Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

4.1.1 Logarithme népérien

Nous verrons au chapitre 13 dans le théorème 13.30 page 525 que toute fonction continue sur un intervalleIdeRpossède une primitive sur cet intervalle (voir 13.30). La fonction x7→1

x définie surR^∗₊ admet donc une primitive surR^∗₊. On pourrait montrer, mais c’est difficile, que l’on ne peut exprimer cette primitive avec des fonctions usuelles (fonctions polynômiales, fractions rationnelles, fonctions trigonométriques). Il faut donc introduire une nouvelle fonction.

DÉFINITION4.1 _♥ Logarithme népérien

On appelle logarithme népérien et on notelnl’unique primitive s’annulant en1de la fonction définie surR^∗₊:x7→1 x.

ln :





R^∗₊ −→ R x 7−→

Zx 1

dt t

Remarque 4.1 l n(1)=0

THÉORÈME4.4 _♥ Propriétés de la fonctionln – La fonctionlnest continue surR^∗₊.

– La fonctionlnest dérivable surR^∗₊et _∀x∈R^∗₊, ln^′x=1 x .

– La fonctionlnest mêmeC^∞surR^∗₊, ce qui signifie qu’elle est dérivable et que toutes ses dérivées sont dérivables.

– La fonctionlnest concave surR^∗₊

Preuve Les primitives d’une fonction sont, par définition, dérivables. La fonctionlnest donc dérivable surR^∗₊. Une fonction est continue là où elle est dérivable (voir la proposition 12.2 page 465). Donclnest dérivable et par suite continue surR^∗₊. Sa dérivée, qui est la fonctionf :R^∗₊→R,x7→1/xestC^∞donc il en est de même deln. Comme la dérivéef delnest une fonction strictement positive,lnest strictement croissante surR^∗₊. Enfin, pour toutx∈R^∗₊, f^′′(x)= −1/x²est strictement négative surR^∗₊donclnest concave. Vous pouvez consulter le paragraphe 12.6 page 475 qui traite de ce sujet.

COROLLAIRE4.5

SoientIest un intervalle deRetu: I−→R^∗₊une fonction dérivable. La fonctionx7→ln(u(x))est dérivable surIde dérivée, pour toutx∈I: (lnu)^′(x)=u^′(x)

u(x)

Preuve C’est une conséquence directe du théorème de composition des fonctions dérivables.

PROPOSITION4.6 _♥ Propriétés algébriques du logarithme Pour toutx,y∈R^∗₊etn∈Z

1 ln¡ x y¢

=lnx+lny

2 ln µ1

x

¶

= −lnx

3 ln µx

y

¶

=lnx−lny

4 ln (xⁿ)=nlnx

Preuve _♥

1 La méthode pour prouver cette égalité est classique, il faut la retenir. Fixonsy∈R^∗₊et notonsθyla fonction θ_y:

½ R^∗₊ −→ R x 7−→ ln¡

x y¢

−lnx−lny .

Cette fonction est dérivable surR^∗₊comme composée et différence de fonctions dérivables. De plus,

∀x∈R^∗₊, θ^′_y(x)= y

2 Soitx∈R^∗₊. Par application de la proposition précédente, on a les égalités 0=ln 1=ln³x

3 Soientx,y∈R^∗₊, par application des deux dernières égalités ln

PROPOSITION4.7 _♥ Limites aux bornes du domaine de définition lnx−−−→_x

→0 −∞ et lnx−−−−−→_x→+∞ +∞

Preuve _♥

– La fonctionl nest strictement croissante etln 1=0, doncln 2>0. D’après la dernière égalité de la proposition précédente, pour toutn∈N, on peut écrireln¡

2ⁿ¢

=nln 2. On en déduit queln¡ 2ⁿ¢

−−−−−→_n

→+∞ +∞. La fonctionlnn’est donc pas majorée. Comme elle est strictement croissante, on peut affirmer, par application du théorème de la limite monotone 11.25, quelnx−−−−−→_x

→+∞ +∞. – Par application du théorème d’opérations sur les limites et par utilisation de la limite précédente,

lnx= −ln1 x−−−−→

x→0⁺ −∞. DÉFINITION4.2 Nombre de Néper

On appelle nombre de Néper l’unique réelevérifiantlne=1.

Preuve L’existence du nombre de Néper est une conséquence du théorème des valeurs intermédiares qui sera vu dans le chapitre 12. L’unicité est une conséquence directe de la stricte monotonie deln.

PROPOSITION4.8 _♥ Limites usuelles pourln

• «lnxest négligeable devantxquandxtend vers _{+ ∞}» : ^lnx

px ce qui amène, par application du théorème des gendarmes 11.19, ^lnx x −−−−−→

x→+∞ 0. – Par ailleurs :X ln X======= −^x=1/X lnx

x −−−−−→

X→+∞ 0. PROPOSITION4.9 _♥ Limites usuelles pourln

• « La fonctionl nest dérivable en1etln^′1=1» ^{ln (x)} x−1−−−→

x→1 1 .

• Cette limite s’écrit aussi sous la forme ^{ln (1+x)} x −−−→_x

→0 1 .

Preuve

– Le taux d’accroissement delnen1est donné par :

∀x∈R^∗₊\ {1} , ∆(x)=lnx−ln 1 x−1 = lnx

x−1. Commelnest dérivable enx=1et queln^′1=1

1=1, on a bien lim

x→0∆(x)=1.

– La seconde égalité se prouve grâce à un changement de variable :^ln(x) x−1

X=x−1

=======ln (1+X)

X −−−→

X→0 1 PROPOSITION4.10 _♥ Inégalité de convexité

∀x∈]−1,+∞[ , ln (1+x)Éx

Preuve _♥ Il suffit d’étudier le signe de la fonctionθ:

½ ]−1,+∞[ −→ R

x 7−→ ln (1+x)−x

0 1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5

0 e

x7−→ln(x) x7−→x+1

FIGURE4.1 – Logarithme néperien Remarque 4.2 La tangente en(e, 1)passe par l’origine du repère.

4.1.2 Exponentielle népérienne

PROPOSITION4.11 _♥ Exponentielle népérienne

La fonctionlndéfinie une bijection deR^∗₊sur son imageR. L’application réciproque est appelée fonction exponentielle népérienne et est notéeexp.

exp :

½ R −→ R^∗₊ y 7−→ expy

∀x∈R^∗₊, exp(lnx)=x

∀y∈R, ln¡ expy¢

=y

La fonctionexp

– est strictement croissante et strictement positive.

– est continueR.

– est dérivable surRet_∀x∈R, exp^′(x)=exp (x) .

– est de classeC^∞surR.

x −∞ 0 +∞

exp

0 %¹%^+∞

Preuve _♥ Posonsf=ln. La fonctionf est :

H1 dérivable surR^∗₊.

H2 de dérivée strictement positive surR^∗₊ H3 donc strictement croissante surR^∗₊

Par application du théorème de la bijection 4.2, on peut affirmer quef est bijective et que sa bijection réciproquef⁻¹est dérivable surRet à valeurs dansR^∗₊. De plus siy₀∈R

f^′−1¡ y₀¢

= 1

f^′¡ f⁻¹¡

y₀¢¢= 1 1 f⁻¹¡

y0¢

=f⁻¹¡ y₀¢

Notonsexpla fonctionf⁻¹, nous venons de montrer queexp^′¡ y0¢

=exp¡ y0¢

. Il est alors clair queexpestC^∞surR. De plus, commelnx−−−−→

x→0⁺ −∞, on aexpx−−−−−→_x

→−∞ 0et commelnx−−−−−→

x→+∞ +∞, on aexpx−−−−−→

x→+∞ +∞. Remarque 4.3 exp 0=1etexp 1=e

PROPOSITION4.12 _♥ Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Pour toutx,y∈Retn∈Z

1 exp¡ x+y¢

=exp (x) exp¡ y¢

2 exp (−x)= 1 expx

3 exp¡ x−y¢

=exp (x) exp¡

y¢

4 exp (nx)=¡

exp (x)¢n

Preuve _♥ Démontrons la première affirmation. Les autres se prouvent de même. Soientx,y∈R. Commeexpest la bijection réciproque deln, il existex^′,y^′∈R^∗₊tels queln¡

x^′¢

=xetln¡ y^′¢

=y. On peut alors écrire exp¡

x+y¢

=exp¡

lnx^′+lny^′¢

=exp¡ ln¡

x^′y^′¢¢

=x^′y^′=exp (x) exp¡ y^′¢

.

✎ Notation 4.1 D’après la formule 4,exp(n)=exp(1.n)=eⁿ, on conviendra de noter pour toutx∈R,e^x=exp(x). PROPOSITION4.13 1

∀x∈R, expxÊ1+x

Preuve _♥ Il suffit d’étudier le signe de la fonction θ:

½ R −→ R

x 7−→ expx−(x+1) PROPOSITION4.14 _♥ Limites usuelles pourexp

• «expxest prépondérant devantxquandxtend vers_+∞» : ^expx x −−−−−→_x

→+∞ +∞ .

• «expxest négligeable devant ¹

x quandxtend vers_−∞» : xexpx−−−−−→_x→−∞ 0 .

• «expxest dérivable enx=0de dérivée égale à1» : ^expx−1 x −−−→_x

→0 1 .

Preuve _♥

– Comme^expx_{x =======}^{x=ln X} _{ln X}^X _{= ln X}¹

X

, il vient lim x→+∞

expx x = lim

X→0⁺ 1 ln X

X

= +∞. – La seconde limite se démontre de la même façon.

– Ecrivons le taux d’accroissement∆deexpen0. Pour toutx∈R^∗

∆(x)=expx−exp 0

x−0 =expx−1

x .

Commeexpest dérivable en0et queexp^′(0)=exp (0)=1,∆(x)−−−→

x→0 1et la dernière limite est prouvée.

1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4 0

e

x7−→ln(x) x7−→x+1 x7−→exp(x)

FIGURE4.2 – Exponentielle et Logarithme néperien

4.1.3 Logarithme de base quelconque

DÉFINITION4.3 Logarithme de basea

Soita un réel strictement positif et différent de1:a∈R^∗₊\ {1}. On appelle logarithme de base al’application notée log_adéfinie par

log_ax:





R^∗₊ −→ R x 7−→ lnx

lna

Remarque 4.4

– Sia=10, on obtient le logarithme décimal qu’on notel og. – Sia=e,log_a=ln.

– log_a1=0etlog_aa=1. PROPOSITION4.15

Soienta∈R^∗₊\ {1},x,y∈R^∗₊etn∈Z..

1 log_a¡ x y¢

=log_ax+log_ay 2 log_a

µ1 x

¶

= −log_ax

3 log_a µx

y

¶

=log_ax−log_ay 4 log_axⁿ=nlog_ax

Preuve Ces différentes égalités se démontrent en revenant à la définition delog_a et en utilisant les propriétés du logarithme néperien.

PROPOSITION4.16

Pour touta∈R^∗₊\ {1}, la fonctionlog_aest de classeC^∞surR^∗₊et

∀x∈R^∗₊ log^′_a(x)= 1 xlna – Sia∈]1;+∞[,log_aest strictement croissante et concave.

– Sia∈]0; 1[,log_aest strictement décroissante et convexe.

Preuve Soita∈R^∗₊\ {1}. La fonctionlog_aest de classeC^∞surR^∗₊comme quotient de fonctionsC^∞surR^∗₊. De plus, pour tout x∈R^∗₊,log^′_a(x)=1/ (xlna) et log^′′_a(x)= −1/¡

x²lna¢ .

– Si a∈]1;+∞[, alorslna>0,log^′_a est donc strictement positive etlog^′′_a est strictement négative. Donclog_a est strictement croissante et concave.

– Sia∈]0;1[, alorslna<0,log^′_aest donc strictement négative etlog^′′_aest strictement positive. Donclog_aest strictement décrois-sante et convexe.

4.1.4 Exponentielle de base

a PROPOSITION4.17 Exponentielle de basea

Soita∈R^∗₊\ {1}. La fonctionlog_a définie une bijection deR^∗₊surR. On appelle exponentielle de baseaet on note exp_a, la fonction définie deRdansR^∗₊comme application réciproque delog_a.

∀x∈R^∗₊, exp_a(lnax)=x

∀y∈R, lna

¡exp_ay¢

=y De plus,exp^′_aestC^∞surRet

∀x∈R, exp^′_a(x)=lnaexp_a(x)

Preuve Soita∈R^∗₊\ {1}. Posonsf =log_a. La fonctionf H1 est dérivable surR^∗₊.

H2 possède une dérivée surR^∗₊strictement positive sia∈]1;+∞[et strictement négative sia∈]0;1[

H3 et est donc strictement croissante surR^∗₊sia∈]1;+∞[et strictement décroissante surR^∗₊sia∈]0;1[.

Par application du théorème de la bijection 4.2, on peut affirmer que f possède une bijection réciproquef⁻¹dérivable surRet à valeurs dansR^∗₊. De plus siy₀∈R

f^′−1¡ y0¢

= 1

f^′¡ f⁻¹¡

y0¢¢= 1 1 lna f⁻¹¡

y₀¢

=lna f⁻¹¡ y0¢

.

Notantexp_ala fonctionf⁻¹, on vient de montrer que :exp^′_a¡ y₀¢

=lnaexp_a¡ y₀¢

. Il est alors clair queexp_aest de classeC^∞sur R.

PROPOSITION4.18 Soita∈R^∗₊\ {1}. On a

∀y∈R, exp_a(y)=exp(yln(a)) .

Preuve Soity∈R. Posons x=exp_a¡ y¢

. On a log_a(x)=y ou encore ^lnx

lna =y ce qui donne lnx=ylna et en passant à l’exponentiellex=exp¡

ylna¢

. On a bien prouvé queexp_a(y)=exp(yln(a)) PROPOSITION4.19

Pour touta∈R^∗₊\ {1},x,y∈Retn∈Z:

1 exp_a0=1etexp_a1=a 2 exp_a¡

x+y¢

=exp_a(x) exp_a¡ y¢ 3 exp_a¡

x−y¢

=exp_a(x) exp_a¡

y¢

4 exp_a(nx)=¡

exp_ax¢n 5 exp_axexp_bx=exp_abx 6 exp_ax

exp_bx=exp^a

bx

Preuve Il suffit d’appliquer la formule précédente et les propriétés des fonctions logaritme et exponentielle.

✎ Notation 4.2 S’inspirant de la dernière égalité de la propriété précédente, sia∈R^∗₊\ {1}et six∈R, on notera a^x=exp_a(x)=exp (xlna) .

Remarque 4.5

– On retrouve la notation précédenteexpx=e^x. – Remarquons aussi que1^x=exp (xln 1)=1.

Avec ces notations, la propriété précédente devient : PROPOSITION4.20 _♥

Pour touta,b∈R^∗₊x,y∈Retn∈Z:

1 a⁰=1eta¹=a 2 a^x+y=a^xa^y 3 a^x−y=a^x

a^y

4 a^nx=(a^x)ⁿ 5 (ab)^x=a^xb^x 6

³a b

´x

=a^x b^x

1 2 3 4

−1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 0

x7−→a^x 0<a<1 x7−→a^x 1<a FIGURE4.3 – Exponentielles de basea

4.1.5 Fonctions puissances

DÉFINITION4.4 _♥ Fonction puissance

Soita∈R. On appelle fonction puissance d’exposantala fonction définie surR^∗₊par ϕa:

½ R^∗₊ −→ R

x 7−→ x^a=exp(alnx)

Remarque 4.6

– ϕ0est la fonction constante égale à1. – ϕ1=Id. algébriques

PROPOSITION4.21 _♥ Propriétés algébriques des fonctions puissances Pour touta,b∈R,x,y∈R^∗₊

1 x^a+b=x^ax^b 2 x^−a= 1

x^a 3 ¡

x y¢a

=x^ay^a

4 (x^a)^b=x^ab 5 x⁰=1 6 1^a=1 7 ln (x^a)=alnx

Preuve C’est une conséquence directe de la définition et des propriétés des fonctions logarithme et exponentielle.

PROPOSITION4.22 _♥ Soita∈R. La fonctionϕa:

½ R^∗₊ −→ R^∗₊ x 7−→ x^a est – continueR^∗₊.

– dérivable surR^∗₊et_∀x∈R^∗₊, ϕ^′_a(x)=ax^a−1. – de classeC^∞surR^∗₊.

De plus,

– si a > 0, ϕa est croissante, ϕa(x) −−−−→

x→0⁺ 0 et ϕa(x)−−−−−→_x→+∞ +∞.

x 0 1 +∞

ϕa

0%¹%^+∞

– Sia=0,ϕa:x→x⁰=1est constante.

– Si a < 0, ϕa est décroissante, ϕa(x) −−−−→

x→0⁺ +∞ et ϕa(x)−−−−−→_x→+∞ +∞.

x 0 1 +∞

ϕa

+∞&1

& 0

– Sia>1ou sia<0,ϕa est convexe et si0<a<1,ϕa

est concave.

Preuve ϕ_aest de classeC^∞surR^∗₊comme composée de fonctionsC^∞. De plus, par application du théorème de dérivation des fonctions composées, pour toutx∈R^∗₊

ϕ^′_a(x)=a

xexp (alnx)=ax⁻¹x^a=ax^a−1.

Compte tenu du signe de cette dérivée, qui est donné par celui dea, on en déduit les variations deϕ_a. Calculons la limite deϕ_aen +∞. On sait que pour toutx∈R^∗₊,x^a=exp (alnx). De plus :lnx−−−−−→

x→+∞ +∞. – Sia>0,alnx−−−−−→

x→+∞ +∞et par composition de limite :x^a=exp (alnx)−−−−−→

x→+∞ +∞. – Sia=0,0=alnx−−−−−→

x→+∞ 0et :x^a=x⁰=1−−−−−→

x→+∞ 1. – Sia<0,alnx−−−−−→_x

→+∞ −∞et par composition de limite :x^a=exp (alnx)−−−−−→_x

→+∞ 0. La limite en0se calcule de même.

Remarque 4.7

– Sia>0, on peut prolongerϕapar continuité en0en posantϕa(0)=0. – Sia>1,ϕaest même dérivable en0:ϕ^′_a(0)=0.

– Si0<a<1,ϕ^′_a(x)−−−→

x→0 +∞et le graphe deϕapossède une tangente verticale à l’origine.

0 1 2 3 4 5

−1

1 2 3 4 5

O

x7−→x³ x7−→x x7−→x^1/3 x7−→x⁰ x7−→x⁻¹

FIGURE4.4 – Fonctions puissances

B Attention 4.3 Pour dériver une fonction de la formew(x)=u(x)^v(x)( là où elle est définie et dérivable...), il faut au préalable la mettre sous la forme w(x)= exp(v(x) ln(u(x)))puis utiliser la formule de dérivation des fonctions

composées. A titre d’exercice, on montrera que :

4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

PROPOSITION4.23 _♥♥♥

par composition de limite et par utilisation de la limite usuelle ^{ln X} X −−−−−→

Preuve La démonstration est identique à la précédente.

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