Intégration des générateurs de Killing

Comme nous l’avons dit à la section 4.1.4, la preuve du théorème 4.1 se ramène à démontrer l’inclusion Ω_n+2 ⊂ Intn+1(M, C). Le problème est donc le suivant : on s’est donné A∈ Killn+1(x0) un générateur de Killing d’ordre n+1 en un point x0∈ Ωn+2^{, et nous}

voulons trouver un champ de vecteurs défini dans un voisinage de x₀ qui commute avec les n champs de vecteurs du parallélismeP. Puisque ce problème est local, sans perte de généralité, nous supposons que M= U ⊂ Rnest un ouvert connexe tel que Ω_n+2= M, ou de façon équivalente, tel que les fonctions k₁, . . . , k_n+2 ^{sont constantes sur M . Le parallélisme}

P nous fournit une trivialisation particulière de TM qui est l’application φ ∶ (x, v) ∈

T M ↦ (x, ωx(v)) ∈ M × Rn. Tous nos calculs et nos raisonnements seront faits dans cette trivialisation. Exemple notable, un champ de vecteurs sur M sera une application

M→ Rn. Si f est un difféomorphisme local, nous noterons f∗∶ M ×Rn→ M ×Rn l’action de sa différentielle, lue à travers φ.

Pour exhiber le champ de vecteurs du théorème 4.1, nous allons construire son graphe dans M×Rn. On identifie canoniquement T(x,u)(M ×Rn) et TxM×Rn. Notons(∂1, . . . , ∂n) la base standard du second facteur Rⁿet considérons ∆ le champ de n-plans dans M×Rn

défini par

∆(x,u)= Vect(Xi− ∑

jk

ujγ_ij^k∂k, 1⩽ i ⩽ n). (4.2) Nous nous intéressons à cette distribution en raison du lemme suivant.

Lemme 4.2.1. Soit X un champ de vecteurs sur M . Alors, X est un champ de Killing

si et seulement si son graphe dans M× Rn intègre la distribution ∆.

Démonstration. Soit Γ_X = {(x, u1(x), . . . , un(x)) = (x, X(x)), x ∈ M} le graphe de X, lu dans la trivialisation φ. Alors pour tout x ∈ M, l’espace tangent (de dimensionn)

T(x,X(x))^ΓX est engendré par les X_i(x) + ∑k(Xi.u_k)(x)∂k∈ TxM× Rn, 1⩽ i ⩽ n.

Quand on développe les équations [Xi,∑jujXj](x) = 0 pour 1 ⩽ i ⩽ n, on obtient que

X est un champ de Killing si et seulement si pour tous 1⩽ i, k ⩽ n (Xi.u_k)(x) + ∑

j

uj(x)γk

ij(x) = 0.

Ainsi, si X est un champ de Killing, l’espace tangent T(x,X(x))^ΓX est en fait engendré par les

Xi(x) − ∑

jk

uj(x)γk

ij(x)∂k, 1⩽ i ⩽ n, ce qui signifie que T(x,X(x))^ΓX = ∆_(x,X(x)).

Réciproquement, si nous supposons que T(x,X(x))^ΓX = ∆(x,X(x))^{, alors T}(x,X(x))^ΓX

contient X_i(x) − ∑jkuj(x)γk

ij(x)∂k pour tout i. Ainsi, nous devons avoir pour tous i, k, (Xi.u_k)(x) = ∑juj(x)γk

ij(x).

Le lemme qui suit apparaît dans [Mel11] (Proposition 6.2). Il s’agit en fait d’une adaptation aux géométries de Cartan d’un lemme donné par Nomizu dans [Nom60] en géométrie riemannienne (Lemma 3), et l’idée de la preuve reste inchangée. Ce résultat est pour nous un ingrédient essentiel, nous en donnons donc une démonstration détaillée. Lemme 4.2.2. Soient x∈ M, X ∈ Rn dans le domaine d’injectivité de exp_x, A∈ Kills(x)

et γ(t) = expx(tX) = φt

̃

X(x), t ∈ [−1, 1]. Supposons que pour un s ⩾ 1, les applications ks

et k_s+1 ^{sont constantes et coïncident sur un voisinage de γ. Nous avons alors pour tout t}

(φt

̃

X)_∗A∈ Kills(γ(t)).

Démonstration. Par hypothèse, Kill^s(γ(t)) = Kills+1(γ(t)) et ces espaces sont de dimen-sion constante. Posons A_t= (φt

̃

X)∗^{A. Soit} U ⊂ g un voisinage de 0 sur lequel expx réalise un difféomorphisme sur son image. Nous définissons un champ de vecteurs ˇA sur exp(x, U) en posant ˇA(exp(x, Y )) = (φ1

̃

Y)∗^{A. Notons que pour tous f} ∈ C∞(M) et t on a (̃A_t.f)(γ(t)) = ( ˇA.f)(γ(t)).

Nous voulons prouver que pour tout 1 ⩽ r ⩽ s l’application t ↦ DrK(γ(t)) ⌞ At est identiquement nulle. Nous commençons par calculer ses dérivées

d dt∣ t=t0 D^rK(γ(t)) ⌞ At= _dt^d∣ t=t0 (̃At.D^r−1_K)(γ(t)) = _dt^d∣ t=t0 ( ˇA.D^r−1_K)(φt ̃ X(x)) = ( ̃X. ˇA.D^r−1_K)(γ(t0)) = ( ˇA. ̃X.D^r−1_K)(γ(t0))

puisque [ ˇA, ̃X](γ(t)) = 0 ⇒ (LX̃L_Aˇf)(γ(t)) = (L_AˇLX̃f)(γ(t)) pour tout f ∈ C∞(M). Nous obtenons ainsi

d

dtD^rK(γ(t)) ⌞ At= ( ˇA. ̃X.D^r−1_K)(γ(t)) = (̃A_t. ̃X.D^r−1_K)(γ(t)) = (Dr+1_K(γ(t)) ⌞ At) ⌞ X. Pour r⩾ 1, soit Cr

x ∶ g → Wr−1 _{l’application linéaire} {X ↦ DrK(x) ⌞ X}. Nous obtenons finalement

d dtCr

γ(t)(At) = Cr+1

γ(t)(At) ⌞ X. (4.3)

Soient n_s= dim Hom(⊗sRⁿ, V) et (ws,1, . . . , w_s,ns) une base de Hom(⊗sRⁿ, V), pour s ⩾ 0. Il existe des formes linéaires f_x^i,j∈ (Rn)∗_{, i}⩾ 0, 1 ⩽ j ⩽ ni telles que pour r⩾ 1,

Cr x= ∑

0⩽i⩽r−1 1⩽j⩽ni

f_x^i,jw_i,j.

Puisque Kill^r = Ker Cr pour tout r et Kill^s est de dimension constante le long de γ, le rang de la famille (fij

γ(t)^{, 0} ⩽ i ⩽ s − 1, 1 ⩽ j ⩽ ni) ⊂ (Rn)∗ _{ne dépend par de t. Enfin,}

Kill^s(γ(t)) = Kills+1(γ(t)) implique que pour tout 0 ⩽ j ⩽ ns, Ker f_γ^s,j(t)⊃ ⋂

0⩽i⩽s−1 1⩽j⩽ni

Ker f_γ^ij(t)^.

Par conséquent, les applications f_γ^s,j(t) ^{sont des combinaisons linéaires à coefficients}C∞

des f_γ^i,j(t)^{, i} ⩽ s − 1, 1 ⩽ j ⩽ ni (par le théorème du rang constant). Ainsi, les équations (4.3) pour 1⩽ r ⩽ s nous donnent un système d’équations différentielles linéaires d’ordre 1 impliquant les f_γ^i,j(t)(At), 0 ⩽ i ⩽ s − 1, 1 ⩽ j ⩽ ni. Puisque A∈ Kills(x), la condition initiale de ce système est nulle, d’où A_t∈ Kills(γ(t)) pour tout t.

Nous pouvons à présent passer à la preuve proprement dite. Soient x₀ ∈ M et A ∈ Killⁿ+1(x0). Il existe un entier s0⩽ n + 1 tel que

k₁(x0) > ⋯ > ks0(x0) = ks0+1(x0).

Puisque les applications k₁, . . . , k_n+2 sont constantes sur M , k_s0 et k_s0+1 sont constantes et égales. On définit

Σ= {(x, v) ∣ v ∈ Kills0(x)} ⊂ M × Rn.

Notons que pour un champ de Killing arbitraire X, nous avons nécessairement X(x) ∈ Kill∞(x) partout où X est défini. Ainsi, le graphe que nous cherchons à exhiber est né-cessairement inclus dans Σ et contient le point(x0, A).

Lemme 4.2.3. Σ est une sous-variété de M× Rn.

Démonstration. Prenons x ∈ M et soit B = B(0, δ) ⊂ Rn une boule (pour une norme arbitraire) telle que exp_x est définie et injective sur B. Si Y ∈ B et y = expx(Y ), puisque Kill^s0(y) et Kills0(x) ont même dimension, on doit avoir Kills0(y) = (φ1

̃

Y)∗Kill^s0(x), par le lemme 4.2.2. Ainsi, Kill^s0(x) dépend de façon lisse de x et Σ est bien une sous-variété de M× Rn.

Nous prouvons à présent que ∆ se restreint en une distribution de Σ, et que cette distribution restreinte est involutive. À partir de maintenant, pour éviter les lourdeurs dans les calculs, nous noterons V_i= Vi(x, u1, . . . , un) = ∑jkujγ_ij^k ∂k.

Lemme 4.2.4. La distribution ∆ est partout tangente à Σ.

Démonstration. D’après le lemme 4.2.2, (φt

Xi)∗ ∶ M × Rn → M × Rn préserve Σ si t est suffisamment petit. Prenons (x, u1, . . . , un) = (x, u) ∈ Σ et posons c(t) = (φt

Xi)∗(x, u). Alors, _dt^d∣_t=0c(t) ∈ T(x,u)^{Σ. Calculons ce vecteur tangent. Par définition de φ, nous avons}

d dt∣ t=0^c(t) = (Xi(x), ∑ j u_j ^d dt∣ t=0^ω((Txφ^t_Xi)Xj(x))). De plus, d dt∣ t=0^ω((Txφ^t_Xi)Xj(x)) = (LXiω)x(Xj(x)) = (dω)x(Xi, X_j),

puisque ω(Xi) est constante égale à ei. La 2-forme courbure de la géométrie de Cartan associée au parallélismeP est Ω = dω+1

2[ω, ω] = dω puisque l’algèbre de Lie g = Rnest abé-lienne. Par conséquent,(dω)x(Xi, X_j) = Ωx(Xi, X_j) = K(x)(ei, e_j) = −(γ1

ij(x), . . . , γn ij(x)). Finalement, nous obtenons

d dt∣

t=0^c(t) = Xi(x) − ∑

jk

u_jγ_ij^k(x)∂k= Xi− Vi∈ T_(x,u)Σ. Ainsi, pour tout i, X_i− Vi est tangent à Σ et nous avons ∆(x,u)⊂ T(x,u)^Σ.

Désormais, nous considérerons ∆ comme une distribution dans T Σ. Lemme 4.2.5. Restreinte à Σ, la distribution ∆ est involutive.

Démonstration. Calculons le crochet de X₁− V1 et X₂− V2.

[X1, V2] = ∑ jk (X1.γ_2j^k)uj∂k [V1, X₂] = − ∑ jk (X2.γ_1j^k)uj∂_k [V1, V₂] = ∑ jklm γ^k_1jγ_2m^l (δkmu_j∂_l− δjlu_m∂_k), où δij = 1 si i = j, 0 sinon. On note C_p la composante de [X1− V1, X₂− V2] sur ∂p, pour 1⩽ p ⩽ n.

Cp= ∑ j (∑ k γ_j1^kγ_k2^p + γk 2jγ_k1^p ) uj− ∑ j (X1.γ_2j^p )uj+ ∑ j (X2.γ_1j^p )uj.

La relation de Jacobi qui fait intervenir X₁, X₂ et X_j nous donne ∀p, ∀j, ∑ k γ_j1^kγ_k2^p + γk 2jγ_k1^p + γk 12γ_kj^p = Xj.γ₁₂^p + X1.γ_2j^p + X2.γ_j1^p .

Nous avons alors

C_p= ∑ j [(Xj.γ₁₂^p )uj− ∑ k γ₁₂^k γ_kj^p u_j] =^⎛_⎝∑ j ujXj⎞ ⎠^.γ p 12− ∑ k γ₁₂^k ∑ j γ_kj^p uj Par conséquent [X1− V1, X₂− V2] = [X1, X₂] + ∑ p C_p∂_p = ∑ k γ₁₂^kX_k− ∑ p ⎛ ⎝∑k γ₁₂^k ∑ j γ_kj^p u_j⎞ ⎠^∂p+ ∑ p ⎛ ⎝∑j u_jX_j⎞ ⎠^.γ p 12∂_p = ∑ k γ₁₂^k ⎛ ⎝^Xk− ∑ jp γ_kj^p uj∂p⎞ ⎠+ ∑ p ⎛ ⎝∑j ujXj⎞ ⎠^.γ p 12∂p = ∑ k γ₁₂^k(Xk− Vk) ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ∈∆ + ∑ p ⎛ ⎝∑j ujXj⎞ ⎠^.γ p 12∂p

Puisque (x, u) ∈ Σ, (u1, . . . , un) ∈ Kills0(x) est un générateur de Killing d’ordre s0⩾ 1 en

x, nous obtenons[(u1X₁+ ⋯ + unXn).K] (x) = 0. Le second terme de la somme est donc nul. Ainsi [X1 − V1, X₂− V2] ∈ ∆. Bien entendu, ce calcul reste valide pour un crochet arbitraire[Xi− Vi, Xj− Vj] et nous avons prouvé que ∆ est involutive.

Conclusion La distribution ∆ s’intègre en un feuilletageF de Σ. Considérons la feuille F0 qui contient (x0, A) et notons p ∶ Σ → M la projection sur le premier facteur. Puisque

X₁, . . . , X_n sont partout dans l’image de l’application tangente de p∣F0, cette application est un difféomorphisme local de F0 vers M par inversion locale. Dans un voisinage suffi-samment petit de x₀, prenons ̂A(x) = p∣−1

F0(x). Alors ̂A est un champ défini sur un voisinage

de x₀ dont le graphe intègre ∆. Par le lemme 4.2.1, ̂A est un champ de Killing local et

̂

A(x0) = A.