5.4 M´ethode dynamique
6.1.3 Bilan des incertitudes
Je vais quantifier dans cette section les diff´erentes sources d’incertitude associ´ees `a l’efficacit´e de d´etection d’un sursaut gamma, GRB. On recense deux grandes sources d’incertitudes :
— li´ees aux propri´et´es spectrales et temporelles (ce qui affecte aussi bien l’approche statique que l’approche dynamique),
— li´ees aux erreurs statistiques introduites par les tirages dans le mod`ele Monte-Carlo (ce qui affecte uniquement l’approche dynamique).
Ensuite j’en d´eduirai l’incertitude associ´ee `a l’efficacit´e de d´etection pop d’une population de
sursauts.
Sources d’incertitudes
Incertitude sur les param`etres d’entr´ee des sursauts gamma. Le fait que la mesure des propri´et´es d’un sursaut publi´ees dans un catalogue soit entach´ee d’erreur se traduit par une incertitude sur l’efficacit´e de d´etection GRB par ECLAIRs :
— param`etres spectraux (voir section 4.2.4). L’incertitude sur ces param`etres peut ˆetre assez grande ; en particulier elle est importante pour les sursauts faibles,
— profil de la courbe de lumi`ere. L’incertitude est ici principalement li´ee `a la d´elicate ques- tion de la soustraction du bruit de fond pr´esent´ee dans la section 4.2.3.
Je vais pr´esenter ci-dessous ma d´emarche pour estimer l’incertitude correspondante sur l’ef- ficacit´e de d´etection GRB :
— Influence des incertitudes sur les param`etres spectraux. J’ai utilis´e trois sursauts gamma repr´esentatifs du catalogue BATSE (GRB000101 7929, GRB000103 7932 et GRB000111 7943), qui correspondent `a des niveaux de d´etection vari´es dans ECLAIRs. Ils ont respectivement comme meilleur mod`ele spectral les mod`eles COMP, COMP et GLOG.
Pour chaque sursaut, j’ai g´en´er´e 20 listes de photons (temps d’arriv´ee et ´energie, voir chapitre 5) en gardant constantes la position dans le champ de vue d’ECLAIRs et la loi de probabilit´e des temps d’arriv´ee (profil de la courbe de lumi`ere) mais en changeant `a chaque r´ealisation la loi de probabilit´e des ´energies des photons, qui est reli´ee au spectre (voir section 4.2.4 et la table 6.1). Pour cela, j’ai tir´e au hasard les param`etres spectraux avec une loi normale (α,Epeak) utilisant la moyenne et la variance de chaque param`etre
donn´ees dans le catalogue d’entr´ee.
Pour chacun des trois sursauts, en utilisant les diff´erentes listes de photons produites, j’ai r´ealis´e plusieurs simulations dynamiques. L’histogramme du SNR dans l’image pour chaque sursaut est repr´esent´e sur la figure 6.2. Pour les deux sursauts brillants (GRB000101 7929, GRB000103 7932), la variation du SNR aussi bien pour le trigger taux de comptage que le trigger image est de l’ordre de 2 `a 3. En ce qui concerne le sursaut faible GRB000111 7943, elle est de ∆SNR = 1.7.
Nom du sursaut COMP Amplitude (ph/cm2/keV/s) α E peak
GRB000101 7929 COMP 6.650 10−3± 6 10−6 −1.29 ± 0.01 587± 24.3
GRB000103 7932 COMP 6.406 10−3± 6 10−6 −1.40 ± 0.03 132± 3
Nom du sursaut COMP Amplitude (ph/cm2/keV/s) Ecen s
GRB000111 7943 GLOG 5.729 10−3± 2.18 10−3 21± 9 1.47± 0.27
Table 6.1 – Param`etres spectraux des trois sursauts utilis´es pour estimer l’incertitude sur l’efficacit´e de d´etection GRB du `a l’incertitude sur les param`etres spectraux.
Un changement de quelques unit´es du SNR pour les sursauts brillants n’aura aucune influence sur leur d´etection puisqu’ils sont d´etect´es avec un SNR dans l’image tr`es au- del`a du seuil. L’incertitude sur les param`etres spectraux ne peut donc avoir une influence sur GRB que pour les sursauts faibles avec un SNR situ´e `a quelques unit´es du seuil
d’alerte. La table 6.2 donne la fraction de sursauts d´etect´es par ECLAIRs dont le SNR dans l’image est proche du seuil1. La figure 6.1 montre l’histogramme des SNR dans
l’image des sursauts d´etect´es.
Figure 6.1 – Distribution du rapport signal sur bruit (SNR dans l’image) du trigger taux de comptage (not´e Otsigm ct , en pointill´e) et trigger image (not´e Otsigm img , en trait
plein) au niveau de l’alerte qui maximise le rapport signal sur bruit pour la population BATSE (en bleu) et Swift (en rouge).
Le pire des cas suppose qu’un sursaut avec un SNR compris entre le seuil NA = 6.5 et
NA+ ∆SNR avec ∆SNR = 1.7 passe sous le seuil pour certains tirages dans la loi de
probabilit´e des ´energie. En se reportant `a la table et en prenant une marge de ∆SNR = 2.5 (soit NA+ ∆SNR = 9 σ), la fraction maximale des sursauts en dessous de ce seuil (le cas
pire correspond aux sursauts Swift) est de 8 %. Dans ce pire des cas, nous aurons une perte de 8 % des sursauts d´etect´es par ECLAIRs. Nous fixons cette valeur ∆GRB= 0.08
comme valeur conservative pour l’incertitude li´ee aux param`etres spectraux.
— Influence des incertitudes sur le profil de la courbe de lumi`ere. J’ai utilis´e trois sursauts gamma (GRB000107- 7936, GRB000110 7942 et GRB000111 7943), repr´esentatifs du ca- talogue BATSE, qui correspondent `a des niveaux de d´etection vari´es dans ECLAIRs.
1. Pour chaque valeur de la table 6.2, on a pris la fraction maximale de sursauts d´etect´es en dessous d’un certain seuil.
Trigger 7932 Trigger 7929
Trigger 7943
Figure 6.2 – Distribution du rapport signal sur bruit (SNR dans l’image) du trigger taux de comptage et trigger image de trois sursauts BATSE dont la liste de photons a ´et´e g´en´er´ee 20 fois en changeant `a chaque r´ealisation la loi de probabilit´e des ´energies des photons (voir texte).
Pour chaque sursaut, j’ai g´en´er´e 20 listes de photons (temps d’arriv´ee et ´energie, voir chapitre 5) en gardant constantes la position dans le champ de vue d’ECLAIRs et la loi de probabilit´e des ´energies des photons mais en changeant la loi de probabilit´e des temps d’arriv´ee. Pour cela, j’ai chang´e le seuil de classement des photons en tant que bruit de fond, d’abord fix´e `a 0 σ puis 3.5 σ (voir section 4.2.3 et figure 6.3). Cet effet modifie uniquement le profil de la courbe de lumi`ere, la normalisation ´etant donn´e par le spectre. Pour chacun des trois sursauts, en utilisant les diff´erentes listes de photons produites, j’ai r´ealis´e plusieurs simulations dynamiques. La figure 6.4 montre les r´esultats de cette analyse pour deux sursauts BATSE (GRB000107- 7936, GRB000110 7942). L’´ecart en SNR est tr`es important au niveau du trigger taux de comptage : en effet, prendre un seuil `a 3.5 σ au lieu de 0 σ pour la suppression du bruit de fond, pour un mˆeme nombre de photons produits par le sursaut, r´epartira davantage ces photons sur les pics forts. Ainsi, le trigger taux de comptage aura plus de facilit´e `a d´etecter le sursaut. En revanche, l’´ecart est moins important pour le trigger image qui op`ere son analyse sur des tranches temporelles longues (`a partir de 20.48 s) : la structure fine du profil de la courbe de lumi`ere n’aura donc pas d’influence. Ainsi, l’utilisation d’un seuil `a 0 σ (telle qu’utilis´e aussi bien dans les simulations actuelles statiques et dynamiques) se positionne d´ej`a dans le cas le plus d´efavorable. Notre d´emarche permet d’ˆetre conservatif et nous ne tiendrons pas compte de cette incertitude dans le calcul de l’incertitude globale.
Incertitudes li´ees `a la m´ethode Monte-Carlo. Les simulations dynamiques sont bas´ees sur la m´ethode Monte-Carlo avec des tirages al´eatoires. Il y a alors des incertitudes suppl´ementaires `
Seuil Bruit de Fond:
3.5 σ
0 σ
Figure 6.3 – Exemple GRB000101 7929 : courbe de lumi`ere dans la bande d’´energie d’ECLAIRs, obtenue avec un seuil `a 3.5 σ puis `a 0 σ pour la suppression du bruit de fond.
Catalogues Fraction des sursauts d´etect´es de sursauts dont le SNR est en dessous de
7 σ 8 σ 9 σ 10 σ
BATSE 0.01 0.03 0.05 0.09
HETE-2 0.01 0.04 0.07 0.09
Fermi 0.01 0.03 0.05 0.07
Swift 0.02 0.05 0.08 0.11
Table 6.2 – Fraction des sursauts d´etect´es dans les simualtions dynamiques dont le SNR dans l’image est en dessous d’un certain seuil. On prend la fraction maximale entre les r´esultats du trigger image et du trigger taux de comptage.
— G´en´eration de la liste de photons. Pour estimer l’incertitude associ´ee `a ce tirage al´eatoire, j’ai utilis´e les trois sursauts BATSE (GRB000107- 7936, GRB000110 7942 et GRB000111 7943) de l’analyse pr´ec´edente. Pour chaque sursaut, j’ai g´en´er´e 20 listes de photons (temps d’ar- riv´ee et ´energie, voir chapitre 5) en gardant constant la position dans le champ de vue d’ECLAIRs, les lois de probabilit´e des temps et des ´energies des photons. La diff´erence entre les listes de photons est due uniquement `a l’effet du tirage al´eatoire.
La figure 6.5 montre la distribution du rapport signal sur bruit dans l’image de deux sursauts d´etect´es obtenus `a partir de vingt tirages de la liste de photons. La dispersion du SNR aussi bien pour le trigger taux de comptage que le trigger image est de l’ordre de 0.5 pour les sursauts GRB000107- 7936 et GRB000110 7942. D’apr`es la table 6.2, en utilisant le cas pire c’est `a dire les r´esultats pour les sursauts BAT, cette incertitude aura une influence au plus sur 2 % des sursauts des catalogues, ceux tr`es proches du seuil d’alerte. Cet effet est largement n´egligeable par rapport `a l’incertitude li´ee aux param`etres d’entr´ee des sursauts gamma.
Trigger taux de comptage Trigger image
Trigger 7936
Trigger 7942
Figure 6.4 – Distribution du rapport signal sur bruit (SNR) du trigger taux de comptage et image de deux sursauts BATSE dont la liste de photons a ´et´e g´en´er´ee 20 fois et dont on a extrait le profil de la courbe de lumi`ere en supprimant le bruit de fond avec un seuil fix´e `a 0 σ et 3.5 σ (m´ethode dynamique).
Trigger taux de comptage
Trigger 7936
Trigger 7942
Figure 6.5 – Distribution du rapport signal sur bruit (SNR) de deux sursauts BATSE dont la liste de photons a ´et´e g´en´er´ee 20 fois avec les mˆemes param`etres spectraux et le mˆeme profil temporel `a une position donn´ee dans le champ de vue (m´ethode dynamique).
de d´etection GRB est mesur´ee pour chaque pixel du ciel, ce qui permet de calculer
exactement la moyenne. Dans le cas de simulations dynamiques, nous tirons au hasard et isotropiquement une position sur le ciel. Le nombre de tirages a ´et´e limit´e `a Ntir = 70
positions, ce choix ´etant principalement guid´e par les exigences de temps de calcul. Pour ´etudier l’incertitude associ´ee `a cette discr´etisation assez grossi`ere, j’ai r´ealis´e un tirage de 1500 positions pour trois sursauts BATSE (GRB000107- 7936, GRB000110 7942 et GRB000111 7943). J’ai cr´e´e 15 lots de r´esultats dans chacun desquels le sursaut a ´et´e positionn´e `a 10, 20, 30, ..., 100 positions diff´erentes. J’ai ensuite calcul´e la moyenne et l’´ecart type entre ces lots (sur 15) et j’ai compar´e avec la moyenne calcul´ee `a partir de 1500 positions.
La figure 6.6 montre les r´esultats obtenus pour les sursauts de type BATSE : GRB000107- 7936, GRB000110 7942 et GRB000111 7943. La moyenne de l’efficacit´e GRB converge
vers celle obtenue avec 1500 positions apr`es avoir tir´e au minimum 50 positions. En re- vanche, mˆeme avec 70 positions, le nombre de tirages retenu dans nos simulations, la dis- persion reste ´elev´ee : nous adoptons la valeur conservative ∆GRB = 0.08, repr´esentative
de ce qui est observ´e pour l’incertitude du sursaut faible GRB000111 7943, mais qui sur- estime l’incertitude pour les sursauts forts. Cette valeur fixe l’erreur associ´ee au tirage li´e au Monte-Carlo. Nombre de tirages Trigger 7936 Trigger 7943 Trigger 7942
𝜖
𝐺𝑅𝐵𝜖
𝐺𝑅𝐵𝜖
𝐺𝑅𝐵Figure 6.6 – Efficacit´e de d´etection de trois sursauts gamma BATSE en fonction du nombre de tirages de leur position dans le champ de vue pour la m´ethode dynamique. Les lignes vertes correspondent `a la valeur moyenne (trait plein) sur 1500 positions et son incertitude associ´ee (trait pointill´e, calcul´e par GRB,1500pos/
√ 1500).
Bilan : incertitude sur GRB. En prenant en compte les incertitudes li´ees aux param`etres
d’entr´ees, on peut estimer que l’erreur associ´ee `a l’efficacit´e de d´etection GRB mesur´ee par
l’approche statique est de l’ordre de :
∆ GRB, stat= 0.08 (6.2)
qui provient de l’incertitude li´ee `a la mesure des param`etres spectraux.
Dans le cas de l’approche dynamique, il faut prendre aussi en consid´eration l’incertitude li´ee au tirage de la position dans le champ de vue. Ainsi, l’erreur associ´ee `a l’efficacit´e de d´etection GRB mesur´ee par l’approche dynamique vaut :
∆ GRB, dyn =
p
0.082+ 0.082 = 0.11 (6.3)
Calcul de l’incertitude sur l’efficacit´e de d´etection d’une population
Soit N le nombre de sursauts pr´esents dans la population synth´etique. Si l’efficacit´e de d´etection GRB,i de chaque sursaut est d´etermin´ee avec une incertitude ∆GRB,i, alors l’incerti-
tude absolue sur l’efficacit´e de d´etection de la population pop vaut :
∆pop= 1 N v u u t N X i=1 ∆2 GRB,i. (6.4)
L’incertitude relative correspondante vaut :
∆pop pop = q PN i=1∆2GRB,i PN i=1GRB,i . (6.5)
Id´ealement, on pourrait calculer ∆GRB,i pour chaque sursaut mais cela demanderait d’effec-
tuer un nombre tr`es important de simulations. `A partir de l’analyse qui pr´ec`ede, on majore l’incertitude par l’estimation conservative que nous avons obtenue :
∀i ∈ [1, N] , ∆GRB,i≤
0.08 (statique)
0.11 (dynamique) . (6.6)
En bornant ∆GRB,i par cette valeur ∆GRB, on obtient une incertitude de l’efficacit´e de
d´etection de la population pop :
∆pop ≤ 1 N v u u t N X i=1 ∆2GRB= ∆√GRB N , (6.7)
et une incertitude relative :
∆pop pop = √1 N ∆GRB pop . (6.8)
C’est cette incertitude qui est report´ee dans les r´esultats d’efficacit´e pr´esent´es ci-dessous. Typiquement pour le catalogue BATSE (N = 2000 et pop = 0.7), l’incertitude relative est de