Param`etres spectraux - Simulations de donn´ees ` a partir des catalogues existants

4.2 Simulations de donn´ees ` a partir des catalogues existants

4.2.4 Param`etres spectraux

Une fois l’analyse temporelle effectuée, qui comprend le traitement du bruit de fond et la détermination de la durée du sursaut, il faut étudier le spectre du sursaut gamma.

Plusieurs étapes sont effectuées pour déterminer au mieux les paramètres qui caractérisent le spectre du sursaut.

Définition des différents modèles spectraux

Il existe plusieurs types de mod`eles spectraux pour ajuster le spectre Nj mesur´e dans l’in-

tervalle de temps j (voir section 2.2). Ces modèles spectraux se différencient suivant le nombre de paramètres à étalonner.

1. Loi de puissance simple PLAW : modèle à deux paramètres

N (E) = A E Epiv λ . (4.19) 2. https ://heasarc.gsfc.nasa.gov/ftools/caldb/help/batgrbproduct.html 3. version 4.0rc1 http ://fermi.gsfc.nasa.gov/ssc/data/analysis/rmfit/

T

₉₀

, Sakamoto (2011)

T

,

cal

cul

é

T

₉₀

, Sakamoto (2011)

T

₉₀

, Sakamoto (2011)

Figure 4.3 – T90calculé sur la durée de l’analyse temporelle des données BAT, soit 600 secondes

T_90,sakamoto= 78s T_90,calculé= 168s GRB 050717 T_90,sakamoto= 37s T_90,calculé= 92s GRB 080804

Figure 4.4 – Courbes de lumière des deux sursauts dont le T90 calculé présente le plus d’écart

o`u A est l’amplitude (exemple en ph/cm2_{/keV/s) et λ est l’indice spectral (ou pente).}

L’énergie de pivot (Epiv) normalise le modèle par rapport à la bande d’énergie sensible

de l’instrument considéré (exemple 50 keV pour Swift, 100 keV pour Fermi ). Ce modèle est utilisé quand le signal est faible et/ou que l’énergie de coupure ne peut pas être déterminée correctement.

2. Modèle Comptonized4 COMP : modèle à trois paramètres

N (E) = A E Epiv α exp −(α + 2)E Epeak . (4.20)

où A est l’amplitude, α est l’indice spectral de basse énergie et Epeak est l’énergie de pic

du spectre. Le modèle COMP est une loi de puissance avec coupure exponentielle. C’est une version dégradée du modèle BAND décrite ci-dessous.

3. Modèle LOG parabolique (Log10Gaussien GLOG) : modèle à trois paramètres

N (E) = √A

2πs exp "

−1 2

log₁₀(E)− log10(Ecen)

. (4.21)

où A est l’amplitude, Ecen est l’énergie centro¨ıde, s est la déviation standard par rapport

a Ecen en décades d’énergies. En représentation log-log, ce modèle correspond à une

parabole. Il est utilisé pour décrire le spectre des BL Lacertae (type de galaxie active, qui présente une variation importante du rayonnement émis ainsi qu’une polarisation forte). Ce modèle a été appliqué pour la première fois aux sursauts gamma par Massaro et al. (2010).

4. Modèle de Band BAND : modèle à quatre paramètres

N (E) = A        E Epiv α

exph−(α+2)E_E_peak i pour E≤ (α−β)Epeak

α+2 ,

E Epiv

exp (β_{− α)} h(α−β)Epeak

(α+2)Epiv

iα−β

pour E > (α−β)Epeak

α+2 .

(4.22)

où A est l’amplitude, α et β sont les indices spectraux à basse et haute énergie, Epeak est

l’énergie de pic du spectre. La fonction se décrit comme une loi de puissance brisée dont la courbure est définie par ses deux indices spectraux. La fonction de Band (Band et al., 1993) est le modèle de référence pour caractériser les spectres des sursauts (voir 1.1.3). On peut noter que le modèle COMP est une fonction de Band dont l’indice β tend vers − ∝. Il épouse la forme du spectre lorsque (Epeak/(2 + α) ≡ Ec≡ E0) se rapproche du

seuil haut de la gamme de sensibilité de l’instrument, et que β utilisé dans le modèle de Band ne peut pas être déterminé.

5. Loi de puissance bris´ee avec une transition douce (smoothly broken power

4. Le nom est tiré d’un modèle physique (comptonisation dans la couronne d’un disque d’accrétion) mais qui n’est pas à l’œuvre dans les sursauts gamma.

law SBPL) : modèle à cinq paramètres N (E) = A E Epiv b 10 a apiv _avec _(4.23) a = m ∆ lne q_{+ e}−q 2 , apiv = m ∆ ln eqpiv _{+ e}−qpiv 2 , q = log E/Eb ∆ ,

qpiv = log Epiv

/Eb ∆ , m = λ1− λ2 2 , b = λ1+ λ2 2 .

o`u A est l’amplitude, λ1 et λ2 sont les indices spectraux de basse et haute ´energie, Eb

est l’énergie de coupure, ∆ est l’échelle de coupure en décades d’énergies. Ce modèle est caractérisé par une coupure flexible et courbe pour les transitions douces entre la partie basse et haute énergie du spectre. Il a été établi par Ryde (1999) mais sa version définitive a été élaborée par Kaneko et al. (2006). La différence principale entre le modèle de BAND et le modèle SBPL est que l’échelle de coupure n’est pas corrélée aux indices spectraux. Par ailleurs, quand ∆ tend vers 0, le modèle est réduit à une loi de puissance nettement brisée (en anglais sharply broken power law ).

La table 4.3 détermine la mesure Epeak suivant les différents modèles présentés ci-dessus.

Mod`ele Epeak

PLAW -

COMP Epeak

GLOG Ecene2(log s)

BAND Epeak

SBPL Eb10∆ tanh

−1₍λ1+λ2+4 λ1−λ2 )

Table 4.3 – Estimation du Epeak suivant les diff´erents mod`eles spectraux

Mod`ele spectral normalis´e

Par la suite, il sera utile de normaliser ces modèles spectraux en distinguant d’une part l’amplitude et l’énergie caractéristique du spectre (donnée par Epeak) et d’autre part sa forme :

N (E)_{≡ ˜}K _{× ˜}B E Epeak , (4.24) avec : Z ∞ 0 x ˜B(x) dx = 1 .

L’avantage de cette convention est que le flux bolom´etrique s’´ecrit alors :

Fbol =

Z ∞

Ainsi, pour le mod`ele de Band, on obtient : ˜ B(x) = A˜_×    xα_e−(α+2) x _{pour x}_{≤ x} b, xβeβ−αxα_b−β pour x > xb, (4.26) xb = α_{− β} 2 + α, (4.27) (4.28) avec : 1 ˜ A = Z x_b 0 x(α+1)e−(α+2) xdx − eβ−α β + 2 × x α+2 b .

Choix du meilleur mod`ele spectral

Il faut choisir le modèle spectral qui épouse au mieux le spectre du sursaut. Différentes méthodes ont été mises en oeuvre pour déterminer le meilleur modèle spectral.

1. Sursauts BATSE procédure détaillée dans Goldstein et al. (2013) et Kaneko et al. (2006) : l’analyse spectrale de l’ensemble des données (liste d’événements) des sursauts a été réalisée par l’équipe BATSE en utilisant le logiciel RMFIT. Une première étape consiste à convertir en photons le spectre en coups, via les fichiers DRMs ( De-

tector response matrix) qui tiennent compte de l’aire efficace en fonction de l’´energie,

de la dispersion spectrale, de la non-linéarité du détecteur et de la direction des photons incidents. On applique à chaque bin du spectre ce coefficient de conversion pour retrou- ver le spectre incident du sursaut et décorrélé des artéfacts instrumentaux. À partir du spectre en photons, on ajuste au mieux les paramètres des modèles. Pour cela, l’indicateur d’ajustement χ2 doit être le plus petit possible.

Parmi ces modèles considérés comme valides, on choisit comme modèle par défaut celui qui a le moins de paramètres libres. On doit ensuite déterminer si un modèle ayant un nombre supérieur de paramètres convient mieux. Pour cela, on compare leur χ2. Si la différence des χ2 _{est supérieure `}_{a 6, alors le modèle ayant un paramètre de plus est}

considéré comme le meilleur modèle spectral. On réitère le processus si nécessaire. Bien que la méthode soit détaillée dans Goldstein et al. (2013), le meilleur modèle spectral de chaque sursaut n’a pas été publié. De ce fait, nous avons dû appliquer cette méthode `

a l’ensemble des donn´ees BATSE.

Les analyses spectrales décrites ci-dessous ont été effectuées en prenant un spectre intégré en temps : on détermine les paramètres spectraux du sursaut en utilisant l’ensemble des coups enregistrés sur la durée totale du sursaut. En d’autres termes, on considère que la forme spectrale du sursaut n’évolue pas au cours du temps. Cependant, pour les sursauts les plus brillants, il est possible de diviser le sursaut en différents intervalles. Pour chacun de ces intervalles, on effectuera une étude spectrale. Ce travail a été réalisé par Kaneko et al. (2006) sur les 350 sursauts BATSE les plus brillants. En utilisant les analyses spectrales effectuées sur les différentes parties de chaque sursaut présenté dans Kaneko et al. (2006), nous avons également appliqué la méthode de sélection du meilleur modèle. 2. Sursauts HETE-2 : L’analyse spectrale des sursauts vus par HETE-2 a été réalisée par Pélangeon et al. (2008) dans le cadre de sa thèse sous la direction de Jean-Luc Atteia (IRAP). Ce dernier m’a fait parvenir ensuite les résultats.

Le logiciel Xspec5 _{développé par la NASA est également utilisé pour déterminer les}

valeurs des param`etres spectraux de chaque mod`ele. On convertit aussi les spectres coups

en photons via les fichiers DRMs. On détermine ensuite les paramètres des modèles retenus COMP (A, λ, Epeak) et BAND (A, α, β, Epeak) : on choisit de privilégier des

mod`eles avec un Epeak. Dans certains cas, le α, indice spectral de basse ´energie (c.a.d

λ pour COMP) ne peut pas être déterminé car la cassure en Epeak est située près du

seuil de basse énergie à 6 keV : on fixe alors une valeur par défaut de -1. Pour d’autres cas, c’est le β du modèle de BAND, indice spectral de haute énergie qui ne peut pas être déterminé. On le fixe par défaut à -2.3. On effectue ensuite l’étape de validation des modèles spectraux suivant la même méthode que les sursauts BATSE.

La détermination du meilleur modèle spectral utilise la même procédure que pour les sursauts BATSE : on choisit un modèle avec un nombre de paramètres N si la différence des χ2 est supérieure à 6 entre ce dernier et celui avec un nombre de paramètre N-1. 3. Sursauts Swift procédure détaillée dans Sakamoto et al. (2011) : Le logiciel

Xspec est utilisé pour déterminer les valeurs des paramètres spectraux de chaque modèle. On effectue la conversion photons-coups en utilisant les propriétés du détecteur via les matrices de réponses DRMs. À partir du spectre en photons, on ajuste au mieux les paramètres des modèles. Etant donnée la faible étendue de la gamme spectrale, on ne considère que les deux modèles les plus simples : PLAW (A, λ) et COMP (A, λ, Epeak).

La procédure employé pour les sursauts Swift est la même que pour les sursauts BATSE. Un modèle sera considéré comme valide suivant plusieurs critères : si un χ2_{, aussi petit}

que possible. De plus, l’erreur sur l’indice spectral de basse énergie doit être inférieure `

a 0.4 ; l’indice de haute énergie inférieure à 1.0 et pour tous les autres paramètres, une erreur relative de 0.4 ou moins.

A partir du modèle spectral comportant le moins de paramètres ajustables, on compare son χ2 par rapport à celui du modèle ayant un nombre de paramètres supérieurs d’une unité. Si la différence des χ2 _{est supérieur `}_{a 6, alors le modèle ayant un paramètre de}

plus est considéré comme le meilleur modèle spectral.

4. Sursauts GBM procédure détaillée dans Gruber et al. (2014) : L’analyse spectrale de l’ensemble des données (liste d’événements) des sursauts a été réalisée par l’équipe GBM en utilisant le logiciel RMFIT6_{. On effectue la conversion photons-coups en utili-}

sant les propriétés du détecteur via les matrices de réponses DRMs.

Ensuite, chaque modèle spectral est appliqué. L’ajustement des paramètres du modèle est réalisé en utilisant l’indicateur Castor C-statistique (C-Stat), qui est une fonction de vraisemblance logarithmique basée sur le paramétrage Cash (Cash, 1979). Cet indicateur s’applique mieux aux statistiques non gaussiennes (taux de comptages faible) que l’indicateur χ2 utilisé habituellement. Pour les forts taux de comptage, C-Stat et χ2 sont équivalents. Un modèle spectral est jugé comme valide (il peut décrire correctement le spectre) si l’ensemble de ses paramètres respecte certaines conditions : l’erreur sur l’indice spectral de basse énergie doit être inférieure à 0.4 ; l’erreur de l’indice de haute énergie inférieure à 1.0 et pour tous les autres paramètres, une erreur relative de 0.4 ou moins. Tous les modèles passant ces critères peuvent être retenus.

Parmi les modèles valides, Gruber et al. (2014) détermine ensuite le meilleur modèle. Pour cela, on commence d’abord par prendre par défaut comme meilleur modèle, celui qui a le moins de paramètres ajustables (ici PLAW). On compare l’indicateur C-Stat et le nombre de degrés de liberté de ce dernier à l’indicateur et au nombre de degrés de liberté d’un modèle ayant un nombre de paramètres ajustables supérieurs (∆ C-Stat). On doit valider l’hypothèse H0 (utiliser un modèle simple) ou accepter l’hypothèse H1 (modèle plus complexe). Pour cela, il est créé un ensemble de milliers de spectres synthétiques à

partir de modèles spectraux dont les paramètres ont été ajustés (on part du modèle le plus simple). À ces spectres, on effectue la conversion photons-coups via les DRMs. On y ajoute ensuite un bruit poissonnien. On effectue à nouveau une analyse spectrale utilisant l’indicateur C-Stat sur ces spectres simulés (on applique un modèle simple simple et un modèle ayant un paramètre de plus à étalonner). On définit à partir de la distribution des ∆ C-Stat des spectres simulés, un ∆ C-Stat-critique (> 3 σ). Si le ∆ C-Stat du modèle de départ est supérieur au ∆ C-Stat-critique, alors le modèle plus complexe est préféré. On réitère la procédure et ainsi de suite. Cette procédure a été testée sur quatre sursauts particuliers pour déterminer les ∆ C-Stat-critiques : ∆ C-Stat-critique pour PLAW et COMP, ∆ C-Stat-critique pour COMP et BAND, ∆ C-Stat-critique pour BAND et SBPL. Pour le restant des sursauts, on compare simplement leur ∆ C-Stat obtenu après un ajustement d’un modèle avec le ∆ C-Stat-critique. Dans la limite des grands taux de comptage, cette procédure se ramène à l’utilisation du χ2_.

5. Sursauts vus par Swift+GBM/Konus procédure détaillée dans Heussaff (2015) Certains sursauts ont été vus par plusieurs instruments tels que Swift/GBM ou Swift/Konus. La mission Swift permet de mesurer un grand nombre de décalages vers le rouge. Ce- pendant, sa couverture spectrale de [15-150] keV ne permet pas de décrire précisément le spectre du sursaut : il n’y pas de contraintes sur Epeak et β. À l’inverse, GBM et

Konus possèdent des couvertures spectrales plus étendues (respectivement 8-1000 keV et 10-10000 keV) et ainsi, permettent une analyse spectrale plus performante. Ce sous- échantillon de sursauts collecté par Vincent Heussaff (IRAP) dans le cadre de sa thèse, possédant un redshift mesuré et une bonne description spectrale est très utile pour les analyses de performances de détection.

La table 4.4 récapitule le meilleur modèle spectral choisi pour chaque sursaut pour les différents catalogues. Lorsque nous comparons la statistique du meilleur modèle selon nos ap- proches spectrales avec celles publiées (notamment pour les catalogues (K) et (G)), nous n’obte- nons pas les mêmes pourcentages, ce qui laisse entendre que des critères d’examen visuel ont été effectués par les collaborations. La table met en évidence que certains catalogues ne disposent que d’une description spectrale limitée (par exemple BAT) ce qui aura une influence sur nos résultats de simulations de performance.

Instruments Catalogue Total PLAW COMP BAND SBPL GLOG BATSE G 2037 490(24%) 905(44%) 71(4%) 57(3%) 514(25%) BATSE K 8442 416(5%) 5071(60%) 2869(34%) 86(1%) - HETE-2 H 58 - 32(55%) 26(45%) - - Swift S 391 329(84%) 62(16%) - - GBM F 783 209(27%) 445(57%) 74(9%) 55(7%) - Swift+Konus-GBM S-FW 84 - 23(27%) 61(73%) - -

Table 4.4 – Détermination du meilleur modèle spectral suivant les différents catalogues.

Dans le document La détection des sursauts gamma par le télescope ECLAIRs pour la mission spatiale SVOM (Page 99-106)