Géométrie élémentaire de l’espace
3.2 Mode de repérage dans l’espace
3.2.1 Coordonnées cartésiennes
Définitions
DÉFINITION3.9 ♥ Repère de l’espace
On dit que le quadrupletR¡O,−→u,−→v,−→w¢∈E×V3est un repère de l’espaceE si et seulement si¡−→u,−→v,→−w¢
est une base deV.Oest appelé origine du repèreR.
• Le repèreRest dit orthogonal si et seulement si la base¡−→u,−→v,−→w¢
est orthogonale.
• Le repèreRest dit orthonormal si et seulement si la base¡−→u,→−v,−→w¢
est orthonormale.
PROPOSITION3.2 ♥ Coordonnées d’un point dans un repère cartésien
Soit R³O,−→i ,→−j,−→k´un repère cartésien de l’espace. Soit M∈E un point de l’espace. Il existe un unique triplet
¡α,β,γ¢
∈R3tel que−−→OM=α−→ i +β−→
j +γ−→
k. Ce triplet s’appelle les coordonnées deMdans le repèreR. On le note :
M
¯¯
¯¯
¯¯ α β γ
ouM
α β γ
ou aussiM(α,β,γ)
Preuve C’est une conséquence directe de la proposition 3.1
Remarque 3.6 La donnée d’un repèreRdeE permet de construire l’application :
θ:
E −→ R3 M 7−→
¯¯
¯¯
¯¯ α β γ où¡α,β,γ¢
sont les coordonnées deMdansR. Cette application est bijective et permet d’identifierE etR3. De même, on peut identifierV etR3.
Calcul algébrique avec les coordonnées
PROPOSITION3.3 ♥ Calculs avec les coordonnées
Norme d’un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé DÉFINITION3.10 ♥ Norme d’un vecteur
Soit−→u un vecteur deV possédant−→ABcomme représentant dansV oùA, B∈E. On appelle norme de−→u et on note°°−→u°° la longueurAB.
PROPOSITION3.4 ♥ Expression de la norme d’un vecteur dans un repère orthonormal SoitR³O,−→i ,→−j,−→k´un repère orthonormal de l’espace et−→u un vecteur de coordonnées→−u¡
Par définition du projeté orthogonal, le triangleOMHest rectangle enH. De plus, comme le repèreRest orthonormal, le triangles OIHest rectangle enI. Par application du théorème de Pythagore dans ce triangle, on a
OH2=OI2+IH2. Par application du même théorème dans le triangleOMH, on a aussi
OM2=OH2+HM2.
¢des points de l’espace alors
AB= q
(xB−xA)2+¡
yB−yA¢2
+(zB−zA)2
Preuve ♥ Les coordonnées du vecteur−→ABsont
−→AB
Si on applique à ce vecteur la formule précédente, on obtient le résultat escompté.
3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques
x
y z
M
P r z
θ
(a) Coordonnées cylindriques
x
y z
M
P θ
ϕ ρ
(b) Coordonnées sphériques
FIGURE3.3 – Coordonnées cylindriques et sphériques
Multimédia : Animation: on déplace un point dans l’espace et on représente géométriquement ses coordonnées cartésiennes et sphériques/cylindriques
DÉFINITION3.11 ♥ Système de coordonnées cylindriques Soient :
• R³O,→−i,−→j,−→k´un repère orthonormal de l’espace
• M
¯¯
¯¯
¯¯ x y z
un point deE.
• Ple projeté orthogonal deMsur le plan¡Ox y¢
muni du repère orthonormal³P,−→ i,−→
j´ .
On appelle système de coordonnées cylindriques deMpar rapport àRtout triplet de réels(r,θ,z)tel que
−−→OM=r−→u(θ)+z−→ k
où :
• θest une mesure de l’angle µ→−
i,−→OP
¶ .
• −→u(θ)est le vecteur−→u(θ)=cosθ−→
i +sinθ→− j
• rest le réel positif tel que−→OP=r→−u(θ)
• zest la cote deMdansR.
Remarque 3.7 (r,θ)est un système de coordonnées polaires pourPrelativement àR0.
PROPOSITION3.6 ♥ Lien entre les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes
SoitR³O,→−i,−→j,−→k´un repère orthonormal de l’espace,Mun point de l’espace de coordonnées cartésiennes¡x,y,z¢ dansRet de coordonnées cylindriques par rapport àR(r,θ,z). On a :
x=rcosθ y=rsinθ z=z
Preuve ♥ SoitMun point de l’espace de coordonnées cartésiennes¡x,y,z¢
dansR. SoitPle projeté orthogonal deMsur le plan horizontal³O,−→
i,→− j´
et¡ρ,θ¢
un système de coordonnées polaires pourPpar rapport au repère orthonormal directR0³O,−→i,−→j´. Avec−→u(θ)=cosθ−→
i +sinθ−→
j, on a−→OP=ρ→−u(θ)et :
−−→OM = −→OP+−−→PM
= r−→u(θ)+z−→ k
= rcosθ−→
i +rsinθ−→ j +z→−
k d’où le résultat.
DÉFINITION3.12 ♥ Système de coordonnées sphériques
On appelle système de coordonnées sphériques deMpar rapport àRtout triplet de réels¡r,θ,ϕ¢
tel que :
est un système de coordonnées polaires dePpar rapport au repère orthonormé direct³O,−→ i,−→ ϕest appelé la colatitude du pointMetθla longitude.
Remarque 3.8
– θétant une mesure de l’angle orienté µ−→
n’est pas orienté car on n’a pas choisi d’orientation du plan(zOM). C’est pour cela que sa mesure est donnée moduloπ.
– On utilise parfois la latitude :π2−ϕà la place de la colatitude.
PROPOSITION3.7 ♥ Lien entre les coordonnées sphériques et les coordonnées cartésiennes
SoientR³O,→−i ,→−j,−→k´un repère orthonormal de l’espace,Mun point de l’espace de coordonnées cartésiennes¡x,y,z¢ dansRet de coordonnées sphériques¡r,θ,ϕ¢
. On a :
Preuve ♥ SoitMun point de l’espace de coordonnées cartésiennes¡x,y,z¢
dansRet soitPle projeté orthogonal deMsur le plan horizontal³O,−→
Remarque 3.9 Si à la place de désigner la colatitude,ϕdésigne la latitude alors les formules précédentes deviennent :
DÉFINITION3.13 ♥ Produit scalaire
Soient−→u et→−v deux vecteurs deV. SoientO,A,Btrois points deE tel que :−→OA= −→u et−→OB= −→v etPla plan contenant
Remarque 3.10
– Cette définition ne nécessite pas de définir une orientation dans la planPet l’angleθ=³−→
OA,−→
OB´
ne doit pas néces-sairement être orienté. En effet, si on change l’orientation du plan, l’angleθest changé en son opposé ce qui laisse invariant son cosinus.
– °°−→u°
°2= −→u.−→u. PROPOSITION3.8 ♥
Deux vecteurs non nuls deV sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Preuve ♥ C’est une conséquence de la même propriété mais dans le plan.
3.3.2 Expression dans une base orthonormale
LEMME3.9
Soient→−u et−→v deux vecteurs deV alors
−
→u.−→v =1
2
³°°→−u+ −→v°°2−°°−→u°°2−°°→−v°°2´
Preuve SoitPle plan vectoriel engendré par−→u et−→v. Le vecteur→−u+ −→v est élément deP. Les propriétés du produit scalaire dans le plan permettent d’écrire
°°−→u+ −→v°°2=°°−→u°°2+°°−→v°°2+2−→u.→−v.
Le produit scalaire des deux vecteurs −→u et−→v dans l’espace coïncide avec celui dans le planP. On obtient donc la formule annoncée.
THÉORÈME3.10 ♥♥♥ Expression du produit scalaire dans une base orthonormale SoientR³O,−→i ,−→j,−→k´un repère orthonormal de l’espace,¡x,y,z¢
et¡x′,y′,z′¢
les coordonnées respectives des vecteurs
−
→u et→−v deV dansR. On a
−
→u.−→v =xx′+y y′+zz′
Preuve ♥ On a°°−→u°°2=x2+y2+z2et°°−→v°°2=x′2+y′2+z′2. Par ailleurs
°°−→u+ −→v°°2 = ¡ x+x′¢2
+¡ y+y′¢2
+¡ z+z′¢2
= x2+2xx′+x′2+y2+2y y′+y′2+z2+2zz′+z′2.
Par application de la formule établie dans le lemme précédent, on obtient l’expression mentionnée pour le produit scalaire.
3.3.3 Propriétés du produit scalaire
PROPOSITION3.11 ♥ Symétrie du produit scalaire
[] Le produit scalaire est symétrique : si−→u et→−v sont deux vecteurs deV alors :
−
→u.−→v = −→v.−→u
Preuve C’est clair en passant en coordonnées. On peut aussi voir cette proposition comme une conséquence directe du fait que le produit scalaire dans le plan est symétrique, voir proposition 2.11 page 70.
PROPOSITION3.12 ♥ Bilinéarité du produit scalaire
Le produit scalaire est bilinéaire. Ce qui signifie que pour tous vecteurs−→u,−u→1,−u→2,→−v,−→v1,−→v2deV et pour tous réels λ1,λ2
−
→u.(λ1−→v1+λ2−→v2)=λ1−→u.−→v1+λ2−→u.−v→2 et (λ1−u→1+λ2−u→2).−→v =λ1−u→1.→−v +λ2−u→2.−→v
Preuve C’est clair en passant en coordonnées.
PROPOSITION3.13
SoitB³→−i ,−→j,→−k´une base orthonormale. Soit−→u un vecteur deV de coordonnées¡x,y,z¢
dansB. Alors x= −→u.−→
i y= −→u.→−
j z= −→u.→− k
Preuve Laissée en exercice...