5.3.1
Cr´eation des instances
Les instances ont ´et´e g´en´er´ees al´eatoirement de fa¸con `a repr´esenter des donn´ees r´eelles. La CHT est compos´ee de trois sites. Quatre `a huit ´equipements sont r´epartis sur la CHT, chacun ´etant situ´e sur un site. Trois `a cinq ressources humaines sont disponibles sur la CHT. Il existe trois types d’´equipements. L’horizon de planification est compos´e de plusieurs p´eriodes, chaque p´eriode repr´esentant une demi-journ´ee. L’horizon de planifica- tion d´epend du nombre d’activit´es `a planifier. Plus le nombre d’activit´es est important, plus l’horizon de planification est grand.
Les mˆemes instances sont utilis´ees pour tous les mod`eles. Cependant, le nombre de ressources humaines ainsi que toutes les donn´ees relevant des ressources humaines ne sont
Section 5.3. Le mod`ele 1 de la CHT pas consid´er´ees pour le mod`ele 1. Pour le mod`ele 3, la donn´ee relative aux affectations sur site des ressources humaines n’est pas prise en compte.
Deux types d’instance ont ´et´e g´en´er´es :
– Type A : chaque temps de traitement est compris entre 5 et 45 minutes, chacun ´etant un multiple de 5 minutes. Les tailles de probl`eme test´ees vont de 50 activit´es `a 500. Le temps d’ouverture de chaque ´equipement pendant chaque p´eriode est ´egal `a 300 minutes. Quatre ou huit ´equipements sont disponibles pour le traitement des activit´es. Le temps de travail de chaque ressource humaine pendant chaque p´eriode est compris entre z´ero et 300 minutes, avec un pas de 60 minutes. Pour les mod`eles 2 et 3, seul ce type d’instance est utilis´e.
– Type B : 50 `a 500 activit´es sont `a planifier, quatre ou huit ´equipements sont consid´er´es. Chaque ´equipement est disponible pendant 100 minutes durant chaque p´eriode. Les activit´es ont un temps de traitement entre une et quatre-vingt dix-neuf minutes. Les types d’´equipement et les ressources humaines ne sont pas consid´er´es puisque ce type d’instance n’est utilis´ee que dans le mod`ele 1.
Le Tableau 5.4 r´esume les donn´ees g´en´er´ees pour les probl`emes de la CHT. Type N K L M A T A 50 3 4 3 3 8 100 3 4 3 3 8 200 3 8 5 3 10 300 3 8 5 3 15 400 3 8 5 3 20 500 3 8 5 3 25 B 50 3 4 - - 9 100 3 4 - - 17 200 3 8 - - 20 500 3 8 - - 50
Tableau 5.4 – Donn´ees g´en´er´ees pour la CHT
5.3.2
R´esultats r´ef´erence : CPLEX
La r´esolution par m´ethode exacte utilise la version 12.4.0 de CPLEX. La machine est compos´ee d’un Intel Xeon X5687 quad-core CPU 3.6 GHz.
Les temps de calcul sont limit´es `a une heure. Dans les tableaux pr´esentant les r´esultats, si apr`es une heure le solveur ne trouve pas de solution optimale, l’instance correspondante est not´ee avec une *. Le cas ´ech´eant, les valeurs correspondant aux bornes inf´erieures et sup´erieures renseign´ees par le solveur sont indiqu´ees. Plus la taille du jeu de donn´ees est grande, moins le solveur trouve la solution optimale en moins d’une heure.
Dans le Tableau 5.5, les r´esultats sont not´es sous la forme (C1; C2) avec
– C1 le nombre de dates limites non respect´ees,
– C2 la somme des p´eriodes affect´ees `a toutes les activit´es.
La fonction objectif est donn´ee par l’´Equation (5.1), avec ω1 = 5 et ω2 = 0. En effet,
pour toutes les instances, C2 est toujours inf´erieur `a 105. Ainsi, la valeur de chaque crit`ere
est facilement lisible.
H(X) = 10ω1.C
1(X) + 10ω2.C2(X) (5.1)
Instance (C1; C2) Temps (sec) Borne inf Borne sup Gap (%)
50A (0 ; 51) 0.02 - - - 100A (0 ; 131) 0.08 - - - 200A (0 ; 266) 0.27 - - - 300A* - - (0 ; 531.31) (0 ; 533) 0.32 400A (0 ; 830) 241.75 - - - 500A* - - (0 ; 1223.01) (0 ; 1225) 0.16 50B (1 ; 150) 2.27 - - - 100B (0 ; 517) 707.82 - - - 200B* - - (0 ; 1119.35) (0 ; 1131) 1.03 500B* - - (2 ; 6300.11) (2 ; 6394) 0.36 Tableau5.5 – R´esultats pour le mod`ele 1 avec la m´ethode exacte
Dans la suite, nos m´ethodes sont compar´ees aux r´esultats r´ef´erences trouv´es par le solveur. Pour chaque instance, la r´ef´erence est la valeur optimale si elle a ´et´e trouv´ee, ou la borne sup´erieure.
5.3.3
Algorithmes de liste
Les algorithmes de liste d´etaill´es dans le chapitre pr´ec´edent sont appliqu´ees sur ces mˆemes instances. Les r´esultats sont pr´esent´es dans le Tableau 5.6 sous la forme (C1; C2).
Les heuristiques propos´ees sont des extensions des heuristiques pour le bin packing de base : la compatibilit´e entre les activit´es et les ´equipements est v´erifi´ee `a chaque affectation d’une activit´e `a un ´equipement. Les mˆeme garanties de performance que celles des heuristiques du bin packing de base sont v´erifi´ees. L’heuristique Best Fit donne des r´esultats ´equivalents `a ceux retourn´es par l’heuristique First Fit qui donne elle-mˆeme de meilleurs r´esultats que l’heuristique Next Fit. L’heuristique Worst Fit est celle qui donne les moins bons r´esultats.
Lorsque ces heuristiques sont appliqu´ees sur des listes d’activit´es tri´ees de fa¸con d´ecroissante, l’heuristique First Fit Decreasing est celle qui donne les meilleurs r´esultats.
S ec tio n 5.3 . L e m o d `ele 1 d e la C H T
Instance 50A 100A 200A 300A 400A 500A 50B 100B 200B 500B R´ef´erence 51 131 266 533 830 1225 (1 ; 150) 517 1131 (2 ; 6394) NF (1 ; 54) (4 ; 157) (12 ; 312) (26 ; 672) (30 ; 1053) (45 ; 1667) (27 ; 268) (60 ; 1028) (96 ; 2221) (321 ; 12973) F F (1 ; 54) (4 ; 153) (11 ; 300) (23 ; 633) (27 ; 1009) (43 ; 1587) (19 ; 212) (34 ; 701) (55 ; 1440) (194 ; 8218) BF (3 ; 54) (4 ; 158) (12 ; 313) (22 ; 638) (29 ; 1007) (41 ; 1594) (20 ; 217) (37 ; 719) (56 ; 1475) (194 ; 8253) W F (2 ; 55) (7 ; 163) (8 ; 320) (27 ; 695) (37 ; 1106) (49 ; 1705) (23 ; 245) (45 ; 793) (72 ; 1710) (211 ; 8677) NF D (0 ; 56) (0 ; 156) (0 ; 301) (0 ; 661) (0 ; 1086) (0 ; 1614) (33 ; 264) (53 ; 859) (3 ; 1834) (201 ; 10468) F F D (0 ; 54) (0 ; 153) (0 ; 297) (0 ; 629) (0 ; 1033) (0 ; 1556) (3 ; 172) (0 ; 584) (0 ; 1276) (9 ; 7274) BF D (0 ; 56) (0 ; 151) (0 ; 300) (0 ; 632) (0 ; 1051) (0 ; 1568) (3 ; 175) (0 ; 606) (0 ; 1318) (9 ; 7364) W F D (0 ; 56) (0 ; 159) (0 ; 318) (0 ; 659) (0 ; 1083) (0 ; 1635) (28 ; 241) (45 ; 769) (0 ; 1804) (289 ; 10312)
Tableau5.6 – R´esultats de l’application des algorithmes de liste sur le mod`ele 1
14
5.3.4
M´etaheuristiques
L’application des m´etaheuristiques sur le probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources donne des r´esultats int´eressants. Pour les plus petites tailles d’instance, les m´ethodes trouvent la solution optimale. Plus les tailles d’instance sont grandes, plus les r´esultats sont ´eloign´es de la solution optimale quand elle existe, ou de la borne sup´erieure retourn´ee par le solveur.
Lorsque la recherche est faite dans l’ensemble C des solutions admissibles, la solution initiale est admissible mais n’est pas g´en´er´ee par les heuristiques pr´esent´ees. En effet, si la solution initiale est de trop bonne qualit´e, la m´etaheuristique ne parvient pas `a l’am´eliorer. Finalement, les r´esultats sont meilleurs lorsque l’exploration est faite dans l’ensemble Ω de toutes les solutions et non pas dans l’ensemble C des solutions admissibles. `A partir d’une solution d´egrad´ee, les m´etaheuristiques am´eliorent la solution courante mais n’atteignent pas de bonnes solutions pour les instances de grande taille.
5.3.5
Couplage heuristiques m´etaheuristiques
5.3.5.1 M´etaheuristiques bas´ees individu
L’application du couplage entre les heuristiques et les m´etaheuristiques donne de tr`es bons r´esultats. La solution optimale est atteinte pour les instances de petite taille. Pour les instances de plus grande taille, les m´ethodes donnent des r´esultats au pire `a 1% de la solution optimale. Le Tableau 5.7 r´esume les ´ecarts des r´esultats de la m´ethode propos´ee `a l’optimal ou `a la borne sup´erieure retourn´ee par le solveur pour le crit`ere relatif `a la somme des p´eriodes affect´ees aux activit´es. Dans le cas d’intervalle retourn´e par le serveur, l’´ecart est calcul´e par rapport `a la borne sup´erieure.
Pour l’instance 500B, la somme des p´eriodes affect´ees aux activit´es trouv´ee par le couplage est meilleure que la borne sup´erieure retourn´ee par le solveur. Ceci est tr`es en- courageant pour l’application sur des donn´ees r´eelles : le couplage s’av`ere plus performant que les m´ethodes exactes avec le mˆeme temps imparti pour les instances de grande taille.
Instance 50A 100A 200A 300A 400A R´ef´erence 51 131 266 [531.31, 533] 830 Valeur 51 131 266 534 835 ´ Ecart 0% 0% 0% 0.19% 0.60% Instance 500A 50B 100B 200B 500B R´ef´erence [1223.01, 1225] 150 517 [1119.35, 1131] [6300.11, 6394] Valeur 1234 150 518 1135 6368 ´ Ecart 0.73% 0% 0.19% 0.35% -0.4%
Tableau 5.7 – R´esultat du couplage pour le probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources
Section 5.4. Les mod`eles avec ressources humaines