Principe de reconstruction d’image

En plus du bruit interne, les donn´ees du d´etecteur contiennent la projection de toutes les sources pr´esentes dans le champ de vue. ces sources peuvent ˆetre diffuses comme le fond dif- fus cosmologique (CXB) ou ponctuelles (source Sco-X1, sursaut gamma). Le d´efi de l’imagerie `

a masque cod´e est de s´eparer les diff´erentes sources et de pouvoir les localiser finement. La d´econvolution qui est effectu´ee apr`es la soustraction du fond, est bas´ee sur la corr´elation des donn´ees du d´etecteur avec le tableau issu du motif du masque, ce qui permet d’obtenir l’image

reconstruite du ciel o`u les pics correspondent aux positions des sources. Dans cette section est pr´esent´ee de fa¸con d´etaill´ee le principe de localisation pour ECLAIRs (Gros, 2014).

Afin de pouvoir reconstruire une image du ciel et localiser les sources pr´esentes dans le champ de vue d’ECLAIRs, il faut effectuer plusieurs ´etapes :

— correction des donn´ees et soustraction du bruit de fond, — d´econvolution de l’image du d´etecteur,

— identification des sources, — ajustement de la localisation.

Correction des donn´ees et soustraction du bruit de fond. Pour permettre une bonne reconstruction du ciel, il faut effectuer plusieurs corrections pr´eliminaires sur les donn´ees du d´etecteur. Il faut prendre en compte :

1. l’efficacit´e des pixels du d´etecteur. 2. la forme du bruit de fond.

On doit d’abord effectuer une correction par l’efficacit´e des pixels : les pixels du d´etecteur n’ont pas tous la mˆeme qualit´e. La matrice E est la matrice d’efficacit´e du d´etecteur. Les valeurs de cette matrice varient entre 0 (pixel mort) et 1 (pixel parfait). Les matrices D et DE sont les

matrices de coups enregistr´es sur le d´etecteur avant et apr`es correction.

Selon une distribution poissionienne, pour chaque pixel du d´etecteur (k,l) on a :      DE(k, l) = D(k,l)_E(k,l) et VarDE(k,l) = D(k,l) E(k,l)2 , si E(k, l) > 0 , DE(k, l) = 0, si E(k, l) = 0. (2.36)

Dans les m´ethodes standard, cette correction est impl´ement´ee mais elle n’est pas test´ee dans mes travaux de th`ese. Ainsi, E = 1 pour tous les pixels du d´etecteur.

Ensuite, on doit prendre en compte la forme du bruit de fond. La correction apport´ee `a la matrice des coups du d´etecteur due `a la forme du bruit de fond est DBE :

DBE(k, l) = DE(k, l) − f · B(k, l) (2.37)

avec B, le mod`ele du bruit de fond, f la constante de normalisation (par exemple par rapport au pas de temps). La variance de la correction du bruit de fond, calcul´ee ci-dessous devrait prendre en compte la variance de f , mais ´etant donn´ee que cette contribution est n´egligeable, on obtient :

VarDBE(k,l) =

D(k, l)

E(k, l)2 (2.38)

D´econvolution de l’image du d´etecteur. Du fait du rapport m/d=2.6, le masque re- dimensionn´e M poss`ede 120 par 120 ´el´ements alors que le masque physique Mphys poss`ede 46

par 46 ´el´ements (voir figure 2.14). Les pixels du masque redimensionn´e poss`edent des valeurs comprises en 0 et 1.

La d´econvolution de la matrice des coups enregistr´es sur le d´etecteur n´ecessite en premier lieu la construction de deux matrices de d´econvolution : G+ et G−, qui sont obtenues `a partir du motif du masque redimensionn´e :

G = 2 M − 1, G(i, j)  [−1, 1] (2.39) G+=    G, si M > 0.5 0, si M < 0.5 G− =    G, si M < 0.5 0, si M > 0.5 (2.40)

avec M le motif du masque redimensionn´e sur la grille du d´etecteur. G+ d´efinit les pixels du masque qui sont ouverts `a plus de 50 % (une fois rebinn´e sur le pas de grille du d´etecteur). Dans

Figure 2.14 – Motif du masque d’ECLAIRs Mphys (`a gauche) et son redimensionnement pour

la d´econvolution M (`a droite).

la d´econvolution on comptabilise ces pixels comme  ouverts  au passage de photons d’une

source. G− d´efinit les pixels du masque qui sont ouverts `a moins de 50 %. On les comptabilise comme ferm´es au passage de photons d’une source.

En ayant construit les matrices de d´econvolution G+ _{et G}−_{, on est capable de reconstruire}

l’image du ciel comme d´ecrit par Goldwurm et al. (2003).

On obtient l’image reconstruite du ciel pour chaque pixel du ciel (i,j)8 _:

ciel(i, j) = [G

+_{∗ D}

BE] (i, j) − B(i, j) · [G−∗ DBE] (i, j)

A(i, j) (2.42)

avec A la matrice de normalisation qui assure la reconstruction correcte de flux des sources et B une matrice de pond´eration (d´efinies dans Goldwurm et al. 2003).

La variance associ´ees `a l’image reconstruite est calcul´ee `a partir de la variances des donn´ees corrig´ees en utilisant les formules de propagation des erreurs.

Identification des sources

La r´eponse d’un syst`eme d’imagerie `a une source ponctuelle est appel´eefonction d’´etalement

du point  ou PSF (Point Spread Function). Dans le cas d’une imagerie `a masque cod´ee,

elle consiste en un pic principal `a la position de la source, accompagn´e g´en´eralement par des structures de moindre importance (coding noise) dues aux d´etails du motif du masque et aux proc´edures de d´econvolution (Gros et al., 2003).

La r´esolution angulaire est donn´ee par la projection angulaire d’un ´el´ement du masque. En prenant en compte la d´econvolution, la largeur du pic `a mi-hauteur (FWHM) de la PSF est donn´ee par : FWHMPSF ' arctan √ m2_{+ d}2 H ! (2.43)

8. Par exemple, le produit de convolutionG+∗ DBEest donn´e pour un pixel du ciel (i,j) en notant les pixels

du d´etecteur (k,l) par la formule :

[G+_{∗ D}BE](i, j) =

X

(k,l)

Pour l’instrument ECLAIRs, FWHMPSF = 54 minutes d’arc, ce qui correspond `a environ deux

fois la taille angulaire d’un pixel du ciel.

Localisation

On cherche `a obtenir une pr´ecision de localisation des sources la plus fine possible, pour une pr´ecision bien meilleure que la largeur de la PSF. Les m´ethodes standard emploient un ajuste- ment d’une gaussienne 2D (avec les param`etres : position en 2D, largeur, normalisation) dans l’image reconstruite au niveau des pics de la source. La largeur de la gaussienne 2D appliqu´ee sur les pics des sources dans l’image est fixe et est proche de la largeur de la PSF. L’erreur de localisation de la source (PSLE) mesure la diff´erence angulaire entre la position vraie de la source et la position du maximum de la gaussienne ajust´ee. Elle d´efinit que pour une source `a SNR donn´ee, quelque soit sa position dans le champ de vue, sa vraie position se trouve dans 90 % des cas dans un cercle de rayon donn´e par la PSLE autour de la position ajust´ee. La courbe PSLE est calibr´ee `a partir des donn´ees simul´ees (Skinner, 2008) et exprim´ee par la formule :

PSLE_' K

SNR, K est une constante (2.44)

Des simulations plus pr´ecises ont ´et´e effectu´ees pour la prise en compte des effets de non- alignements et d´eformations pr´esents dans le syst`eme masque-d´etecteur (Gros et al., 2016a). N´eanmoins, la d´egradation introduite est n´egligeable pour des sources faibles, telles qu’attendues au niveau des algorithmes embarqu´es pour des sources d´etect´ees proche des seuils en SNR d´efinis pour les alertes. Un affinage de la localisation pour des sources fortes sera possible au sol en tenant compte de ces effets.