Equations de base

De la distribution de masse `a l’´equation des lentilles

En consid´erant les solutions donn´ees par la relativit´e g´en´erale pour la trajectoire d’un photon en champ faible param´etr´e par le potentiel Newtonien Φ, on peut d´emontrer que l’angle de d´eflexion d’un rayon lumineux s’´ecrit :

ˆ α = ²

c2 Z

∇⊥Φ dl . (2.1)

Ici ∇⊥ repr´esente l’op´erateur gradient dans le plan orthogonal `a la trajectoire orient´ee selon z. Comme les angles de d´eviation sont faibles, on peur identifier dz et l’´el´ement d’abscisse curviligne dl. Si on suppose le potentiel g´en´er´e par une source ponctuelle,

Φ(~r) = −GM/|~r|, on en d´eduit la relation fondamentale : ˆ α = ^4GM c2 ~x |~x|2, (2.2)

dans laquelle ~x est un point du plan image (voir Fig. 2.1). L’angle de d´eflexion provoqu´e par une distribution surfacique de masse Σ(~x) occupant le plan image se d´eduit donc en int´egrant la relation (2.2) sur tous les ´el´ements de masse Σ(~x)d2~x. Pour un photon suivant une g´eod´esique de longueur nulle, le temps d’arriv´ee est :

ct = Z µ

1 −^2Φ_c2 ¶

dl. (2.3)

En consid´erant le banc optique de la Fig. 2.1 dans l’approximation des petits angles, on a la relation g´eom´etrique :

Dosβ + Dlsα = Dˆ osθ. (2.4)

D´efinissons le potentiel gravitationnel projet´e (int´egr´e le long de la ligne de vis´ee z) φ =R

Φ dz, v´erifiant l’´equation de Poisson projet´ee :

∆φ(~θ) = 4πGΣ(~θ). (2.5)

Introduisons une quantit´e caract´eristique, la densit´e critique :

Σcrit= ^c 2 4πG Dos DolDls . (2.6)

Nous pouvons alors d´efinir le potentiel de la lentille ψ, homog`ene au carr´e d’un angle et tel que :

ψ(~θ) = ² c2

DlsDol

D_os ^{φ(~θ). (2.7)}

A une constante pr`es le temps d’arriv´ee d’un photon issu de la source situ´ee en β passant par l’image en ~θ et arrivant `a l’observateur s’´ecrit :

ct = ^DolDls Dos

³

(~θ − ~β)²− ψ(~θ)^´. (2.8)

Il fait intervenir un terme g´eom´etrique et un terme d’origine purement gravitationnelle. Cette d´efinition du temps d’arriv´ee nous permet d’appliquer le principe de Fermat. Les trajectoires effectivement suivies par les rayons lumineux seront celles qui rendent ce temps d’arriv´ee extr´emal (Blandford & Narayan 1986; Kovner 1990; Schneider et al. 1992; Kneib 1993), c’est-`a-dire v´erifiant ∇~_θt = 0 ou encore :

~

β = ~θ − ~α ≡ ~θ − ~∇ψ(~θ). (2.9)

Cette ´equation des lentilles est bien la relation entre le plan source et le plan image ´evoqu´ee `a la section 2.1. Dans la relation (2.9), l’angle α = ^Dls

Dosα est l’angle de d´eflexionˆ r´eduit. On peut observer plusieurs images d’un mˆeme point du plan source β lorsque la

densit´e projet´ee Σ est surcritique, c’est-`a-dire lorsque la convergence κ ≡ Σ/Σcrit ≥ 1. On a aussi les relations entre des quantit´es propres aux lentilles :

~ α(~θ) = ¹ π Z R2 d2ϑ κ(~ϑ) ~θ − ~ϑ |~θ − ~ϑ|2, (2.10) ψ(~θ) = ¹ π Z R2 d²ϑ κ(~ϑ) ln|~θ − ~ϑ|. (2.11)

Pour ces quantit´es, l’´equation de Poisson s’´ecrit simplement ∆ψ = 2κ = ~∇.~α.

D´eformations locales & Amplification

Les solutions ~θ de l’´equation des lentilles donnent la position des images d’une source en ~β. La forme des images sera diff´erente de celle de la source car les rayons lumineux sont d´efl´echis de fa¸con diff´erentielle. L’existence des arcs g´eants en est une illustration frappante. Le th´eor`eme de Liouville et l’hypoth`ese de transparence de la lentille impliquent la conservation de la brillance de surface (Etherington 1933). Ainsi, si I_s(~β) est la brillance de surface dans le plan source, la brillance de surface observ´ee dans le plan image est :

I(~θ) = Is(~θ − ~∇(~θ)). (2.12)

Si une source est beaucoup plus petite que l’´echelle angulaire caract´eristique sur laquelle varient les propri´et´es de la lentille, l’´equation des lentilles peut ˆetre d´eriv´ee et lin´earis´ee localement. La distorsion d’une image est donc d´ecrite par le jacobien de la transformation

Aij(~θ) = ^{∂ ~β} ∂~θ ^{= (δij} − ψ,ij) ≡ µ 1 − κ − γ1 −γ2 −γ2 1 − κ + γ1 ¶ . (2.13)

Par la suite, la virgule en indice signifie une d´erivation partielle ψ,ij = _∂θ^∂2ψ

i∂θj. Nous avons introduit les composantes du cisaillement γ ≡ γ1 + iγ₂ = |γ|e2iϕ et κ est la convergence d´efinie plus haut. La convergence et le cisaillement s’expriment en fonction du potentiel :

κ = ¹ 2^{(ψ,11+ ψ,22)} γ1 = ¹ 2^(ψ,11− ψ,22) γ2 = ψ,12 (2.14)

Ainsi, si ~θ0 est un point associ´e au point ~β0 = ~β(~θ0) d’une image ´etendue, on peut r´e´ecrire l’´equation (2.12) : I(~θ) = Is h ~ β0− A(~θ0)(~θ − ~θ0)i . (2.15)

On voit donc que l’image d’une source circulaire devient une ellipse. Le rapport d’axes est le rapport des valeurs propres de A, 1−κ±|γ| et le rapport des angles solides sous-tendus

par l’image et la source est l’inverse du d´eterminant de A. On l’appelle amplification µ. A est la matrice d’amplification inverse.

µ⁻¹ = det A = (1 − κ)²− |γ|² . (2.16)

Les images sont donc chang´ees en taille et en forme. Le premier changement est ca-ract´eris´ee par la partie isotrope (1 − κ) et la partie anisotrope γ de A. Le second l’est uniquement par la partie anisotrope sans-trace γ. Cette derni`ere est repr´esent´ee par un nombre complexe mais n’est pas un vecteur au sens strict. Il s’agit plutˆot d’un spinner d’ordre 2, d’o`u le facteur 2 dans la d´efinition de la phase de γ qui garantit qu’un champ de cisaillement reste inchang´e apr`es rotation du syst`eme de coordonn´ees d’un angle π.

Lignes critiques et caustiques

Les points du plan image pour lesquels le jacobien A s’annulent forment des courbes ferm´ees, les lignes critiques. C’est le lieu d’une amplification infinie. Leurs ant´ec´edants dans le plan source forment les lignes caustiques. Mˆeme si les images ne sont jamais amplifi´ees de fa¸con infinie du fait que les sources sont de taille finie et que l’optique g´eom´etrique n’est plus strictement valable dans ces cas-l`a, on peut observer une amplifi-cation substantielle. Les arcs g´eants en t´emoignent, de mˆeme que la possibilit´e de voir des objets tr`es lointains pr`es des lignes critiques des amas de galaxies. Si l’on ram`ene par la pens´ee une source tr`es lointaine de l’axe optique vers le centre de la lentille, cette source va traverser des lignes caustiques. A la crois´ee de chacune d’elles, le nombre d’images ob-serv´ees change de ±2 et les deux images se forment6 de part et d’autre de la ligne critique correspondante. Elles se forment avec des parit´es oppos´ees de telle sorte qu’elles appa-raissent comme sym´etriques l’une de l’autre par rapport `a la ligne critique. Ainsi, seules les sources `a l’int´erieur d’une caustique sont imag´ees de fa¸con multiple. Des exemples de lignes critiques et caustiques sont donn´es dans la figure 2.3 et dans l’appendice B.