1.4 Magnétohydrodynamique et effet dynamo
1.4.3 Principaux résultats théoriques portant sur l’effet dynamo cinématique
Nous allons ici résumer rapidement quelques points clés de l’approche cinématique de l’effet dynamo, et nous renvoyons le lecteur aux revues et ouvrages de Moffatt (1978); Roberts & Soward (1992); Plunian & Massé (2002); Fauve & Pétrélis (2003).
La plupart des cas étudiés concernent une géométrie sphérique ou cylindrique. On utilise donc des coordonnées adaptées et une décomposition des champs de vecteurs entre partie « poloïdale » (composantes radiales et axiales dans le cas du cylindre) et « toroïdale » (composante orthoradiale dans le cas du cylindre). La partie toroïdale sera aussi désignée sous les termes « azimuthale » ou « équatoriale ».
Les «théorèmes anti-dynamo»
Tout écoulement ne peut pas nécessairement produire un effet dynamo. Nous avons en effet insisté lors de l’écriture des équations gouvernant le problème sur le rôle des gradients de vitesse. Ainsi, un écoulement stationnaire et uniforme ne pourra jamais conduire à l’instabilité dynamo, par absence de terme moteur. Ce résultat constitue en quelque sorte un premier «théorème anti- dynamo». Si l’on ne connaît pas de conditions suffisantes sur la topologie du champ de vitesse pour qu’il conduise à l’effet dynamo, on a en revanche pu démontrer qu’un certain nombre de symétries du problème le rendaient impossible. Ces théorèmes sont exposés dans le livre de Moffatt (1978). Nous en citons ici deux parmi les plus utiles dans notre cas.
– Théorême de Cowling3
: un écoulement axisymétrique ne peut pas entretenir un champ magnétique axisymétrique. Dans notre cas, nous nous attendrons à avoir des modes propres non axisymétriques au seuil de l’instabilité dynamo.
– Théorême 2D : un champ magnétique bidimensionnel, i.e. indépendant d’une des coordon- nées dans un repère cartésien, ne peut être auto-entretenu par effet dynamo. Les modes propres vont donc en général avoir une forme non simple.
La recherche de théorêmes anti-dynamo, ou de contre-exemple est toujours un sujet d’actualité parmi les théoriciens friands de mathématiques (Love & Gubbins, 1996; Proctor, 2004).
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Nous nous placerons en effet à grand nombre de Reynolds cinétique.
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1.4. Magnétohydrodynamique et effet dynamo 147 Mécanismes de bouclage dynamo
Nous avons évoqué une interprétation mécaniste de l’effet dynamo cinématique comme la coopération réussie d’effets d’inductions. Nous allons maintenant étudier de manière qualitative les mécanismes de bouclage possibles entre champs magnétiques poloïdaux et toroïdaux.
Fig. 1.5: Effet Ω.
– Effet Ω.
L’effet Ω est un mécanisme linéaire expliquant la création d’un champ toroïdal à partir d’un champ poloïdal. Imaginons un champ poloïdal axisymétrique dans un écoulement toroïdal vT : d’après le théorème du flux gelé, les lignes de champ dirigées selon z se déforment
comme des éléments matériels dans le champ de vitesse toroïdal. Ces déformations sont toutes orientées selon eθ : il se crée donc un champ toroïdal le long de ces déformations. La
figure 1.5 présente le cas d’un champ magnétique s’exerçant à travers une sphère de fluide conducteur en écoulement : dans la sphère, sous l’effet de la rotation différentielle le champ magnétique BP est déformé par le gradient axial de la vitesse vT et crée une composante
toroïdale BT.
– Effet “Parker”, effet α.
L’effet Parker (1955) est un mécanisme quadratique décrivant la création d’un champ poloïdal à partir d’un champ toroïdal, ou l’inverse, par l’intermédiaire d’un courant ~j par- rallèle au champ initial ; ce mécanisme ne se décompose pas simplement, il existe plusieurs approches pour le décrire.
Nous illustrons par la figure 1.6 ce mécanisme quadratique à grande échelle de création de champ poloïdal à partir d’un champ toroïdal par reconnection des lignes de champ sous l’effet de l’hélicité de l’écoulement. Le champ toroïdal B0, déformé en deux étapes par le
champ de vitesse hélicitaire, forme des « boucles de champ » ; la boucle fermée peut alors être considérée comme un champ induit ajouté au champ initial, en forme de spire, créant dans le fluide un courant jα parallèle au champ initial appliqué, et qui donne naissance à
un champ B poloïdal. De tels effets d’induction quadratiques en Rm ont été mesuré dans
l’expérience VKS1 (Pétrélis et al., 2003). Le lien que ce mécanisme entretient avec le carac- tère hélicitaire du champ de vitesse moyen trouve une très bonne illustration dans la thèse de Mickaël Bourgoin (2003). Mickaël Bourgoin a réalisé une étude numérique perturbative
V1
B0
V2
B1
Bf
jα
Fig. 1.6: Effet “Parker”.
de l’équation d’induction en géométrie cylindrique, et a ainsi pu montrer en utilisant un champ de vitesse moyen mesuré dans l’expérience VKE en configuration un disque l’induc- tion d’un champ axial Bz à partir d’un champ appliqué transverse B0, dont l’intensité est
proportionnelle à l’hélicité du champ de vitesse4
: Bz∝ Ω∂rVz B0.
L’approche de dynamo turbulente, ou de champ moyen, décrite en détails dans le livre de Krause & Rädler (1980), donne le nom d’effet α à un mécanisme d’induction à grande échelle par la coopération des fluctuations de vitesse à petite échelle. La démarche est similaire à celle qui permet d’introduire le tenseur de Reynolds en turbulence. En séparant spatialement les champs de vitesse u et magnétique B en valeur moyenne et en fluctuations (de moyenne nulle) u = ¯u + u′ et B = ¯B + B′, et en réintroduisant ces termes dans
l’équation d’induction pour la grande échelle ¯B, on a en moyenne u× B = ¯u × ¯B + ε, avec ε = u′× B′ le “champ électromoteur moyen”. Effectuant un développement en série
de Taylor, on exprime ε au premier ordre sous la forme ε = α. ¯B. On a donc création par les fluctuations d’un champ électromoteur colinéaire au champ ¯B. La loi d’Ohm nous donne alors : ¯j = σε = σα. ¯B. On a création d’un courant moyen ¯j orienté parallèlement au champ moyen ¯B, et ce courant crée un champ magnétique perpendiculaire au champ appliqué. – Effet de la diffusion en géométrie cylindrique.
Pour un champ magnétique non axisymétrique, la diffusion permet de coupler les compo- santes radiales et orthoradiales en géométrie cylindrique. Ce mécanisme intervient dans l’analyse du bouclage de la dynamo de Ponomarenko, consistant en un cylindre de lon- gueur infini et conducteur animé d’un mouvement hélicoïdal dans un milieu infini de même conductivité au repos (Ponomarenko, 1975; Plunian & Massé, 2002; Fauve & Pétrélis, 2003). – “Stretch-Twist-Fold” et dynamos rapides.
Ce mécanisme peut être appliqué à des milieux où la diffusion est nulle. On construit alors des dynamos «chaotiques», selon un processus d’étirement, torsion et pliage (Childress & Gilbert, 1995) qui fait furieusement penser au modèle de la transformation du boulanger. Le raisonnement est basé sur la conservation du flux magnétique dans des tubes de champ (voir figure 1.7). La boucle de flux est d’abord étirée, et donc si la section est divisée par deux, l’intensité du champ est multipliée par deux. La boucle est en suite tordue pour former un huit, dont les deux parties sont repliées l’une sur l’autre. Dans le volume de
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