Principe

Nous avons vu dans la section pr´ec´edente comment l’on peut mod´eliser des arcs ´etendus en d´efinissant des signatures caract´eristiques ponctuelles conjugu´ees dans chacune des images multiples. Une telle m´ethode peut cependant ˆetre am´elior´ee en exploitant l’infor-mation contenue dans la brillance de surface de chaque pixel du plan image. On peut donc essayer de construire un outil qui nous permettra de reconstruire la source et le mod`ele de la lentille `a partir de l’image observ´ee.

Nous repr´esenterons les images bidimensionnelles aij = a[i][j] avec i ∈ [0, M − 1] et j ∈ [0, N − 1] sous forme de vecteur Ik = I[k] avec k = i ∗ N + j. Ainsi, une lentille transformera une source S de taille KL en une image I via l’op´erateur matriciel lentille L : I = LS. Nous expliciterons plus loin comment se construit l’op´erateur L. Les conditions d’observation (vecteur de bruit n, PSF caract´eris´ee par la matrice B) viennent modifier l’image I en une image observ´ee

Iobs = BI + n = BLS + n . (C.9)

La m´ethode d’inversion pr´esent´ee ici est souvent qualifi´ee de m´ethode semi-lin´eaire dans le sens qu’elle propose de minimiser une fonction de m´erite C de fa¸con non-lin´eaire (via la biblioth`eque minuit) pour la partie lentille L et de fa¸con lin´aire pour la source. Cette section se base en partie sur les travaux de Warren & Dye (2003), de Treu & Koopmans (2004) et dans une moindre mesure de Wallington et al. (1996). Pour un mod`ele de lentille donn´e L, d´efinissons la fonction de m´erite C(λ) :

C(λ) = χ²+ λR² = kBLS − Iobsk2

σ2 + ^λ

σ2kHSk². (C.10)

Le premier terme est un χ2 qui est minimum lorsque le mod`ele de lentille L et la source S rendent parfaitement compte des observations Iobs. Le second terme R est un terme de r´egularisation lin´eaire (au sens de Tickonov) et permet de stabiliser l’op´eration d’inversion. Le param`etre λ permet d’ajuster le poids relatif de chacun des termes. Si λ est trop petit (pas de r´egularisation), on se ram`enera `a un probl`eme mal pos´e et l’on observera une amplification inacceptable du bruit dans la source reconstruite. S’il est trop grand, la source S sera tr`es “lisse” mais ne reproduira pas bien les observations. σ est l’´ecart-type

Fig. C.2: Mod´elisation des 26 points caract´eristiques dans les arcs de MS2137-23. L’ajustement des param`etres du mod`ele NFW se fait dans le plan source en minimisant le χ2

src d´efini par (C.7). Le plan source est `a gauche avec les lignes caustiques et la position des 26 sources donn´ees par le mod`ele. On peut observer une source sur la ligne caustique tangentielle et l’autre source sur la ligne caustique radiale plus externe. Le plan image est `a droite avec les lignes critiques, les 26 points caract´eriques observ´es dans les deux syst`emes d’arcs (cercles) et les positions respectives de chacun des points d´eduites du mod`ele (signes +). L’ajustement est remarquable.

du bruit. Nous supposerons ici que le bruit est gaussien et d’amplitude constante `a travers l’image Iobs. L’op´erateur de r´egularisation lin´eaire H peut ˆetre de plusieurs types (Press et al. 1992). Nous avons impl´ement´e trois cas : “zeroth-order” H = Id qui p´enalise les ´ecarts `a l’hypoth`ese nulle sur la source, “gradient” qui p´enalise les ´ecarts `a une source constante et “curvature” qui p´enalise quant-`a lui les ´ecarts `a une source variant selon un plan. En pratique, ces trois op´erateurs donnent des r´esultats comparables pourvu que λ ne soit pas trop grand.

Em d´erivant (C.10) par rapport `a S, on voit que la source S doit ˆetre solution de l’´equation matricielle

((BL)^TBL + λH^TH) S = (BL)^TIobs. (C.11)

Cette ´equation est r´esolue num´eriquement avec la biblioth`eque umfpack4 qui facilite de nombreuses op´erations alg´ebriques faisant intervenir des matrices creuses (ou “sparse ma-trices”). En effet, qu’il s’agisse de l’op´erateur L ou de l’op´erateur de PSF B, tous deux ont un tr`es grand nombre d’´el´ements nuls et une gestion classique de ces matrices est pro-hibitive que ce soit en terme d’espace m´emoire ou de temps de calcul5. Pour impl´ementer ces op´erations matricielles, j’ai encadr´e un stagiaire de l’INSA de Toulouse, Vincent Beck de juin `a aoˆut 2004. Entre autres, il a r´ealis´e le d´elicat travail de gestion de toutes les op´erations de matrices creuses dans notre programme de mod´elisation6.

Avant de construire l’op´erateur L, donnons quelques pr´ecisions sur l’objet source S. Pour un potentiel de lentille donn´e ψ, nous pouvons renvoyer la position (xk, yk) de tous les pixels k = 0 . . . M N − 1 de l’image Iobs dans le plan source. Rappelons que la source S est de taille K × L. Il faut au pr´ealable placer ce maille K × L dans la zone pertinente du plan source. Pour une image Iobs et un potentiel ψ(x, y) donn´es, il est possible de de d´eterminer cette zone et d’y placer la grille source de mani`ere `a ce qu’un minimum de points du plan image se retrouvent `a l’ext´erieur de la source, une fois ramen´es dans le plan source. De plus la taille physique d’un pixel du plan source δs n’est pas tenue d’ˆetre ´egale `a la taille d’un pixel image δi. Chaque point (x_k, y_k) se retrouve dans le plan source `a la position (uk, vk) cern´ee par quatres pixels adjacents p, p + 1, p + K et p + K + 1. Noter que Warren & Dye (2003) proposent une m´ethode rigoureuse pour calculer L mais beaucoup plus coˆuteuse en temps de calcul puisqu’elle r´esoud l’´equation des lentilles pour chaque pixel du plan source. Nous utilisons ici la m´ethode d’interpolation Treu & Koopmans (2004) comme d´ecrite sur la figure C.3.

Pour une valeur de λ donn´ee mais initialement assez ´elev´ee, on utilise un algorithme de minimisation non-lin´eaire de C (“simplex” ou de gradient conjugu´e) pour d´eterminer le jeu de param`etres P0 dont le potentiel ψ est fonction. A chaque it´eration de l’algorithme (i.e. pour chaque valeur du potentiel ψ), nous calculons l’op´erateur L et inversons l’´equation

4http://www.cise.ufl.edu/researsh/sparse/umfpack

5Par exemple, sur une image Iobs de taille M N = 100 × 100 = 104 et une source de taille KL = 100 × 100, l’op´erateur L, de taille MN × KL = 108, aura au-plus 4 ´el´ements non-nuls par ligne avec notre sch´ema de construction de L. Donc, nous aurons au-plus 4 × MN ´el´ements non-nuls, soit une fraction 4/(KL) ∼ 0.04%.

Fig. C.3: Sch´ema r´esumant la m´ethode pour construire l’op´erateur L. Les coordonn´ees (xs, ys) de la figurent correspondent aux coordonn´ees (uk, vk) du texte. Les quantit´es u et t sont la position fractionnelle (en unit´es de la taille du pixel source δs) des coordonn´ees (uk, vk).

(C.11) de mani`ere `a minimiser C(λ|ψ) par rapport `a S. Le param`etre λ est graduellement r´eduit jusqu’`a obtenir une valeur du χ2 ∼ 1 par degr´e de libert´e.

Le programme d’inversion est op´erationnel. Nous avons proc´ed´e `a des phases de test sur des simulations d’arcs (ou anneaux d’Einstein). Quelques aspects de ce travail sont pr´esent´es dans la section suivante. Apr`es cette ´etape de validation du code, nous l’avons appliqu´e `a une image HST de l’arc atypique dans Abel 1201. Ce travail devrait prochai-nement donner lieu `a une publication et est r´esum´e dans la section C.2.3.