Géométrie élémentaire de l’espace
3.6 Plans dans l’espace
3.6.1 Représentation paramétrique des plans
PROPOSITION3.30 ♥♥♥ Équation paramétrique d’un plan SoitR³O,−→i ,→−j,−→k´un repère de l’espaceE. Soient :A¡
xA,yA,zA¢
∈E,−→u¡
x−→u,y−→u,z−→u
¢et→−v¡
x−→v,y→−v,z−→v
¢deux vecteurs deV. SoientM¡
x,y,z¢
un point de l’espace etPle plan affine passant parAet engendré par−→u et−→v. On a équivalence entre :
1 Mest élément deP
2 il existe¡α,β¢
∈R2tel que−−→AM=α−→u+β−→v.
3 il existe¡α,β¢
∈R2tel que :
x=xA+αx−→u +βx−→v
y=yA+αy−→u +βy−→v
z=zA+αz−→u+βz→−v
Le système
x=xA+αx−→u+βx−→v
y=yA+αy−→u+βy−→v
z=zA+αz−→u+βz→−v
est une équation paramétrique deP. Preuve SoitM¡
x,y,z¢
un point de l’espace. Supposons queMest élément du planP alors le vecteur−−→AMest combinaison linéaire des vecteurs→−uet→−v. Autrement dit, il existe des scalairesα,β∈Rtels que−−→AM=α−→u+β−→v. En récrivant cette égalité avec des coordonnées, on obtient
x=xA+αx−→u+βx→−v y=yA+αy−→u+βy−→v z=zA+αz−→u+βz−→v
. Réciproquement, si les coordonnées du pointM¡
x,y,z¢
vérifient le système précédentes, on montre que−−→AM=α→−u+β→−v et donc queM∈P.
3.6.2 Représentation cartésienne
Pour tout ce paragraphe, on fixe un repère orthonormal directR³O,→−i ,−→j,→−k´de l’espaceE. PROPOSITION3.31 ♥
SoitP un plan affine deE SoitAun point deP et¡−→u,−→v¢
un couple de vecteurs engendrantP. On a équivalence entre :
1 le pointMest élément deP.
2 le produit mixtedet³−−→
AM,−→u,−→v´ est nul.
Preuve ♥ SiM∈P alors−−→AMest combinaison linéaire de→−u et−→v et les vecteurs−−→AM,−→u,−→v sont coplanaires. On a alors nécessairementdet³−−→
AM,−→u,−→v´
=0. Réciproquement, sidet³−−→
AM,−→u,−→v´
=0alors les vecteurs−−→AM,−→u,→−v sont coplanaires ce qui n’est possible que si le pointMest dans le même plan que celui passant parAet engendré par−→u,−→v, c’est à direP(car−→uet−→v ne sont pas colinéaires par hypothèse).
COROLLAIRE3.32
trois points non alignés de l’espaceE. AlorsM¡ x,y,z¢
Preuve Il suffit d’appliquer la proposition précédente à−→u=−→
ABet→−v =−→
ACet d’exprimer le produit mixte avec les coordonnées de ces vecteurs.
PROPOSITION3.33 ♥♥♥ Équation cartésienne d’un plan
• SoitP un plan affine passant par un pointA¡
xA,yA,zA
¢ de l’espaceE et admettant le vecteur−→n(a,b,c)comme vecteur normal alors une équation cartésienne dePest
a(x−xA)+b¡ y−yA¢
+c(z−zA)=0
• Réciproquement, l’ensemble des pointsM¡ x,y,z¢
vérifiant l’équationax+by+cz=doùa,b,c,dsont des réels et oùa,b,cne sont pas tous nuls est un plan affine de vecteur normal −→n(a,b,c) .
Preuve
• Mest élément dePsi et seulement si−−→AMet−→nsont orthogonaux et donc si et seulement si−−→AM.−→n=0. Exprimant cette dernière égalité avec les coordonnées des vecteurs considérés, on retrouve la formule proposée.
• Sia6=0, posonsA³
DÉFINITION3.19 ♥ Équation normale d’un plan
SoitPun plan affine d’équationax+by+cz=d. Comme dit plus haut, le vecteur−→n(a,b,c)est un vecteur normal à P. Si ce vecteur est de plus unitaire, c’est à dire si
°°→−n°°2=a2+b2+c2=1
alors l’équationax+by+cz=dest appélée équation normale deP.
Interprétation géométrique de l’équation normale
SoitPun plan etHle projeté orthogonal de l’origineOdeRsurP. Posons :→−u =°°°−−→OH−−→OH°
°°. Considérons les3angles non orientés :
Cette dernière égalité forme une équation normale deP.
Position relative de deux plans
L’espace est ici encore rapporté à un repère orthonormal directR³O,−→i ,→−j,−→k´. DÉFINITION3.20 ♥ Plans parallèles
Deux plans de l’espace sont parallèles si et seulement si ils admettent un vecteur normal non nul commun.
DÉFINITION3.21 ♥ Plans perpendiculaires
Deux plans de l’espace sont perpendiculaires si et seulement si ils admettent des vecteurs normaux non nuls orthogo-naux.
PROPOSITION3.34 ♥ Caractérisation de la perpendicularité ou du parallèlisme de deux plans à partir de leurs équations cartésiennes respectives
SoientPetP′deux plans d’équations cartésiennes respectives
ax+by+cz=d et a′x+b′y+c′z=d′. Les vecteurs−→n(a,b,c)et−→n′¡
a′,b′,c′¢
sont donc, respectivement, des vecteurs normaux àPet àP′.
1 Les plansPetP′sont parallèles si et seulement si il existe un réelλ6=0tel que a′=λa, b′=λb et c′=λc
2 Les plansPetP′sont confondues si et seulement si il existe un réelλ6=0tel que a′=λa, b′=λb, c′=λc et d′=λd 3 Les plansPetP′sont perpendiculaires si et seulement si
aa′+bb′+cc′=0
Preuve ♥
1 P etP′ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ce qui est se traduit en termes de coordonnées par les3égalités ci dessus.
2 PetP′sont confondues si et seulement si, à la fois, ils sont parallèles et si ils ont un point communA¡
xA,yA,zA¢ . D’après le point précédent, ceci est équivalent à
a′=λa, b′=λb, c′=λc et axA+byA+czA−d=a′xA+b′yA+c′zA−d′=0 On obtient alors
(λa−a)xA+(λb−b)yA+(λc−c)zA−d+d′=0 ou encore
(λ−1)¡
axA+byA+czA¢
−d+d′=0 Et commeAest élément deP, on a aussi
(λ−1)d−d+d′=0 Ce qui prouve qued′=λd
3 Les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si−→n.−→n′=0, de quoi découle l’égalité à prouver quand on la transcrit en coordonnées.
PROPOSITION3.35 ♥
SoientP etP′ deux plans de l’espace de vecteurs normaux respectifs−→n et−→n′. SiP etP′sont sécants alors leur intersection est une droite de vecteur directeur→−n∧ −→n′.
Preuve ♥ SoitAun point de l’ intersection des deux plansPetP′.
Si le pointMest élément deP∩P′ alors−−→AMest orthogonal à−→n et à→−n′. Par conséquent,−−→AMest colinéaire à−→n∧ −→n′ etM appartient à la droite passant parAdirigée par−→n∧ −→n′.
Réciproquement, supposons queMappartient à la droite passant parAdirigée par→−n∧ −→n′, alors le vecteur−−→AMest orthogonal à→−n et à→−n′. CommeAest élément des plansPetP′, nécessairementMest élément dePetP′et donc deP∩P′.
3.6.3 Distance d’un point à un plan
FIGURE3.6 – Plans sécants dans l’espace
PROPOSITION3.36 ♥ Distance d’un point à un plan
SoitPun plan affine de vecteur normal→−n. SoitMun point de l’espace etHson projeté orthogonal surP. On appelle distance du pointMau planP la distanceMH. On la note :d(M,P). C’est la plus petite distance du pointMà un pointAdeP:
∀A∈P, d(M,P)=HMÉAM.
Preuve ♥ SoitA∈P. Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangleAHMpermet d’écrireAH2+HA2=AM2. Comme HA2Ê0, on aMH2ÉAM2et doncMHÉMA.
M
H
A
FIGURE3.7 – Distance d’un point à un plan
Remarque 3.16 Hest l’unique point dePtel que les vecteurs−−→MHet−→n sont colinéaires.
Deux méthodes de calcul de la distance d’un point à un plan
THÉORÈME3.37 ♥ Quand le plan est donné par un point et deux vecteurs directeurs
SoitP un plan défini passant par un pointA, engendré par les vecteurs−→u et−→v et de vecteur normal→−n. SoitMun point de l’espace. On a
d(A,P)=
¯¯
¯→−n·−−→AM¯¯¯
°°−→n°
° =
¯¯
¯¡→−u ∧ −→v¢
·−−→AM¯¯¯
°°−→u∧ −→v°
° =
¯¯
¯det³
−
→u,−→v,−−→AM´¯¯¯
°°−→u∧ −→v°
°
Preuve ♥♥ SoitHle projeté orthogonal deMsurP. Plaçons nous dans le plan défini par les pointsA,HetM. Soitθune mesure de l’angle non orienté³−→n,−−→
MA´
. On aMH=AM· |cosθ|. Par ailleurs
MH=AM· |cosθ| =
°°→−n°°°°°−−→AM°°°|cosθ|
°°→−n°° =
¯¯
¯→−n·−−→AM¯¯¯
°°−→n°°
ce qui prouve la première formule. Pour la seconde, il suffit d’appliquer la première avec−→n= −→u∧−→v qui est bien un vecteur normal àP. Enfin, par définition, on sait que¡−→u∧ −→v¢
·−−→AM=det³−→u,−→v,−−→AM´
THÉORÈME3.38 ♥ Quand le plan est donné par une équation cartésienne
On rapporte le plan à un repère orthornormalR. SoientP un plan d’équation cartésienneax+by+cz+d=0et M¡
xM,yM,zM
¢un point de l’espace. On a
d(M,P)=
¯¯axM+byM+czM+d¯¯ pa2+b2+c2
Preuve ♥ Au regard de l’équation cartésienne dePle vecteur−→n(a,b,c)est normal pourP. On considère un pointA¡
xA,yA,zA¢
∈ P. En utilisant la formule précédente, on obtient
d(M,P) =
¯¯
¯−→n·−−→
AM¯¯¯
°°→−n°°
=
¯¯a(xM−xA)+b¡ yM−yA¢
+c(zM−zA)¯¯ pa2+b2+c2
=
¯¯axM+byM+czM−¡
axA+byA+czA¢¯¯
pa2+b2+c2
=
¯¯axM+byM+czM+d¯¯ pa2+b2+c2 car commeAest élément deP, on aaxA+byA+czA= −d.