Un CSP d´efinit un ensemble de variables dont les gammes sont prises `a partir d’un domaine fini et un ensemble de contraintes qui limitent les valeurs que peuvent prendre ces variables. Une solution pour un CSP est une affec- tation d’une valeur `a chaque variable, toutes les contraintes sont satisfaites simultan´ement.
Les ≪ Soft constraints ≫ [Bistarelli et al. 1997 ; 1995] g´en´eralise les CSP
classiques en ajoutant un niveau de pr´ef´erence pour chaque tuple dans le domaine des variables de contrainte.
Le niveau de pr´ef´erence peut ˆetre utilis´e pour obtenir une solution appro- pri´ee qui peut ne pas remplir toutes les contraintes, mais optimise certains param`etres (et qui dans notre cas seront naturellement appliqu´ees aux be- soins des utilisateurs).
Les op´erations de base sur les≪Sof constraints≫(par exemple, la construc-
tion de conjonctions de contraintes et la projection sur les variables) doivent g´erer les pr´ef´erences d’une mani`ere homog`ene.
Ceci exige un changement de la structure math´ematique sous-jacente des CSP classiques pour passer d’une alg`ebre cylindrique `a une alg`ebre ≪ Semi-
ring≫, enrichi avec des propri´et´es suppl´ementaires, et appel´ee un C-semiring.
D´efinition 10 un C-Semiring est un tuple hA, +, ×, 0, 1i - A est un en-
semble et 0 ∈ A, 1 ∈ A. - P est d´efinie sur un sous-ensembles de la mani`ere
∗) + est commutatif (a + b = b + a), associatif (a + (b + c) = (a + b) + c),
avec un ´el´ement ´el´ementaire 0 (a + 0 = a) et un ´el´ement absorbant 1 (a + 1 = 1).
∗) P ∅ = 0 et pour tout a ∈ A, P {a} = a. ∗) Compte tenu de tout ensemble d’indices S.P
i∈S(S Ai) =
P P i∈SAi
(aplatissement)
A repr´esente le niveau de pr´ef´erence de la solution qui peut ˆetre d´emontr´e qu’il est un treillis avec un ordre partiel a ≤ b si a + b = b, minimum 0, et maximum 1. La r´esolution est fond´ee sur la gestion des diff´erentes pr´ef´erences `a l’aide de l’op´erateur + et × . Il n’y a pas de supposition de la signification ou la manipulation des pr´ef´erences, + et × sont des espaces r´eserv´es pour des d´efinitions concr`etes utilis´ees par de nombreux syst`emes de contraintes comme les contraintes floues, les contraintes traditionnelles, etc.
D´efinition 11 (Contrainte).
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Etant donn´ee un c-semiring hA, +, ×, 0, 1i, un ensemble de variable V, et un ensemble de domaine D, un pour chaque variable dans V, une contrainte est la paire hdef, coni o`u con ⊆ V et def : D|con| −→ A.
D´efinition 12 (Soft Constraint Satisfaction Problem SCSP).
Un SCSP est une paire hdef, coni o`u con ⊆ V et C est un ensemble de contraintes. C peut contenir des variables qui ne sont pas dans con, autre- ment dit, ils ne sont pas int´eressants pour le r´esultat final. Dans ce cas, les contraintes de C doivent ˆetre projet´ees sur les variables de con.
D´efinition 13 (Combinaison des contraintes).
Deux contraintes c1hdef1, con1i et c2hdef2, con2i peuvent ˆetre combin´e dans C1⊗ C2 = hdef, coni en prenant toutes les variables dans la contrainte d’ori-
gine (con = con1S con2) et en attribuant `a chaque n-uplet dans la nouvelle
des contraintes d’origine : def (t) = def1(t ↓ con con1 )xdef2(t ↓ con con2 ) avec t ↓ X Y
d´esignant la projection du tuple t, qui est d´efini sur l’ensemble des variables X, sur l’ensemble des variables Y ⊆ X.
D´efinition 14 (Projection).
Compte tenu une ”‘Soft constraint”’ c = hdef, coni et un ensemble de variable
I ⊆ V , la projection de c sur I, not´ee c ⇓I est la contrainte hdef´, con´i o`u
con´= conT I et def´(t´) = P t|t↓ con con∩ I =t´ def (t). D´efinition 15 (Solution).
Une solution d’un SCSP hC, coni est la contrainte (⊗C) ⇓con c’est `a dire, la
combinaison (conjonction) de toutes les contraintes de C projet´ee sur toutes les variables con d’int´erˆet.
Les d´efinitions 11,12,13,14,15,16 li´ees aux ”‘Soft constraints”’ illustre une certaine fondamentale.
Il est possible de combiner les contraintes au sein d’autres contraintes (avec ⊗, similaire `a la conjonction), et de projeter des contraintes sur un tuple de variables ↓ X
Y .
La valeur de la pr´ef´erence de chaque tuple dans la contrainte de conjonc- tion est extraite par les quˆetes de la valeur de la pr´ef´erence du tuple dans chaque contrainte individuelle. En ´eliminant les ≪ colonnes ≫ des tuples et
en maintenant uniquement les composants qu’on ne peut pas enlever, nous utilisons les projections.
Bien que certaines ”‘ lignes ”” r´ep´et´ees pourraient apparaˆıtre, nous n’au- rons qu’un seul reste, c’est la pr´ef´erence calcul´ee en appliquant + pour les pr´ef´erences des tuple r´ep´et´es. Sachant que la solution est simplement une projection sur une s´election de variables, les pr´ef´erences de la solution sont calcul´ees `a l’aide de l’op´eration de projection.
Plus probablement, le tuple qui contient la valeur la plus ´elev´ee de pr´ef´erence est ´elu solution ”‘optimale”’. Les d´efinitions 17,18 et 19 montre le contexte du cadre SCSP.
D´efinition 16 (Syst`eme de contrainte).
un syst`eme de contrainte est un tuple CS = hS, D, V i, o`u S est c-semiring, D repr´esente un ensemble de domaine, et V est l’ensemble ordonn´e de variables.
D´efinition 17 (Contrainte).
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Etant donn´ee un syst`eme de contrainte CS = hS, D, V i, et un probl`eme P =
hdef, coni, une contrainte est un tuple c = hdefc, typei o`u type repr´esente le type de la contrainte et defc est la fonction de d´efinition de la contrainte. D´efinition 18 (SCSP).
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Etant donn´ee un syst`eme de contrainte CS = hS, D, V i, un SCSP surcharg´e de CS est une paire P = hdef, coni, o`u con, appel´e ensemble de variables d’int´erˆet pour C, un sous-ensemble de V et C est un ensemble fini de contraintes, qui peut contenir certaines contraintes d´efinies sur les variables n’appartenant pas `a con.