Géométrie élémentaire de l’espace
3.7 Droites dans l’espace
3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites
Réciproquement, siD est une droite affine dirigée par−→u∈V et passant parA∈V, alors si on complète le vecteur−→v en un trièdre direct¡−→u,→−v,−→w¢
de l’espace, il est clair queD est l’intersection des plans passant parP¡A,→−u,−→v¢etP¡A,−→u,−→w¢. La droiteD admet donc bien un système d’équations du type indiqué.
3.7.3 Distance d’un point à une droite
PROPOSITION3.41 ♥ Distance d’un point à une droite
SoitD une droite de l’espace passant par le pointPet de vecteur directeur−→u. SoitAun point de l’espace etHson projeté orthogonal surD(Hest l’unique point deDtel que les vecteurs−→AHet→−u sont orthogonaux). On appelle distance deAàDla distanceAH. C’est la plus petite distance deAà un point deD. Elle est notéed(A,D).
Preuve Voir la preuve de la proposition 3.36.
THÉORÈME3.42 ♥
SoitDune droite de l’espace passant par le pointPet de vecteur directeur→−u. SoitAun point de l’espace. On a
d(A,D)=
°°
°−→u∧−→PA°°°
k−→uk
Preuve ♥ SoientHle projeté orthogonal deAsur la droiteD etPun point de cette droite. Soitθune mesure de l’angle non orienté³−→PH,−→
PA´
. On a :AH=AP|sinθ|. Par ailleurs, on a
°°
°−→u∧−→PA°°°=°°−→u°°°°°−→PA°°°|sinθ| d’où l’égalité.
3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites
DÉFINITION3.22 ♥ Droites orthogonales, droites perpendiculaires
• Deux droites affines de l’espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs le sont.
• Deux droites affines de l’espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont à la fois sécantes et orthogonales.
Remarque 3.17 SiDetD′sont deux droites parallèles, il existe une infinité de perpendiculaires commune à ces deux droites. Elle effet, elles sont contenues dans un même plan et il existe une infinité de droites perpendiculaires à ce plan.
PROPOSITION3.43 ♥ Perpendiculaire commune à deux droites
SoientDetD′deux droites non parallèles, il existe une unique droite∆perpendiculaire à la fois àDet àD′. Cette droite est appelée perpendiculaire commune aux deux droitesD et àD′. Si de plusD est dirigée par−→u et siD′ est dirigée par→−u′alors∆est dirigée par−→u∧ −→u′.
Preuve ♥
• Existence Soient :
• −→uun vecteur directeur deDetAun point deD
• −→u′un vecteur directeur deD′etA′un point deD′.
Posons−→w= −→u∧ −→u′. Comme les droitesDetD′ne sont pas parallèles, leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et donc
−
→west non nul. NotonsPle plan donné par le triplet¡A,→−u,−→w¢
etP′le plan donné par le triplet¡A′,−→u′,−→w¢
. Un vecteur normal àPest→−n = −→u∧ −→w et un vecteur normal àP′est→−n′= −→u′∧ −→w. Ces deux plans ne sont pas parallèles. En effet, si c’était le cas, alors→−n et→−n′seraient colinéaires. Il existerait donc des scalairesα,βnon tous deux nuls tels queα−→u∧−→w+β−→u′∧−→w=→−
0 ce qui amènerait¡α−→u+β−→u′¢
∧ −→w=→−0. Alors−→wserait élément du plan vectoriel engandré par→−u et−→v ce qui n’est pas possible par définition de−→w. L’intersection des plansPetP′est donc une droite affine∆qui est dirigée par−→wet donc perpendiculaire aux deux droitesDetD′.
• Unicité Soit∆′une droite affine perpendiculaire aux deux droitesDetD′. Alors un vecteur directeur−→w′de∆′est orthogonal à la fois à→−u et à−→u′. Autrement dit−→w′est colinéaire à−→w= −→u∧ −→u′. De plus,∆′est incluse dans le plan affine¡A,−→u,−→w¢
ainsi que dans le plan¡A′,−→u′,−→w¢
. Par conséquent∆′=δ.
D1
D2
FIGURE3.8 – Perpendiculaire commune à deux droites
PLAN3.1 : Pour déterminer la perpendiculaire commune à deux droites
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct, on considère deux droites non coplanairesDetD′telles que – Dest dirigée par le vecteur−→u et passe par le pointA
– D′est dirigée par le vecteur−→u′et passe par le pointA′
Pour déterminer une équation cartésienne d’une perpendiculaire commune àDetD′:
1 On forme le vecteur−→v = −→u∧ −→u′.
2 On forme une équation cartésienneax+by+cz+d=0du planP passant parAet engendré par−→u et−→v. Ce plan contientD.
3 On forme une équation cartésiennea′x+b′y+c′z+d′=0du planP′passant parAet engendré par−→u et→−v. Ce plan contientD.
4 L’intersection deP et deP′est une droite dirigée par−→v. Par construction, cette droite est la perpendiculaire commune∆àDet àD′. Un système d’équations cartésiennes pour∆est donc :
∆:
(ax+by+cz+d =0 a′x+b′y+c′z+d′ =0.
PROPOSITION3.44 ♥ Distance entre deux droites non parallèles
Soient D et D′ deux droites non parallèles. Soient∆ la perpendiculaire commune à ces deux droites, H le point d’intersection de∆avecDetH′le point d’intersection de∆avecD′. Pour tout pointsMdeDetM′deD′, on a :
d¡ H, H′¢
Éd¡ M, M′¢ avec égalité si et seulement siH=M etH′=M′. La distanced¡
H, H′¢
est appelée distance de D à D′ et se note d¡D,D′¢
.
Preuve ♥ −−→MHdirigeDet−−−→H′M′dirigeD′. Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux à−−→HH′. Appliquant le théorème de Pythagore, on a :
°°
°−−−→
MM′°°° 2
=°°°−−→MH+−−−→
H′M′°°° 2
+°°°−−−→
HM′°°° 2
.
Il vient alorsMM′ÊHH′et on a égalité si et seulement si°°°−−→MH+−−−→
H′M′°°°=0, c’est à dire si et seulement si−−→MH+−−−→
H′M′=→−0 ce qui équivaut àH=MetH′=M′.
THÉORÈME3.45 ♥ Calcul de la distance entre deux droites non parallèles
SoientD etD′deux droites non parallèles de vecteurs directeurs respectifs−→u et→−u′, passant respectivement par les pointsMetM′. On a :
d¡D,D′¢=
¯¯
¯det³
−
→u,−→u′,−−−→
MM′´¯¯¯
°°−→u∧ −→u′°°
Preuve ♥ Soit∆la perpendiculaire commune aux deux droitesD etD′. Comme précédemment notonsHle point formant l’intersection deD et∆, ainsi queH′le point formant l’intersection deD′et∆. On ad¡D,D′¢
=HH′=°°°−−→
HH′°°°. Les vecteurs
−
→u∧ −→u′et−−→HH′sont colinéaires donc ¯
¯¯¡→−u∧ −→u′¢ .−−→
HH′¯¯¯=°°−→u∧ −→u′°°°°°−−→
HH′°°°. Par conséquent
HH′=
¯¯
¯¡→−u∧ −→u′¢ .−−→
HH′¯¯¯
°°→−u∧ −→u′°° =
¯¯
¯det³→−u,−→u′,−−→
HH′´¯¯¯
°°−→u∧ −→u′°° On a de plus
¯¯
¯det³
−
→u,−→u′,−−−→
MM′´¯¯
¯ = ¯¯¯det³
−
→u,−→u′,−−→
MH+−−→
HH′+−−−→
H′M′´¯¯
¯
= ¯¯¯det³−→u,−→u′,−−→
HH′´¯¯¯car−→u et−−→MHainsi que−→u′et−−−→H′M′sont colinéaires
= ¯¯¯¡→−u∧ −→u′¢ .−−→
HH′¯¯¯par définition du produit mixte
= °°→−u∧ −→u′°°°°°−−→
HH′°°°car les vecteurs−→u∧ −→u′et−−→HH′sont colinéaires d’où l’égalité.
3.8 Sphères
3.8.1 Généralités
DÉFINITION3.23 ♥ Sphère
SoientAun point de l’espace etR∈R∗+un réel positif non nul. On appelle sphère de rayonRet de centreAl’ensemble, notéS(A, R)des points de l’espace situés à une distanceRdeA:
S(A, R)=©M∈E |AM=Rª
PROPOSITION3.46 ♥
L’ensemble des pointsMde l’espace vérifiant
−−→MA·−−→MB=0 est la sphère de diamètre[AB].
Preuve ♥ SoitIle milieu de[AB]. SoitM∈E. On a :
−−→MA·−−→MB=0⇐⇒³−→MI+−→IA´
.³−→MI+−→IB´
=0⇐⇒°°°−→MI°°°2−−→IA.−→IB=0⇐⇒IM=IA
PROPOSITION3.47 ♥♥♥ Équation cartésienne d’une sphère
SoitR un repère orthonormal de l’espace. La sphère de centreA (a,b,c)et de rayonR∈R∗+admet comme équation cartésienne :
(x−a)2+¡ y−b¢2
+(z−c)2−R2=0
Preuve Il suffit d’écrire que :M¡ x,y,z¢
∈S⇐⇒°°°−−→AM°°°2=R2.