Analogies avec notre probl`eme

Les analogies suivantes entre le probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources et le probl`eme du bin packing peuvent ˆetre faites.

2.5.2.1 Probl`eme 1 : sans ressources humaines

Le probl`eme 1 consiste en l’affectation des activit´es `a un ´equipement pendant une p´eriode. Les ressources humaines sont suppos´ees de capacit´e illimit´ee. Si nous consid´erons que l’horizon de planification est compos´e de couples (l, t) avec l’´equipement l ∈ L et la p´eriode t ∈ T , l’objectif du probl`eme est d’affecter les activit´es aux couples (l, t). Les activit´es doivent ˆetre affect´ees le plus tˆot possible, l’objectif est donc de minimiser le nombre de couples (l, t), c’est-`a-dire de minimiser le nombre de boites.

Une illustration de notre probl`eme est propos´ee par la Figure 2.6. Dans cette illustra- tion, l’affectation d’examens m´edicaux `a des ´equipements de type radio, IRM ou scanner est consid´er´ee.

Temps

Boite

´

Equipement Radio Scanner IRM

P´eriode Lundi Matin

Radio Scanner IRM

Lundi A-Midi

Radio Scanner IRM

Mardi Matin

Radio Scanner IRM

Mardi A-Midi 1 6 3 4 2 7 11 5 8 10 9 13 12 15 16 14 Temps d’ouverture des ´equipements L´egende : X _{num´ero X}Examen

Figure 2.6 – Une repr´esentation du probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources

Le Tableau 2.6 r´esume les analogies entre le probl`eme du bin packing et le probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources. Notre probl`eme consid`ere une contrainte suppl´ementaire : avant l’affectation d’un ´equipement l `a une activit´e i, il faut v´erifier la contrainte de compatibilit´e, il faut v´erifier que ci,l= 1.

L’objectif principal du probl`eme consid´er´e est diff´erent de celui du probl`eme du bin packing. Alors que le probl`eme du bin packing vise `a minimiser le nombre de boites utilis´ees, notre probl`eme vise `a minimiser la somme des p´eriodes affect´ees.

De plus, dans notre probl`eme, les temps d’ouverture peuvent ˆetre diff´erents en fonction de l’´equipement et de la p´eriode. En reprenant l’analogie avec le probl`eme du bin packing, cela signifie que les boites peuvent avoir des tailles diff´erentes, ce qui n’est pas le cas pour le probl`eme du bin packing de base.

2.5.2.2 Probl`emes 2 et 3 : avec ressources humaines

Les probl`emes 2 et 3 tiennent compte des ressources humaines. En plus d’ˆetre affect´ees `a des ´equipements et des p´eriodes, les activit´es doivent ˆetre affect´ees `a des ressources humaines. L’analogie est faite entre ces probl`emes et le probl`eme du bin packing interd´ependant.

Le probl`eme du bin packing interd´ependant a ´et´e introduit par (Boutevin, 2003). Soient p1 et p2 deux probl`emes du bin packing. Chacun de ces probl`emes contient un

nombre donn´e de boites. Ce nombre peut diff´erer entre les deux probl`emes. Des groupes de boites sont d´efinis `a l’int´erieur de chaque probl`eme, ces groupes peuvent contenir une `a plusieurs boites. Le nombre de groupes est le mˆeme dans les deux probl`emes.

Chaque objet est affect´e `a une et une seule boite dans chacun des probl`emes. En l’absence de contraintes suppl´ementaires, la r´esolution de chacun de ces deux probl`emes pourrait ˆetre trait´ee s´epar´ement. La notion d’interd´ependance provient de l’ajout de la contrainte suivante : si un objet est affect´e `a une boite du groupe g du probl`eme p1, alors il est obligatoirement affect´e `a une boite du groupe g du probl`eme p2, et

vice versa. L’objectif est de r´epartir les objets dans les boites des deux probl`emes de mani`ere `a minimiser le nombre de boites utilis´ees dans un des deux probl`emes, tout en satisfaisant les contraintes de capacit´e des boites et d’interd´ependance entre les probl`emes.

Section 2.5. Le probl`eme du bin packing

Probl`eme du bin packing Probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources

Donn´ees

Objet Activit´e

Boite Couple ´equipement-p´eriode Taille d’un objet Temps de traitement d’une activit´e Taille d’une boite Temps d’ouverture d’un ´equipement

- P´eriode limite

- Site de r´ef´erence

Probl`eme Affecter les objets Affecter les activit´es `a une p´eriode aux boites et `a un ´equipement

Contraintes

Contrainte de la Contrainte de la dur´ee d’ouverture taille des boites des ´equipements

- Contrainte de compatibilit´e

Crit`eres

Minimiser le nombre de

- boites utilis´ees

- Minimiser la somme des p´eriodes affect´ees Tableau2.6 – Tableau d’analogies entre les deux probl`emes

Pour le probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources, les deux probl`emes peuvent ˆetre d´efinis de la mani`ere suivante :

– Probl`eme p1 : affectation de chaque activit´e `a un ´equipement pendant une p´eriode,

tout en respectant la dur´ee d’ouverture des ´equipements pendant la p´eriode et la compatibilit´e entre l’activit´e et l’´equipement.

– Probl`eme p2 : affectation de chaque activit´e `a une ressource humaine pendant une

p´eriode, tout en respectant le temps de travail de la ressource humaine pendant la p´eriode et la compatibilit´e entre l’activit´e et la ressource humaine.

La notion de compatibilit´e entre l’activit´e et la ressource humaine n’est pas directe- ment d´efinie mais peut-ˆetre d´eduite de la fa¸con suivante : une activit´e i est compatible avec la ressource humaine m si et seulement si l’activit´e i est trait´ee par l’´equipement l qui est de type a et que la ressource humaine m a la capacit´e de travailler sur le type a.

Dans notre cas, le groupe g correspond `a la combinaison [p´eriode t × type a]. Dans les deux probl`emes, l’activit´e doit ˆetre affect´ee `a la mˆeme p´eriode et au mˆeme type.

Chaque couple (´equipement, p´eriode) du probl`eme p1 appartient `a une p´eriode t et

un type a, via le type de l’´equipement. Chaque couple (ressource humaine, p´eriode) du probl`eme p2 appartient lui aussi `a une p´eriode t et un type a via la capacit´e de la ressource

humaine `a travailler sur ce type. Ainsi, si une activit´e est affect´ee `a un couple (´equipement, p´eriode) du groupe [t×a] du probl`eme p1, alors elle est obligatoirement affect´ee `a un couple

(ressource humaine, p´eriode) du mˆeme groupe [t × a] du probl`eme p2, et vice versa. Ceci

peut ˆetre illustr´e par la Figure 2.7. Probl`eme p1 Activit´e i affect´ee `a l’´equipement compatible l de type a pendant la p´eriode t Probl`eme p2 Activit´e i affect´ee `a la ressource humaine m qui peut travailler sur le type a

pendant la p´eriode t

Mˆeme groupe [t × a]

Figure 2.7 – Illustration du probl`eme du bin packing interd´ependant

La Figure 2.8 donne un exemple de repr´esentation du probl`eme de planification d’acti- vit´es avec affectation de ressources tenant compte des ressources humaines, sous la forme d’un probl`eme de bin packing interd´ependant. Le probl`eme p1 est l’affectation des acti-

vit´es aux couples (´equipement × p´eriode) comme pour le probl`eme 1 sans les ressources humaines. Le probl`eme p2 est l’affectation des activit´es aux couples (ressource humaine ×

p´eriode). Un groupe est d´efini par sa p´eriode et son type. Le probl`eme p1 est compos´e de

deux groupes et trois boites par p´eriode. Le second groupe est compos´e de deux boites : deux ´equipements sont de type scanner. Le probl`eme p2 est compos´e de ces deux mˆemes

groupes par p´eriode, il y a une boite par groupe, seule une ressource humaine peut tra- vailler sur un type d’´equipement. Une activit´e affect´ee au groupe 1 du probl`eme p1 doit

ˆetre affect´ee au groupe 1 du probl`eme p2. Par exemple, l’activit´e 1 est affect´ee au groupe

[lundi matin × radio] dans les deux probl`emes interd´ependants. Plus pr´ecis´ement, elle est affect´ee le lundi matin `a l’´equipement l3 et `a la ressource humaine m2 qui sont tous les

deux de type radio.

2.6

Conclusion

Ce chapitre a pr´esent´e la sp´ecification compl`ete du domaine. `A partir d’hypoth`eses, trois sous-probl`emes ont ´et´e d´efinis. La formalisation des mod`eles consid´er´es dans la suite de ce manuscrit a ´et´e r´ealis´ee.

Ces mod`eles se focalisent sur le niveau tactique. Mais ils peuvent facilement ˆetre utilis´es sur les deux autres niveaux strat´egique et op´erationnel en fonction de la dur´ee de l’horizon temporel consid´er´e ainsi que du d´ecoupage en p´eriodes.

Les trois probl`emes d´efinis peuvent se ramener `a un probl`eme de bin packing. Le probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources est donc vu comme un probl`eme de bin packing avec incompatibilit´es. Un ´etat de l’art sur le probl`eme du bin packing est r´edig´e dans le chapitre suivant. Les m´ethodes que nous proposons sont par la suite test´ees sur des instances du bin packing avant d’ˆetre adapt´ees `a nos probl`emes.

`

Section 2.6. Conclusion Temps Boite Type ´ Equipement Radio l1 Scanner l2 l3 P´eriode Radio l1 l2 Scanner l3 Lundi A-Midi Radio l1 l2 Scanner l3 Mardi Matin Radio l1 l2 Scanner l3 Mardi A-Midi 1 6 3 4 2 7 11 5 8 10 9 13 12 15 16 14 Temps d’ouverture des ´equipements L´egende : X _{num´ero X}Examen Temps Boite Type Ressource humaine Radio m1 Scanner m2 P´eriode Radio m1 Scanner m2 Lundi A-Midi Radio m1 Scanner m2 Mardi Matin Radio m1 Scanner m2 Mardi A-Midi 1 6 3 4 2 7 11 5 8 10 9 13 12 15 16 14 Temps de travail des ressources humaines G ro u p e 1 G ro u p e 2 ... ... G ro u p e 7 G ro u p e 8 Lundi Matin Lundi Matin

Figure 2.8 – Une repr´esentation du probl`eme de la CHT avec les ressources humaines envisag´ee. Le chapitre suivant fait ´egalement un ´etat de l’art sur les m´ethodes de r´esolution approch´ee qui sont utilis´ees dans la suite de ce manuscrit.

Chapitre

3

´

Etat de l’art

Sommaire

3.1 Introduction . . . 64 3.2 M´ethodes de r´esolution pour l’optimisation combinatoire . . 64 3.2.1 M´ethodes exactes pour la r´esolution des probl`emes lin´eaires . . 64 3.2.2 M´ethodes approch´ees . . . 66 3.2.2.1 Heuristique gloutonne . . . 67 3.2.2.2 M´etaheuristiques bas´ees individu . . . 68 3.2.2.3 M´etaheuristiques bas´ees population . . . 72 3.2.3 Approches d’hybridation . . . 78 3.2.3.1 Chainage entre deux m´ethodes . . . 79 3.2.3.2 Couplage entre deux m´ethodes . . . 79 3.3 Le probl`eme du bin packing . . . 80 3.3.1 M´ethodes exactes . . . 81 3.3.2 Heuristiques . . . 82 3.3.3 M´etaheuristiques . . . 88 3.3.3.1 Fonctions objectifs . . . 88 3.3.3.2 M´etaheuristiques bas´ees individu . . . 89 3.3.3.3 M´etaheuristiques `a population . . . 91 3.3.4 Conclusion de l’´etat de l’art sur le probl`eme du bin packing . . 94 3.4 Diff´erentes utilisations de la PSO pour la r´esolution de

probl`emes d’optimisation combinatoire . . . 95 3.4.1 Le probl`eme des n dames . . . 96 3.4.2 Le probl`eme du voyageur de commerce . . . 96 3.4.3 Le RCPSP . . . 98 3.4.4 Les probl`emes d’ordonnancement . . . 99 3.4.5 Le probl`eme du bin packing . . . 101 3.4.6 Conclusion sur la PSO . . . 102 3.5 Conclusion . . . 102

3.1

Introduction

Les probl`emes ´etudi´es tout au long de ce manuscrit ont ´et´e formalis´es math´ematiquement dans le Chapitre 2 sous la forme de probl`emes lin´eaires `a variables enti`eres. De nombreuses m´ethodes de r´esolution existent pour aborder ce genre de probl`eme. La Section 3.2 pr´esente un ´etat de l’art des m´ethodes de r´esolution des probl`emes d’optimisation combinatoire. Dans un premier temps, les m´ethodes exactes sont r´ef´erenc´ees. Mais `a cause de la complexit´e et la taille des probl`emes ´etudi´es, il n’existe pas d’algorithme de r´esolution en un temps polynomial. C’est pourquoi de nombreuses m´ethodes approch´ees existent. Un panel de ces m´ethodes est d´etaill´e dans la suite de cette section, en diff´erentiant les m´etaheuristiques bas´ees individus de celles bas´ees popu- lation. Plus r´ecemment, d’autres m´ethodes ont ´et´e propos´ees : les approches d’hybridation couplent plusieurs des m´ethodes pr´ec´edemment pr´esent´ees.

L’analogie entre le probl`eme de planification d’activit´es avec affectation de ressources et le probl`eme du bin packing a ´et´e faite dans le Chapitre 2. Des m´ethodes exactes, des heuristiques et des m´etaheuristiques ont ´et´e propos´ees pour la r´esolution du probl`eme du bin packing, pr´esent´ees dans la Section 3.3.

La Section 3.4 se concentre sur l’optimisation par essaim particulaire. Cette m´etaheuristique bas´ee population est une m´ethode r´ecente pleine de promesses. Apr`es avoir ´et´e d´evelopp´ee pour des probl`emes d’optimisation continue, elle a ´et´e appliqu´ee `a la r´esolution de nombreux probl`emes d’optimisation combinatoire. Des exemples de probl`emes d’optimisation combinatoire r´esolus grˆace `a l’optimisation par essaim particu- laire sont pr´esent´es dans cette derni`ere section.