne passe pas par l’origine de ce repère. SoitHle projeté orthogonal deOsurDet soitxcosθ+ ysinθ=pune équation normale deD. Le vecteur^−→n

¯¯

¯¯cosθ

sinθ est un vecteur normal àD. Par conséquent, il est colinéaire au vecteur^−−→OH. Donc

µ−→àı,−−→OH

¶

=θ[π]. De plus,

d(O, D)=

¯¯0×cosθ+0×sinθ−p¯¯ pcos²θ+sin²θ =¯¯p¯¯

et donc^¯¯p¯¯=d(O, D).

– En corollaire à cette dernière remarque, sixcosθ+ysinθ=pest une équation normale deDet siMest un point du plan alorsd(M, D)= |xcosθ+ysinθ−p|.

2.5.10 Équation polaire d’une droite

Dans tout ce paragraphe, on considère un repère othonormal directR_(O,^−→_ı,^−→_)et un repère polaireR_θ^¡_O,^−→_u(θ),^−→_v(θ)^¢. PROPOSITION2.31 _♥ Équation polaire d’une droite passant par le pôle

Une droiteDpassant par le pôleOdu repère polaireR_θa une équation polaire du type θ=θ0[π]

oùθ0est un réel. Ceci signifie que si le pointMest représenté par le couple de coordonnées(rM,θM)dansR_θalorsM est élément deDsi et seulement siθM=θ0.

Réciproquement, une telle équation est celle d’une droite passant par le pôleOdeR_θ.

Preuve Soit^→−u un vecteur directeur deD. Soitθ₀une mesure de l’angle(→−ı,−→u).Mest élément deDsi et seulement si il existe α∈Rtel que^−−→OM=t−→u, c’est à dire si et seulement si(|t|,θ₀)ou(|t|,θ₀+π)forme un système de coordonnées polaires deM. L’équationθ=θ₀[π]définie donc bien une équation polaire passant parOet dirigée par^−→u.

PROPOSITION2.32 _♥ Équation polaire d’une droite ne passant pas par le pôle

Une droiteDne passant pas par le pôleOdu repère polaireR_θadmet une équation polaire du type

r= p

cos (θ−θ0)

oùp=d(O, D)et oùθ0= µ→−àı,−−→OH

¶

[2π],Hétant le projeté orthogonal deOsurD.

Réciproquement, une telle équation est celle d’une droite ne passant pas par le pôleOdeR_θ.

Preuve On utilise une équation normale de la droiteDet son interprétation géométrique. Comme la droiteDne passe pas par l’origine, elle admet une équation normale de la formexcosθ₀+ysinθ₀=poùθ₀∈Ret oùp6=0. Quitte à changerθ₀enθ₀+π, on peut même supposer quep>0. Si(r,θ)est un système de coordonnées polaires pour un pointMdu plan, alors les coordonnées de

Preuve On utilise une équation normale de la droiteDet son interprétation géométrique. Comme la droiteDne passe pas par l’origine, elle admet une équation normale de la formexcosθ₀+ysinθ₀=poùθ₀∈Ret oùp6=0. Quitte à changerθ₀enθ₀+π, on peut même supposer quep>0. Si(r,θ)est un système de coordonnées polaires pour un pointMdu plan, alors les coordonnées de

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