Description du mod`ele

Mod`ele utilis´e

J’ai utilis´e le mod`ele de population synth´etique d’Amy Lien (Lien et al., 2014), calibr´e `a partir des sursauts Swift. On suppose que les sursauts observ´es par ECLAIRs auront pour la plupart les mˆemes caract´eristiques que de ceux d´etect´es par Swift. En effet, il y a une similarit´e dans la bande en ´energie et dans la technologie de l’instrument (spectro-imageur `a masque cod´e). De ce fait, si ce mod`ele de population poss`ede des erreurs syst´ematiques dues aux r´esidus des biais instruments, celles-ci ont moins d’influence qu’un mod`ele bas´e sur une population de sursaut vue par un instrument compl`etement diff´erent (exemple BATSE). `A partir du mod`ele, on peut g´en´erer des sursauts synth´etiques d’une plus grande diversit´e que ceux observ´es par Swift en terme de gamme de Epeak et de redshift. L’autre avantage de ce mod`ele est qu’il reproduit

taux de comptage et d’imagerie. Nous noterons que le processus d’imagerie est quant `a lui approxim´e pour r´eduire le nombre d’heures de calcul. Ainsi, nous pouvons comparer les efficacit´es de performance de d´etection de BAT et d’ECLAIRs sur une mˆeme population, ce qui est un r´eel avantage car on connaˆıt les r´esultats d’observation r´eelles de BAT.

Cette approche est une v´eritable alternative `a la population synth´etique cr´ee `a partir des catalogues existants. N´eanmoins, ce mod`ele ne r´epond pas forc´ement `a l’enjeu d’estimation du taux de production de sursauts gamma dans l’Univers. En effet, il est limitant de calibrer son mod`ele de population `a partir d’un seul instrument (ici Swift-BAT). Le mod`ele risque de ne pas bien contraindre la population de certains sursauts, peu pr´esents dans la population des sursauts d´etect´es : sursauts courts, sursauts riches en rayons X durs. De plus, la description spectrale des sursauts est limit´ee et ne permet pas d’avoir une mesure raisonnable du param`etre Epeak. Cela

risque aussi d’avoir une influence sur la normalisation du mod`ele.

Ainsi, dans le cadre du projet SVOM , un volet de la th`ese de Jesse Palmerio portera sur la construction d’un mod`ele de population et de l’´evaluation du taux de production de sursauts dans l’Univers (Palmerio, 2018). Ce dernier reprend les ´etudes pr´esent´ees dans Daigne et al. (2006) et sera calibr´e sur plusieurs catalogues. Il permet d’avoir une diversit´e plus riche de sursauts. Ce mod`ele ne pourra pas reproduire de fa¸con d´etaill´ee les algorithmes de d´etection de chaque mission. Lorsqu’il sera disponible, il pourra ˆetre utilis´e pour mener la mˆeme ´etude que celle pr´esent´ee ci-dessous.

D´efinition des distributions des propri´et´es intrins`eques des sursauts gamma

Je vais d´etailler ci-dessous les diff´erentes distributions des grandeurs caract´eristiques des sursauts gamma utilis´ees dans le mod`ele de population (Lien et al., 2014).

D´ecalage vers le rouge

Le taux apparent de sursauts gamma au redshift z vaut :

RGRB,obs(z) = 1 4π RGRB(z) 1 + z dV dz , (4.38)

o`u RGRB,obs(z) est le taux de sursauts par ´el´ement de volume comobile, et dV_dz l’´el´ement de

volume comobile. Le terme _1+z1 vient de la dilatation des temps entre le r´ef´erentiel de la source et celui de l’observateur. Le facteur _4π1 vient de l’isotropie de la distribution des sursauts gamma dans le ciel. L’´el´ement du volume comobile est donn´e par :

dV dz(z) = DH0×  DL 1 + z 2 × F (z) . (4.39)

o`u la distance de luminosit´e DLainsi que DH0 et F (z) ont ´et´e d´efinis dans la section 4.1.2. On

tire alors un redshift selon une densit´e de probabilit´e p(z) _{∝ R}GRB,obs(z). La forme du taux

comobile est tir´ee de Wanderman & Piran (2010). C’est une loi de puissance bris´ee : le taux de formation de sursauts augmente jusqu’`a z1, puis diminue.

RGRB(z) = RGRB(z = 0)×    (1 + z)n1_{, z ≤ z} 1, (1 + z1)n1−n2× (1 + z)n2, z > z1, (4.40) o`u RGRB(z = 0) = 0.42 Gpc−3.yr−1; n1 = 2.07 ; n2=−0.7 et z1 = 3.6.

Luminosit´e bolom´etrique au pic

On tire une luminosit´e bolom´etrique Lbol,peak rayonn´ee par le sursaut en utilisant la densit´e de

probabilit´e suivante : φ (Lbol)∝         Lbol Lbol? x , Lbol< Lbol?  Lbol Lbol? y , Lbol > Lbol?. (4.41)

o`u x =_{−0.65 ; y = −3.0 et L}bol?= 1052.05 erg/s.

Energie du pic du spectre Epeak

Dans le r´ef´erentiel de la source, on calcule Epeak,srcassoci´e `a la luminosit´e bolom´etrique Lbol,peak

`

a partir de la relation d´ecrite par Yonetoku et al. (2004). On obtient :

Epeak,src= 1.8 keV×  1 2.34 × 10 5_× Lbol,peak 1052_erg/s 0.5 = 372 keV Lbol,peak 1052_erg/s 0.5 . (4.42) `

A noter qu’A.Lien n’a pas pris en compte la dispersion de cette relation telle que d´ecrite par Yonetoku et al. (2004). D’autre part, la r´ealit´e de cette relation reste tr`es discut´ee en raison des nombreux biais de s´election (voir section 1.2.2 et Heussaff 2015). Ce point est donc une limitation du mod`ele consid´er´e.

Indices spectraux

Le mod`ele spectral utilis´e dans le cas de ce mod`ele de population est le mod`ele de Band (Band et al., 1993) (voir ´equation 4.22). On effectue un tirage des indices spectraux de basse et haute ´energie sur des distributions normales. La distribution pour l’indice de basse ´energie α suit une loi normale de moyenne µ = <sub>−0.87 et d’´ecart-type σ = 0.33. La distribution pour l’indice de</sub> haute ´energie β suivant une loi normale de moyenne µ =−2.36 et d’´ecart-type σ = 0.31. Si α > 2, on effectue `a nouveau le tirage. De mˆeme si α− β > 0, on effectue un nouveau tirage.

Spectre

Le mod`ele spectral utilis´e dans le mod`ele de population (Lien et al., 2014) est le mod`ele de Band (voir ´equation 4.26). `A partir des points pr´ec´edents, on a tir´e un Epeak et les indices spectraux

α et β. D’apr`es les d´efinitions des sections 4.1.2 et 4.2.4, on a alors pour le spectre intrins`eque au pic : P (E, t) = Lbol E2 peak,src × ˜B  E Epeak,src  , (4.43)

o`u le profil spectral normalis´e ˜B a ´et´e introduit dans la section 4.2.4. On v´erifie bien que :

Lbol= Z ∞ 0 L(E, t) dE = Z ∞ 0 E P (E, t) dE = Lbol Z ∞ 0 x _{× ˜}B (x) dx | {z } =1 . `

A partir des formules des sections ( 2.2 et 4.1.2), on calcule le flux en photons Npeak,12 observ´e

au pic dans la bande d’´energie de l’instrument [E1,obs, E2,obs] en ph/cm2/s, au redshift z selon

la formule suivante : Npeak,12 = (1 + z) 4 π D2 L × Lbol,peak Epeak,src ×

Z (1+z)E1,obs/Epeak,src

(1+z)E1,obs/Epeak,src

˜

B(x) dx [ph/cm2/s] . (4.44) Le spectre correspondant est le suivant :

¯ N (Eobs) = (1 + z)2 4 π D2 L × Lbol,peak E2 peak,src × ˜B (1 + z) Eobs Epeak,src  [ph/cm2/s/keV] . (4.45) Dans l’´equation 4.44, l’´energie Epeak,src au d´enominateur dans le pr´efacteur doit ˆetre convertie

en erg. Dans l’´equation 4.45, le terme E_peak,src2 au d´enominateur dans le pr´efacteur doit ˆetre d´ecompos´e en Epeak,src× Epeak,src, avec l’´energie Epeak,src convertie en erg uniquement dans le

premier terme.

Profil temporel normalis´e

J’ai utilis´e une biblioth`eque de courbes de lumi`ere de 142 ´el´ements construite par A.Lien et utilis´ee dans son mod`ele de population. Pour cela, cette derni`ere a stock´e l’ensemble des courbes

de lumi`ere de sursauts Swift dont le d´ecalage vers le rouge a ´et´e mesur´e. La soustraction du bruit de fond a ´et´e appliqu´e sur l’ensemble des courbes de lumi`ere (voir 4.2.3) avec un seuil de 3 σ. Ainsi, sont conserv´es uniquement les bins de temps dont le flux est situ´e `a plus de 3 σ de la ligne de base du bruit de fond. La courbe de lumi`ere a ensuite ´et´e dilat´ee pour revenir `a son profil originel dans le r´ef´erentiel de la source. Chaque courbe de lumi`ere a ensuite ´et´e normalis´ee par rapport au bin ayant le maximum de flux. On obtient finalement une courbe normalis´ee de la forme _{{ ˜}Ni}i∈[1,K] o`u chaque valeur est comprise entre 0 et 1. On utilise ici les notations de la

section 2.2 pour les intervalles de temps de i = 1 `a K. Notons que les dur´ees de chaque intervalle sont ici dans le r´ef´erentiel source (la connaissance du redshift permettant cette correction). La dur´ee des courbes de lumi`ere dans le r´ef´erentiel source varie de T90 = 2.16 secondes `a 658.2

secondes avec une distribution donn´ee par la figure 4.15.

On tire al´eatoirement un profil de courbe de lumi`ere de cette biblioth`eque. Courbe de lumi`ere

`

A partir de la courbe de lumi`ere normalis´ee et du flux au pic, on obtient la courbe de lumi`ere observ´ee suivante :

Ni,12= ˜Ni× Npeak,12 [ph/cm2/s] (4.46)

Naturellement, l’´echelle temporelle doit ˆetre multipli´ee par (1+z) pour revenir dans le r´ef´erentiel de l’observateur.

Distributions des grandeurs caract´eristiques du sursaut gamma

Les figures ci-dessous 4.14, 4.16 et 4.15 montrent les distributions des caract´eristiques des sursauts cr´e´es `a partir du mod`ele de population (Lien et al., 2014) :

— la luminosit´e bolom´etrique, — la dur´ee T90,

— l’´energie Epeak dans le r´ef´erentiel de l’observateur,

— la fluence dans la bande d’´energie d’ECLAIRs.

Nb

GRBs

Log₁₀(L_bol) [erg/s]

Figure 4.14 – Distribution normalis´ee de la luminosit´e bolom´etrique dans le r´ef´erentiel de la source selon le mod`ele de population.

Sur la figure 4.14, sont repr´esent´ees en bleue la distribution du mod`ele publi´e (Lien et al., 2014) et, en rouge, celle obtenue que j’ai obtenu en reproduisant ces r´esultats. On peut remarquer que cette distribution s’´etale entre 1047 _{erg/s et 10}53 _{erg/s. Les sursauts dont la luminosit´e}

bolom´etrique est en dessous de 1050_{erg/s ont ´et´e tr`es rarement observ´es : on ne peut pas savoir}

s’ils existent vraiment et en quelle quantit´e. Rappelons que la distribution repr´esent´ee dans la figure 4.14 est une distribution intrins`eque. Le sous-´echantillon de ces sursauts d´etectables par BAT et/ou SVOM n’incluera pas les sursauts les plus faibles. Cependant, la normalisation du mod`ele est naturellement r´ealis´ee sur la fraction des sursauts d´etect´es.

On note aussi que dans cet histogramme, les sursauts tr`es brillants ou tr`es faibles sont rares : ma simulation Monte-Carlo utilisant un nombre de tirages inf´erieur `a celui d’Amy Lien, le profil de la distribution n’est pas similaire pour les bins de faible comptage.

Les figures 4.15 et 4.16 permettent de comparer les populations synth´etis´ees `a partir du mod`ele et celles v´eritablement observ´ees par l’instrument BAT. L’article de Lien et al. (2014) pr´esente les distributions des propri´et´es du sous-´echantillon de sursauts synth´etiques identifi´es comme d´etectables par BAT. Elles ne sont pas repr´esent´ees ici mais coincident bien avec la dis- tribution observ´ee. Nous remarquons que le mod`ele n’inclut pas les sursauts courts d´etect´es par BAT. En effet, pour calibrer le mod`ele, Lien et al. (2014) a pris en consid´eration uniquement une population r´eduite de sursauts observ´es par BAT dont le redshift ´etait connu (voir section 4.3.2) et ne comportant un tr`es petit nombre de sursauts courts. En revanche, le mod`ele inclut une plus grande gamme de Epeak que celle des sursauts observ´es par BAT. Enfin, la figure 4.16 montre `a

nouveau que la population synth´etique comporte un nombre important de sursauts tr`es faibles ce qui permettra de tester les performances de sensibilit´e d’ECLAIRs.

Impl´ementation du mod`ele de population

J’ai constitu´e une population synth´etique de 2000 sursauts en tirant al´eatoirement les pro- pri´et´es selon les distributions qui seront utilis´ees lors des simulations de performance de d´etection (voir 5.4). Ce programme de simulation du catalogue synth´etique a ´et´e r´ealis´e avec Iaccopo Bres- chi (SEDI). Il a ´et´e impl´ement´e sous forme d’un code Python.