2.4 Anthologie
2.4.3 Les mod`eles des r´eseaux
Les macros propri´et´es statistiques d’un r´eseau permettent d’une part de les diviser dans des cat´egories et d’autre part de construire les mod`eles qui peuvent reproduire des r´eseaux artificiels avec les mˆemes caract´eristiques qualitatives. Dans ce manuscrit, nous pr´esentons trois cat´egories du r´eseau avec leurs mod`eles correspondants, en se concentrant sur le diam`etre, le co- efficient de classification et le degr´e de distribution des graphes.
Le mod`ele de r´eseau en boucle de treillis :
Des mod`eles d´etermin´es et simples de la topologie des graphes sont donn´es au treillis, un r´eseau o`u les nœuds sont connect´es selon des mod`eles semblables au r´eseau r´eguliers. Le r´eseau en boucle de treillis (ou le treillis unidimen- sionnel) appartient `a cette classe de graphes. Il est produit en arrangeant logiquement des nœuds dans un anneau et connectant chaque nœud avec les ” m ” nœuds les plus proches dans l’anneau.
Les nœuds dans des r´eseaux de treillis sont fortement connect´es en local et donc le coefficient de classification est haut. D’autre part, le chemin le plus court connectant deux nœuds g´en´eriques dans le r´eseau est en moyenne long. Par cons´equent le diam`etre est haut.
Le mod`ele de r´eseau al´eatoire :
Un processus arbitraire de cr´eation d’arˆetes produit un graphe al´eatoire dont le degr´e de distribution finale d´epend de la nature du processus stochastique. Parmi plusieurs processus al´eatoires ´etudi´es dans la mod´elisation des graphes de r´eseaux [19], le plus connu est celui `a la base de l’Erd¨os R´enyi (ER) des graphes [48, 49].
Un graphe ER peut ˆetre produit suivant un nombre de nœuds n et une probabilit´e d’attachement p. Le graphe est produit par un processus sans m´emoire attachant chaque paire de nœuds avec la probabilit´e p.
La probabilit´e qu’un nœud ait le degr´e k est donn´ee par la distribution binomiale :
P (k) = n − 1 k
pk(1 − p)n−1−k
Et comme n augmente, le degr´e de la distribution `a tendance `a une distribu- tion de Poisson :
P (k) ≈ e−n.p n.p k!
Ce qui signifie que la gamme de variabilit´e de degr´e de nœud est relative- ment faible. La connectivit´e globale du graphe d´epend alors des valeurs de n
et de p, `a la suite d’un comportement de seuil. Pour n · p < 1, le graphe sera probablement d´ebranch´e, avec une complexit´e de O(log(n)). Alors que si le seuil n · p = 1 le graphe aura un composant fortement connect´e d’une taille autour de n23. Finalement, si n · p > 1, le graphe aura un immense composant
fortement connect´e contenant la grande majorit´e des arˆetes. Le composant immense du graphe ER a de tr`es petits diam`etres et un faible coefficient de classification. Cela signifie que le r´eseau peut ˆetre traverser dans quelques ´etapes mais son nœud aura tendance `a ne pas former des groupes bien re- connaissables.
Le mod`ele small-world (Watts-Strogatz) :
Plusieurs r´eseaux pr´esentent les caract´eristiques qui sont entre des graphes al´eatoires et r´eguliers. En particulier, ils exposent un petit diam`etre et une classification importante. Par exemple dans des r´eseaux sociaux, des groupes sont fortement group´es mais deux individus g´en´eriques sont sur la moyenne s´epar´ee par un faible nombre d’´etapes dans le r´eseau de connaissance.
Pour mod´eliser ce ph´enom`ene de ”petit monde”, Watts et Strogatz [133] ont propos´e un mod`ele (WS) bas´e sur une strat´egie de raccourci sur des r´eseaux en boucle de treillis.
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Etant donn´e un graphe d’anneau treillis, chaque arˆete du nœud i est rem- plac´ee par une probabilit´e p avec une nouvelle arˆete qui est raccord´e avec un crit`ere diff´erent choisi au hasard parmi les nœuds dans V \Γ(i). Comme la probabilit´e p augmente, les macros caract´eristiques du graphe changent d’une fa¸con ax´ee sur le seuil. Approximativement, si p ∈ [0, 10−3) le graphe pr´eserve toujours les caract´eristiques principales de l’anneau de treillis et si p est plus de 10−1 la forme du graphe devient semblable `a la configuration ER. Dans l’intervalle [10−3, 10−1] le graphe assume les petites propri´et´es d´esir´ees. Particuli`erement, si on le compare avec un graphe al´eatoire de mˆeme taille, ce petit graphe a une distance moyenne plus courte, mais un plus fort coef- ficient de classification.
Le mod`ele scale free (Barab´asi-Albert) :
Les graphes de watts-Strogatz reproduisent bien la distance moyenne et la classification de beaucoup de r´eseaux r´eels. Cependant, ils ne peuvent pas modeler leur distribution, qui est beaucoup plus large dans des r´eseaux r´eels. Pour r´esoudre ce probl`eme, Barabasi et Albert [12] ont propos´e le mod`ele d’attachement pr´ef´erentiel de la croissance d’un r´eseau.
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Etant donn´e un r´eseau al´eatoire initial avec des nœuds m0 et c un degr´e sup´erieur `a 1, le mod`ele d’attachement pr´ef´erentiel enrichi le graphe en ajou- tant un nouveau nœud et en le connectant au nœud m < m0 avec une probabilit´e proportionnelle au degr´e des nœuds existants.
Plus sp´ecifiquement, la probabilit´e de connexion avec un nœud existant i est :
pi = ki
P
jkj
Le ”riche devient plus riche”, cette strat´egie est semblable au processus de croissance des r´eseaux r´eels. Par exemple,le graphe de World Wide Web, o`u ces pages tr`es populaires sont li´ees par de nouvelles pages avec une probabilit´e beaucoup plus importante que des pages impopulaires.
La distance moyenne dans le mod`ele de Barabasi-Albert (BA) croit loga- rithmiquement avec la taille du r´eseau :
hli = ln ln|V |ln|V |
Le coefficient de classification est plus important que le graphe ER avec une taille ´equivalente. Le degr´e de distribution de BA suit une loi de puissance ayant la forme suivante :
p(k) = c · k−α
Les deux mod`eles BA et WS ´echouent la mod´elisation de quelques macros propri´et´es statistiques des r´eseaux r´eels. N´eanmoins, de tels mod`eles ont donn´e une contribution sans prix `a l’´etude et `a la mod´elisation des r´eseaux complexes. Ils ont fourni des abstractions utiles pour la comparaison des propri´et´es des syst`emes diff´erents.