Le probl`eme du voyageur de commerce

Le probl`eme du voyageur de commerce est connu sous le nom de Travelling Salesman Problem. ´Etant donn´e un nombre de villes s´epar´ees d’une distance connue, il s’agit de d´eterminer une tourn´ee qui passe une et une seule fois par chaque ville et qui se termine au point de d´epart. L’objectif est la minimisation de la distance totale parcourue par le voyageur de commerce.

(Clerc, 2004) d´efinit le cadre g´en´eral de la m´ethode de r´esolution de la mani`ere sui- vante :

– La position d’une particule est d´efinie comme un N−cycle non orient´e : Xp,t =

(Xi1, Xi2, ..., XiN) parce que les cycles Hamiltoniens sont recherch´es. L’espace de

recherche est d´efini comme l’ensemble fini de tous les N−cycles.

– La vitesse d’une particule appliqu´ee `a une position `a un instant donne une autre position. C’est une liste des permutations de deux ´el´ements. La vitesse est repr´esent´ee par Vp,t = ((Xk, Yk)k=1,...,|Vp,t|) avec |Vp,t| la longueur de la liste. La vitesse avec une liste vide est repr´esent´ee par Vp,t= ∅.

Section 3.4. Diff´erentes utilisations de la PSO pour la r´esolution de probl`emes d’optimisation combinatoire – L’addition Xp,t⊕Vp,t+1 entre une position et une vitesse permet de d´eplacer une

particule dans l’espace de recherche. Par exemple, si on consid`ere Xp,t= (1, 2, 3, 4)

et Vp,t+1 = ((12)(34)), alors Xp,t⊕Vp,t+1 = Xp,t+1 = (2, 1, 4, 3).

– Soient deux vitesses Vp,t(1) et V (2)

p,t , l’addition V (1) p,t ⊕ V

(2)

p,t est la liste des permutations

qui contient d’abord celles de Vp,t(1) suivies par celles de V (2) p,t.

– La multiplication externe d’une vitesse Vp,t par un scalaire c1 :

– Si c1 = 0, alors c1⊗ Vp,t= ∅.

– Si 0 < c1 < 1, alors on tronque la liste de permutations de la vitesse Vp,t `a

E(c1.||Vp,t||) avec E(x) ≤ x < E(x) + 1.

– Si c1 ≥ 1 alors on duplique la liste de permutations de la vitesse Vp,t. Soit c1 =

k +c′

1 avec k valeur enti`ere non-nulle et c′1 le reste de la division enti`ere, c1⊗Vp,t=

Vp,t⊕ Vp,t⊕ Vp,t...Vp,t⊕ Vp,t

| {z }

k f ois

⊕c′

1⊗ Vp,t.

– La soustraction Pp,t⊖Xp,td´efinit une vitesse obtenue par un algorithme donn´e, celui

d´eterminant les permutations n´ecessaires pour le passage de Xp,t `a Pp,t.

– La distance entre deux positions Pp,t et Xp,test la longueur de la vitesse Vp,t, vitesse

obtenue en calculant Pp,t⊖ Xp,t ou Xp,t⊖ Pp,t.

Le r´eglage de param`etres choisi est le suivant : – Nombre de particules : N − 1

– Influence locale compos´ee de quatre voisines, incluant la particule elle-mˆeme. – Coefficients : c1.r1 ∈]0, 1[, (c2.r2, c3.r3) ∈ [0, 2]2

(Shi et al., 2007) r´esolvent le TSP en proposant une nouvelle fa¸con de calculer la vitesse de la particule. L’originalit´e de la m´ethode est l’ajout d’une strat´egie incertaine. Chaque particule est influenc´ee par sa propre trajectoire, sa meilleure position et la meilleure position globale. L’application d’une heuristique 2-opt permet de supprimer les croisements de ligne dans la tourn´ee g´en´er´ee qui correspond `a la meilleure position de l’essaim. Les auteurs notent de meilleurs r´esultats que les travaux pr´ec´edents utilisant la PSO pour r´esoudre le TSP. Les papiers plus anciens r´esolvent des instances compos´ees de 17 villes. Les auteurs proposent une m´ethode dont la qualit´e des solutions est au pire des cas 10% moins bonne que la solution optimale pour des instances de 50 `a 80 villes. (Goldbarg et al., 2008) r´esolvent le TSP en proposant de nouveaux op´erateurs de vitesse. L`a aussi l’influence globale est utilis´ee.Plusieurs types de d´eplacement sont test´es : v1 est un voisinage inversion (´echange entre deux positions) ou voisinage Lin-Kernighan

sur la position courante (´echange d’un nombre donn´e d’arˆetes), v2 et v3 sont le voisinage

path-relinking (´echanges successifs entre deux positions adjacentes) pour l’influence de la meilleure position personnelle et l’influence de la meilleure position globale. Chacun des trois ´el´ements v1, v2 et v3 d´efinissent des d´eplacements `a effectuer sur la position

courante. La composition entre chacun des trois ´el´ements est r´egie par des probabilit´es. Des combinaisons entre les diff´erents op´erateurs vitesse sont ´egalement impl´ement´ees.

Le r´eglage de param`etres choisi est le suivant : – Nombre de particules : 20

– Coefficients : c1.r1, c2.r2, c3.r3 ∈]0, 1[. Au d´ebut des calculs, c1 = 0.95, c2 = 0.05, c3 =

0.05. Tout au long des it´erations, c1 diminue alors que c2 et c3 augmentent.

Les auteurs consid`erent des instances compos´ees jusqu’`a 7397 villes.

(Fan, 2010) utilise la PSO sur le TSP avec l’influence globale. Son approche est une approche hybrid´ee avec trois op´erations : un op´erateur de croisement, un facteur heuristique et un facteur de perturbation adaptative. Une position est une liste ordonn´ee de villes. Un changement de position est effectu´e par la succession des trois op´erations. La nouvelle position de la particule est le r´esultat d’un croisement entre sa position courante, sa meilleure position et la meilleure position de l’essaim. Une fois le d´eplacement de toutes les particules effectu´e, les meilleures positions de chaque particule et la meilleure position de l’essaim sont actualis´ees. Ensuite, chaque particule subit une mise `a jour de sa position grˆace au facteur heuristique et au facteur de perturbation adaptative. La taille de l’essaim d´epend de la taille des instances. Les r´esultats sont meilleurs que ceux des pr´ec´edents travaux.

(Labed et al., 2012) hybrident la PSO pour la r´esolution du TSP avec l’heuristique d’am´elioration 2-opt. L’approche est globale. L’approche propos´ee permet d’´eviter le r´eglage de param`etres. Une position est une liste ordonn´ee de villes. Le d´eplacement d’une particule est d´efini par l’op´erateur de croisement : un croisement des positions Xp,t et

Pp,tet un croisement des positions Xp,t et Gt sont g´en´er´es. La position ayant la meilleure

valeur de la fonction objectif devient la nouvelle particule. L’op´erateur de croisement permet de ne pas tomber dans un optimum local. L’heuristique 2-opt est ensuite appliqu´ee sur cette nouvelle position pour l’am´eliorer. L’essaim est compos´e de cinquante particules.