3.1 L’interférométrie
3.1.2 Principe d’un interféromètre
En radio-astronomie, le but est de reconstruire la distribution du champ d’intensité d’une région du ciel. Dans cette partie, on ne considéra que l’intensité d’une onde élec- tromagnétique.
3.1.2.1 Fonctions de cohérence - Théorème de Van Cittert - Zernike
Soit une source étendue émettant un rayonnement monochromatique
E(~p, t) = E0exp[−2πiν(
~ p
c − t)], (3.1.1)
observé en deux points ~p1 et ~p2 d’un plan P orthogonal à la direction de propagation
d’observation. La figure 3.1.2 représente le plan d’observation P et la source étendue. L’image observée sur ce plan est donc une fonction à deux variables. Un interféromètre permet de mesurer la fonction de cohérence des signaux reçus en deux points distincts. L’étude du contraste et de la phase des franges d’interférence obtenues permettent de mesurer une quantité appelée visibilité complexe pouvant être reliée, par des conditions que nous décrirons par la suite, à la transformée de Fourier de l’image.
Dans cette partie, nous allons introduire les notions de fonctions de cohérence tempo- relle et spatiale et le théorème de Zernike-Van Cittert à la base de l’interférométrie.
La cohérence temporelle fait référence aux valeurs d’un même front d’onde à deux instants différents. Pour une onde monochromatique, la distribution d’intensité à un point ~p1 à tout instant peut être obtenue de la distribution d’intensité au point ~p2
d’amplitude de phase connue par la détermination seulement de la différence de phase induite entre ces deux points : c’est ce qu’on appelle une onde cohérente. Dans le cas d’une onde polychromatique aléatoire, si les points ~p1 et ~p2 sont suffisamment distants,
3.1 L’interférométrie comme nous allons l’expliquer ci-dessous, une mesure de la cohérence d’une onde, en général, peut être obtenue en moyennant sur le temps.
On considère une onde monochromatique telle que E(~p, t) = E0exp[−2πiν(~pc − t)].
Aux deux points ~p1 et ~p2 différant en temps de τ , la fonction de cohérence temporelle
s’obtient Γ(~p1, ~p2, τ ) = lim T →∞ 1 2T ˆ T −T
E(~p1, t)E(~p2, t + τ )dt =< E(~p1, t)E∗(~p2, t + τ ) > (3.1.2)
Cette relation représente la fonction de cohérence entre deux champs aléatoires mesu- rés en deux points ~p1 et ~p2 à des temps différents de τ.
Le degré de cohérence est donné par γ(~p1, ~p2, τ ) = [I(~Γ(~pp1,~p2,τ )
1)I(~p2)]1/2.
Une radiation cohérente correspond à |γ| = 1 et incohérente à |γ| = 0.
Si les points ~p1 et ~p2 coïncident, la fonction Γ(~p, ~p, τ ) est appelée la fonction d’auto-
corrélation, et est équivalente à la transformée de Fourier inverse du spectre de puissance du champ de radiation.
Prenons le cas de la superposition de deux ondes monochromatiques qui se propagent dans deux directions différentes ˆs.~p1 et ˆs.~p2 avec ˆs le vecteur unitaire de pointage de la
source et calculons la fonction de cohérence. Aux points ~p1 et ~p2 tels que définis dans la
figure 3.1.2, la fonction de cohérence s’écrit
Γ(~p1, ~p2, τ ) =< E(~p1, t1)E∗(~p2, t2) >
=< (E1(~p1, t1) + E2(~p1, t1))(E1(~p2, t2) + E2(~p2, t2))∗>
=< (E1(~p1, t1)E1∗(~p2, t2) > + < E2(~p1, t1)E2∗(~p2, t2) > +
< (E1(~p1, t1)E2∗(~p2, t2) > + < E2(~p1, t1)E1∗(~p2, t2) >
Si les champs E1 et E2 provenant de deux directions différentes sont incohérents, la
moyenne temporelle de leur produit vaut zéro:
< (E1(~p1, t1)E2∗(~p2, t2) >=< E2(~p1, t1)E1∗(~p2, t2) >= 0 d’où Γ(~p1, ~p2, τ ) =| E01|2 exp[−2πiν(ˆs. (~p1− ~p2) c − τ)]+ | E02| 2 exp[−2πiν(ˆs.(~p1− ~p2) c − τ)] (3.1.3) Dans le cas d’une source non ponctuelle, la source peut être vue comme une ensemble de n points sources, la fonction de cohérence s’obtient alors comme la somme sur chacun des points sources
Γ(~p1, ~p2, τ ) = n X i=1 Ei(~p1, t1)Ei∗(~p2, t2) = n X i=1 |E0i|2exp[−2πiν(ˆs. (~p1− ~p2) c − τ)]. (3.1.4) Dans le cas où n → ∞, l’intégration sur le champ de vue est donnée par élément d’angle solide dΩ
Γ(~p1, ~p2, τ ) =
ˆ
I(ˆs) exp[−2πiν(ˆs.(~p1− ~p2)
c − τ)]dΩ (3.1.5)
avec la distribution d’intensité I(ˆs).
Une fonction de cohérence mesurée à τ = 0 est appelée la fonction de cohérence spatiale. La cohérence spatiale fait référence aux valeurs d’un même front d’onde à deux endroits différents. Si la source est étendue, il y a addition d’ondes incohérentes émises par chaque point de la source, et le contraste des franges diminue.
Pour τ = 0 , la fonction de cohérence spatiale est reliée à la distribution d’intensité par
Γ(~p1, ~p2, 0) =
ˆ
I(ˆs) exp[−2πiνˆs.(~p1− ~p2)
c ]dΩ (3.1.6)
Cette expression montre qu’une mesure de la fonction de cohérence dépend seulement de la distance relative entre ~p1 − ~p2. Ce résultat correspond au théorème de Zernike-
Van Cittert, établi tout d’abord par Van Cittert en 1934, puis sous une autre forme par Zernike en 1938 : le degré de cohérence complexe dans un plan éloigné d’une source mono- chromatique et spatialement incohérente est la transformée de Fourier de la distribution d’intensité de la source. ! " ! " # $ !#$ %&$ %'$ !"#$ !"%$ "()*+,$-.,/0),$ 123/$0#(45,*637(/$ &$
Figure 3.1.2: Ce schéma représente un plan défini par les points ~p1 et ~p2 observant une
source étendue dans la direction ˆs.
3.1.2.2 Interféromètre à deux éléments Cas d’une source ponctuelle
Considérons maintenant un interféromètre avec deux antennes T1et T2, séparées d’une
distance ~b, observant une source ponctuelle monochromatique dans la direction unitaire ˆ
s. On suppose que la distance à laquelle se trouve la source permet de supposer l’onde incidente plane. Deux schémas d’interféromètres à deux éléments sont donnés par la figure 3.1.3. Le premier schéma représente le concept d’interférométrie directe en optique (interféromètre de Fizeau, Michelson). Le deuxième schéma représente un interféromètre hétérodyne (domaine radio) où les deux ondes sont d’abord décalées en fréquence puis passent par un corrélateur.
3.1 L’interférométrie Le retard géométrique induit par la différence de marche entre les deux antennes s’écrit
τg = ~b.ˆsc . En faisant l’hypothèse de deux récepteurs identiques et en négligeant toute
source de bruit, les deux antennes collectent en sortie les signaux E1 = E01exp[−2πiνt]
et E2 = E02exp[−2πiν(t − τg)].
Les signaux des deux antennes traversent un amplificateur et des filtres afin de sélec- tionner la fréquence d’observation avec la largeur de bande ∆ν. Les signaux collectés sont ensuite corrélés et moyennés dans le temps avec un corrélateur. Le signal en sortie du corrélateur est r(τg) =< E1(t)E2∗(t) >, ce qui est équivalent à l’expression de la
cohérence Eq.3.1.4.
La réponse de l’interféromètre r(τg) varie avec le retard τgdont le temps caractéristique
est celui de la rotation de la terre. Le signal en sortie dépend donc lentement du temps et présente des variations sinusoïdales analogues aux franges d’interférence connues en optique, avec une amplitude proportionnelle à l’intensité du champ incident.
Cas d’une source étendue
Jusqu’à maintenant la source était supposée monochromatique et ponctuelle, de ma- nière plus réaliste, nous allons considérer une source étendue d’angle solide dΩ qui émet dans un intervalle de fréquence ∆ν. Dans le cas où l’intensité de brillance est donnée par I(ˆs), la puissance reçue est P = A(ˆs)I(ˆs)∆νdΩ avec A(ˆs) la surface collective effective de chaque antenne dans la direction ˆs.
Le signal en sortie du corrélateur par élément d’ange solide est donc
dr = A(ˆs)I(ˆs)∆νdΩ exp[−2πiντg]. (3.1.7)
La réponse totale obtenue en intégrant sur la source est
r(~b) = ∆ν ˆ
A(ˆs)I(ˆs) exp[−2πiν(~b.ˆs
c )]dΩ (3.1.8)
Ce résultat suppose deux antennes identiques.
Il est traditionnel d’exprimer la réponse d’un interféromètre par rapport à une position de référence ˆso définie comme étant la direction moyenne de pointage telle que ˆs = ˆso+ ˆσ
avec |ˆσ| = 1 et dans le cas d’une source petite : ˆso⊥ˆσ.
Dans ce nouveau référentiel, nous obtenons
r(~b) = exp[−2πiν(~b.ˆs0 c )]
ˆ
A(ˆσ)I(ˆσ) exp[−2πiν(~b.ˆσ
c )]dΩ∆ν. (3.1.9) L’intégrale est appelée la fonction de visibilité complexe VI de la distribution d’inten-
sité I(ˆσ), et est définie par
VI = V1+ iV2 = |V | eiφv =
ˆ
A′(ˆσ)I(ˆσ) exp[−2πiν(~b.ˆσ
c )]dΩ (3.1.10) où |V | et φv sont respectivement l’amplitude et la phase de la fonction de visibilité
complexe.
Le lobe A′(ˆσ) est le lobe normalisé tel que A′(ˆσ) = A(ˆσ)/A0. La visibilité complexe
est donc la transformée de Fourier de l’intensité du champ observé. Celui-ci est donc défini comme la multiplication du champ de la source par le lobe de l’instrument qui caractérise la distribution des antennes.
En intégrant sur la bande passante ∆ν autour de la fréquence spatiale, et en supposant que le lobe de l’instrument et l’intensité sont indépendants de la fréquence, le signal en sortie a pour expression
r(~b) = ˆ dν |V | exp[−(2πiν(~b.ˆsc0) − φv)] = ∆ν |V | exp[−(2πiν0( ~b.ˆs0 c ) − φv)]sinc(π∆ντg). (3.1.11) Le facteur d’atténuation du sinus cardinal induit un lissage des franges pour une source étendue qui augmente avec le retard géométrique. Cet effet peut être compensé en introduisant une ligne à retard τi composée de câbles de longueurs différentes afin
de resynchroniser les trains d’onde. Pour mesurer simultanément l’amplitude et la phase du terme de visibilité, il faut introduire un second corrélateur qui déphase l’un des deux signaux de π/2 avant corrélation.
Les valeurs de V1 et V2 (Eq.3.1.10) sont obtenues directement à l’aide du corrélateur
complexe qui réalise le produit moyenné des deux signaux pour un déphasage relatif nul pour V1 et pour un déphasage de π/2 pour V2.