La 1-forme canonique sur P (1)
3.2 Preuve de la généralisation du théorème de Singer
on note toujours π∶ ̂M → M le P-fibré principal et ω la connexion de Cartan. Sous les hypothèses du théorème 3.1, des sous-fibrés principaux de π∶ ̂M→ M apparaissent et c’est en les étudiant que l’on démontre l’homogénéité infinitésimale de(M, C).
3.2.1 Sous-variétés parallèles d’une géométrie de Cartan
Définition 3.2.1. Une sous-variété Σ ⊂ ̂M est dite parallèle s’il existe un sous-espace
h⊂ g tel que pour tout ̂x ∈ Σ, ω(T̂xΣ) = h.
On voit apparaître de telles sous-variétés dans le contexte suivant.
Lemme 3.2.1. Soit F ∶ ̂M → V une application à valeurs dans un espace vectoriel.
Supposons que F est de rang constant et notons Σ= F−1(v0) pour v0∈ V . Si D1F ∶ ̂M →
V ⊕ Hom(g, V ) est constante sur Σ, alors Σ parallèle.
Démonstration. Rappelons que D1F(̂x) = (F(̂x), D1F(̂x)), où D1F(̂x)(A) = T̂xF( ̃Âx) (voir section 2.1.5). Ici, D1F est constante égale à w0 ∈ Hom(g, V ) sur tout Σ. Puisque pour tout̂x ∈ Σ, T̂xΣ= Ker T̂xF , on a
ω(T̂x̂Σ) = {A ∈ g ∶ (LÃ.F)(̂x) = 0} = {A ∈ g ∶ D1F(̂x)(A) = 0} = Ker w0.
Ainsi, Σ est parallèle.
Si Σ est une sous-variété parallèle, il est naturel de considérer la restriction à Σ des champs ω-constants ̃X, pour X ∈ h. Par définition, ces champs sont tangents à Σ et nous les appelons champs(h, ω)-constants. Ils définissent un parallélisme sur Σ que nous notons PΣ.
Si l’on dispose d’une sous-variété parallèle et si de plus l’application courbure de(M, C) est constante sur cette sous-variété, on est pratiquement à même de démontrer que(M, C) est localement homogène, comme le montre la propriété suivante.
Proposition 3.2.2 (Sous-variétés parallèles à courbure constante). Soit Σ⊂ ̂M une sous-variété parallèle, que nous supposons connexe. On note h⊂ g le sous-espace associé et K
l’application courbure de(M, C).
2. Si de plus, le sous-espace h est transverse à p, alors π∣Σ∶ Σ → M est une submersion
et les composantes connexes de π(Σ) sont des Killloc-orbites ouvertes. En particulier, si π(Σ) = M, alors (M, C) est localement homogène.
Démonstration. 1. Prenons Σ une sous-variété parallèle de ̂M telle que ω(T̂xΣ) = h. Sup-posons K(̂x) = K0 ∈ Hom(Λ2(g/p), g) sur Σ. La première étape est de démontrer que les champs(h, ω)-constants sur Σ forment une sous-algèbre (de dimension finie) de X(Σ). Ce fait provient de la relation générale K̂x(X, Y ) = [X, Y ] − ω̂x([ ̃X, ̃Y]) valable pour tout couple de champs ω-constants. En effet, si X, Y ∈ h, puisque K ≡ K0 sur Σ, on doit avoir pour̂x ∈ Σ
ω̂x([ ̃X, ̃Y]) = [X, Y ] − K0(X, Y ).
Cette identité signifie en particulier que [ ̃X, ̃Y] est ω-constant sur Σ. De plus, puisque [ ̃X, ̃Y] est tangent à Σ, nous avons ω̂x([ ̃X, ̃Y]) ∈ h, ce qui prouve que [ ̃X, ̃Y] est lui-même (h, ω)-constant.
Ceci nous amène à considérer le crochet de Lie[, ]′sur h définit par[X, Y ]′= [X, Y ] −
K0(X, Y ). Il correspond naturellement au crochet (usuel) des champs de vecteurs (h, ω)-constants sur Σ, et satisfait donc bien aux axiomes d’un crochet de Lie. Nous noterons h′ l’algèbre de Lie(h, [, ]′) et fixons H′ un groupe de Lie d’algèbre isomorphe à h′. Nous
venons ainsi d’exhiber une action infinitésimale du groupe H′ sur Σ, que nous notons
ι ∶ h′ ↪ Γ(TΣ). D’après la version locale du théorème de Palais (Théorème 1.4), nous disposons d’une action locale de H′ sur Σ qui intègre ι. Ceci signifie que pour tous ̂x ∈ Σ et X∈ Lie(H′), d
dt∣t=0exp(tX).̂x = −ι(X)̂x.
Nous allons prouver que tout point de Σ admet un voisinage localement homogène, ce qui suffira pour établir le premier point par connexité. Prenons donc ̂x0 ∈ Σ. Puis-qu’un champ ω-constant non nul ne s’annule nulle part, l’action locale de H′ est partout
localement libre sur Σ. Par conséquent, il existe U un voisinage ouvert de ̂x0 dans Σ et un voisinage ouvert V de e dans H′ tels que l’application orbitale en ̂x0 nous fournit une identification ψ∶ V → U. Supposons U et V connexes. Le point est à présent que sous cette identification, les champs (h, ω)-constants sur U correspondent aux champs invariants à droite sur V (c’est une simple conséquence de la définition de l’action locale de H′). On
peut reformuler ceci plus formellement en disant que si ωH′ désigne la forme de Maurer Cartan droite de H′, nous avons ψ∗(ω∣T U) = ωH′
∣T V.
Finalement, pour tout X∈ h′, notons ̂X= ψ∗(LX) le push-forward du champ invariant
à gauche associé à X. Alors, puisque les champs invariants à gauche commutent avec les
champs invariants à droite, nous voyons que pour tout X, ̂X commute avec tous les champs
(h, ω)-constants sur U. Ainsi, { ̂X, X ∈ h′} est une algèbre de Lie de champs de Killing de (U, PΣ). Puisqu’ils engendrent T̂xΣ en tout ̂x, deux points quelconques de U peuvent être joints en suivant en un nombre fini de flots φtX̂. Ainsi, U est localement homogène et nous avons prouvé le premier point de la proposition.
2. Supposons maintenant que h est transverse à p. Ceci implique que π restreinte à Σ est une submersion puisque T̂xπ(ω−1
̂
x (h)) = T̂xπ(ω−1 ̂
x (h + p)) = TxM . Soit s= h ∩ p. Si
X1, X2 ∈ s, puisque la 2-forme courbure est horizontale, on a [X1, X2] = [X1, X2]′ ∈ h, prouvant que s est une sous-algèbre de p. Prenons S ⊂ P un sous-groupe de Lie connexe d’algèbre s. Notons que puisque les flots des champs (s, ω)-constants correspondent à l’action droite sur ̂M d’éléments proches de l’identité de S, Σ est préservée par l’action de S.
Soit̂x0∈ Σ et U ⊂ Σ son voisinage localement homogène exhibé précédemment. Prenons t un supplémentaire arbitraire de s dans h et choisissons 0 ∈ U ⊂ t un voisinage ouvert
de l’origine tel que exp̂x ∶ U → Σ réalise un difféomorphisme sur son image exp̂x(U) =∶
U′⊂ U. Si U est suffisamment petit, il existe VS un voisinage convexe de l’identité dans
S tel que U1 = U′.V
S ⊂ U. Puisque les champs de vecteurs ̂X commutent aux champs
(s, ω)-constants, si deux points ̂x ∈ U1 et ̂x.s ∈ U1 sont dans la même fibre, alors ̂X̂x.s= (Rs)∗X̂̂x. Par conséquent, on peut bien définir une extension des champs ̂X à l’ouvert
saturé π−1(π(U1)) en posant ̂X̂x.p = (Rp)∗X̂̂x. Il nous reste à prouver que ces extensions à l’ouvert saturé sont des relevés de champs de Killing locaux de(M, C).
Nous avons vu que par construction, pour tout̂x ∈ U, (LX̂ω)̂x(v) = 0 pour tout v ∈ T̂xΣ. Vérifions que ̂X satisfait :
1. pour tout̂x ∈ π−1(π(U1)), (LX̂ω)̂x s’annule sur toute direction verticale ; 2. la relation d’équivariance suivante valable pour ̂x ∈ π−1(π(U1)) et A ∈ g
(LX̂ω)̂x.p(̃A) = Ad(p−1) (LX̂ω)̂x( ̃Ad(p)A) = 0.
Ces faits sont en fait vérifiés pour tout champ de vecteurs sur ̂M qui commute à l’action
du groupe structurel P . Ceci vient des calculs suivants.
1. Puisque la 2-forme courbure est horizontale, nous avons pour touŝx ∈ π−1(π(U1)) et
A∈ p, Ω̂x( ̂X̂x, ̃Âx) = dω̂x( ̂X̂x, ̃Ax̂) + [ω( ̂X̂x), A] = 0. Soit ̂x ∈ π−1(π(U1)). On calcule (LX̂ω)̂x( ̃A) = dωx̂( ̂X, ̃A) + ( ̃A.ω( ̂X))̂x = [A, ω̂x( ̂X)] + dtd∣ t=0ω( ̂X)(̂x.etA) = [A, ω̂x( ̂X)] + d dt∣ t=0(RetA∗ω)̂x( ̂X) = [A, ω̂x( ̂X)] + d dt∣ t=0Ad(e−tA)ω̂x( ̂X) = 0.
2. Pour A∈ g et t suffisamment petit, [(φt ̂ X)∗ω]̂x.p( ̃A) = [(φt ̂ X)∗ω]̂x.p((Rp)∗Ad̃(p)Âx) = [(Rp)∗(φt ̂ X)∗ω]̂x( ̃Ad(p)Âx) = [(φt ̂ X)∗(Rp)∗ω]̂x( ̃Ad(p)Âx) = Ad(p−1) ((φt ̂ X)∗ω)̂x( ̃Ad(p)Âx) . En dérivant à t= 0, nous obtenons
(LX̂ω)̂x.p(̃A) = Ad(p−1) (LX̂ω)̂x( ̃Ad(p)A) = 0.
Finalement, les champs ̂X, X ∈ h vérifient LX̂ω = 0 sur π−1(π(U1)). Ce sont donc des relevés de champs de Killing locaux définis sur un voisinage de x0 dans M . Ainsi, nous venons d’exhiber une algèbre de Lie h′ ⊂ Killloc(x0) définis sur un voisinage ouvert commun de x0. Puisque π∣Σ est une submersion, nous avons h′
x = {X(x), X ∈ h′} = TxM
pour tout x dans ce voisinage. Par conséquent, toute composante connexe de π(Σ) est localement homogène.
3.2.2 Conclusion
Nous pouvons à présent démontrer le théorème 3.1. Notons d= dim p et supposons que (M, C) est d-infinitésimalement homogène. Les applications DiK prennent ainsi valeurs
dans une seule orbite dans Wi, pour i ⩽ d. Fixons un point arbitraire ̂x0 dans ̂M . Pour
0 ⩽ i ⩽ d, soit Si = StabP(DiK(̂x0)) et si = Lie(Si). On a un entier k(̂x0) ⩽ d tel que s0 ⊋ s1 ⊋ ⋯ ⊋ sk(̂x0) = sk(̂x0)+1. Notons bien que si ̂x est un autre point, pour tout i ⩽
d, StabP(DiK(̂x)) et StabP(DiK(̂x0)) sont conjugués dans P. Ce qui implique k(̂x) =
k(̂x0) = k. On appelle k l’entier de Singer de (M, C). Rappelons le résultat suivant bien connu.
Lemme 3.2.3. Soient π ∶ P → M un G-fibré principal, dont la base est une variété
connexe M , et H ⊂ G un groupe fermé. Alors, P admet une réduction en un
sous-H-fibré principal si et seulement si il existe une application G-équivariante Φ∶ P → G/H.
Dans ce cas, pour tout u∈ P, Φ−1(Φ(u)) est un sous-fibré principal de P, dont le groupe
structurel est conjugué à H.
Pour chaque i, notons ̂Nila composante connexe de la ligne de niveauDiK−1(DiK(̂x0)) qui contient ̂x0. Chaque ̂Ni est donc un sous-fibré principal de ̂M , de groupe (Si)0, la composante neutre de Si. Par définition de k, on doit avoir ̂Nk = ̂Nk+1. Notons ̂N ce
sous-fibré et S son groupe.
La définition de l’entier de Singer fait queDkK satisfait aux hypothèses du lemme 3.2.1.
En effet, si F = DkK, alors D1F = (K, . . . , DkK, D1K, . . . , Dk+1K) est nécessairement constante sur ̂N puisqueDk+1K est elle-même constante sur ce sous-fibré. Ainsi, ̂N est une
sous-variété parallèle, mais également sous-fibré principal de ̂M . De plus, K est constante
sur ̂N . Par conséquent, la proposition 3.2.2 implique que M est localement homogène.