Cas général d’une action de groupe sur une structure conforme

On retire l’hypothèse d’une action localement libre et on note h_x ⊂ h l’algèbre de Lie du stabilisateur de tout point x∈ M.

Lemme 5.3.3. Si x est un point de Zimmer, Ad(S)hx⊂ hx.

Démonstration. Rappelons que pour tout X∈ h, on a X ∈ hx ⇐⇒ ι̂x(X) ∈ p pour tout ̂x dans la fibre au-dessus de x. Pour tout s∈ S, on a p ∈ P tel que ι̂x○ Ad(s) = Ad(p) ○ ι̂x, ce qui prouve que le stabilisateur est Ad(s)-invariant.

En particulier, h_xest un idéal de h lorsque S = H. De façon similaire au cas précédent, on appelle [Qx] la classe conforme de formes quadratiques induite par [gx] sur h/hx via l’application orbitale en x.

Lemme 5.3.4. L’application ϕ̂x∶ TxM → g/p envoie conformément Tx(H.x) sur ĥx+ p ⊂ g/p, lorsque g/p est muni de la classe conforme Ad(P)-invariante [Q].

En particulier, si on note Ad(s) l’action de Ad(s) sur h/hx, nous avons Proposition 5.3.5. Pour tout s∈ S, Ad(s) ∈ Conf(h/hx,[Qx]).

Nous pouvons dès lors repérer la faiblesse de cette approche : si on est en un point de Zimmer dont l’orbite est de petite dimension, la forme quadratique [Qx] pourra être nulle, et la proposition précédente n’apportera plus aucune information. Cependant, dans une telle situation, nous sommes assurés que le stabilisateur est de « grande » dimension. Et nous pouvons espérer que l’isotropie de certains éléments nous apporte des contraintes géométriques assez forte.

Actions conformes de groupes de

Lie simples

Dans ce chapitre, on s’intéresse aux groupes de Lie simples non compacts qui agissent fidèlement par transformations conformes d’une variété lorentzienne compacte de dimen-sion supérieure ou égale à 3. Dans ce contexte, trois objets sont mis en scène : un groupe de Lie H, une variété lorentzienne compacte (M, g), et une dynamique de H sur M qui préserve la classe conforme [g]. Nous abordons donc cette situation avec trois types de questionnement. La première approche sera d’ordre algébrique et cherchera à classer les groupes de Lie simples non compacts pouvant agir sur une variété lorentzienne compacte. Les deux autres, intimement liées, seront de natures géométrique et dynamique : étant donné un tel groupe de Lie, on se demande sur quelle(s) géométrie(s) il peut agir, et quels peuvent être les motifs de sa dynamique.

La situation analogue pour les actions isométriques de groupes de Lie simples non com-pacts est bien comprise depuis les années 1980. À cette époque, les travaux de Zimmer sur les actions de groupes de Lie simples non compacts sur des G-structures ([Zim84b],[Zim86], [Zim87]) avaient ouvert tout un champ de recherche autour du groupe des isométries des variétés lorentziennes compactes. Dans [Zim86], Zimmer donne comme illustration spec-taculaire de son théorème de plongement (Theorem A) que si un groupe de Lie simple non compact H agit par isométries sur une variété lorentzienne compacte(M, g), alors H est localement isomorphe à SL(2, R). Sa preuve montrait également que l’action de ce groupe de Lie devait être localement libre (ie à stabilisateurs discrets) presque partout sur M . Peu de temps après, Gromov démontre qu’une telle action est en fait partout localement libre, que sur chaque orbite on retrouve la métrique de Killing de SL(2, R) et que l’orthogo-nal des orbites s’intègre en un feuilletage par sous-variétés riemanniennes géodésiquement complètes, prouvant ainsi qu’un revêtement de(M, g) est isométrique à un produit tordu ̃

AdS₃×fN , où∀x ∈ ̃AdS₃, {x}×N est riemannienne et géodésiquement complète ([Gro88], § 5.4.A et son corollaire, voir également [Zeg98b], Théorème 1.13). L’action du groupe pré-serve ainsi ce feuilletage et l’action transverse est obtenue en quotientant celle de ̃SL(2, R) sur ̃AdS₃

Les méthodes développées par Zimmer dans la situation des actions isométriques ne peuvent cependant pas s’étendre telles quelles à l’étude des actions conformes. En effet, le résultat central utilisé est un théorème de plongement ([Zim86], Theorem A), qui fait l’hypothèse (cruciale) que l’action du groupe préserve une mesure finie. Les isométries d’une variété pseudo-riemannienne compacte préservent toujours une mesure finie, mais

ça n’est pas le cas pour les transformations conformes et c’est ce qui augmente grandement la difficulté.

Le premier résultat principal de ce chapitre est de nature algébrique et caractérise, à isomorphisme local près, les groupes de Lie simples non compacts pouvant agir conformé-ment sur une variété lorentzienne compacte. Bien sûr, préserver une structure conforme est moins restreignant que de préserver une métrique et on a cette fois plusieurs groupes possibles, non localement isomorphes entre-eux.

Théorème 6.1. Soit H un groupe de Lie simple, connexe et non compact. Supposons que

H agit fidèlement par transformations conformes sur une variété lorentzienne compacte

(M, g), avec dim M ⩾ 3. Alors, l’algèbre de Lie de H est isomorphe à l’une des algèbres

de Lie ci-dessous : – o(1, k), pour k ⩾ 2,

– su(1, k), pour k ⩾ 2,

– o(2, k), pour k ⩾ 3.

Réciproquement, pour chaque algèbre h de cette liste, il existe un groupe de Lie H tel que

Lie(H) = h et une variété lorentzienne compacte (M, g) telle que H ⊂ Conf(M, g). D’une façon générale, pour toute structure géométrique dite « rigide » (voir [Gro88], [DG91]), le simple fait d’admettre un automorphisme (global) non trivial est un phé-nomène exceptionnel. D’Ambra et Gromov suggèrent même que ce phéphé-nomène est suf-fisamment rare pour qu’il soit possible de classer les géométries (M, S) dont le groupe des automorphismes est suffisamment « gros ». Dans le contexte considéré ici, il parait raisonnable d’espérer que si(M, g) est lorentzienne et compacte, le fait de supporter l’ac-tion conforme d’un groupe simple non compact a des implical’ac-tions fortes sur la structure conforme(M, [g]). Le deuxième résultat central de ce chapitre va dans cette direction et donne un résultat de platitude conforme dans le cas des structures analytique réelles. Théorème 6.2. Soit(M, [g]) une structure conforme lorentzienne sur une variété

com-pacte de dimension supérieure ou égale à 3. On suppose(M, [g]) réelle analytique.

Suppo-sons qu’il existe un groupe de Lie simple, connexe et non compact H qui agit conformément sur (M, [g]). On a alors l’alternative :

– ou bien il existe une métrique g₀ dans la classe conforme [g] telle que H agit sur M

par isométries de g₀, et dans ce cas H est localement isomorphe à SL(2, R) ;

– ou bien (M, [g]) est conformément plate.

Les algèbres de Lie simples non compactes étant fondamentalement des assemblages de copies de sl(2, R), nous allons principalement nous concentrer sur des actions conformes de SL(2, R) dites essentielles, c’est-à-dire ne préservant aucune métrique conforme à g. Comme on l’a rappelé, si l’action d’un groupe localement isomorphe à SL(2, R) se fait par isométries, alors elle est localement libre partout. Le point de départ pour étudier les actions essentielles est un résultat dynamique, énoncé ci-dessous, qui assure la réciproque de ce fait.

Théorème 6.3. Soit H un groupe de Lie simple, connexe et non compact qui agit

confor-mément sur une variété lorentzienne compacte (M, g) de dimension supérieure ou égale

à 3. Si l’action de H est partout localement libre, alors elle préserve une métrique g₀ conforme à g (et H est localement isomorphe à SL(2, R)).

Ceci signifie qu’une action conforme d’un groupe localement isomorphe à SL(2, R) est essentielle si et seulement s’il existe une orbite de dimension inférieure ou égale à 2. Notre travail va alors exhiber un champ de Killing conforme, défini et linéarisable au voisinage d’une telle orbite et dont la dynamique impose à ce voisinage d’être conformément plat. Cadre et notations. Dans tout ce chapitre, M désigne une variété différentielle réelle, lisse, compacte de dimension n⩾ 3, munie d’une classe conforme [g] de métriques lorent-ziennes, dont on note(M, C) la géométrie de Cartan normalisée, modelée sur X = Ein1,n−1_,

qui lui est associée. On notera toujours G= PO(2, n) et P = CO(1, n − 1) ⋉ Rn, de sorte que X= G/P, ainsi que π ∶ ̂M → M et ω ∈ Ω1(̂M , g) le P-fibré principal et la connexion de cette géométrie de Cartan. Nous noterons toujours K ∶ ̂M → Hom(Λ2(g/p), g) l’appli-cation courbure de cette géométrie de Cartan, ainsi queDrK∶ ̂M → Wr, r⩾ 1 ses dérivées covariantes (voir section 2.1.5).

Définition 6.0.1. Soient V un espace vectoriel de dimension finie, muni d’une forme quadratique lorentzienne q et V′ ⊂ V un sous-espace. La restriction de q à V′ _{est soit}

non dégénérée de signature lorentzienne ou riemannienne, soit dégénérée, positive avec une dégénérescence de dimension 1 (ce que nous désignerons abusivement par « signature (0, +, . . . , +) »). Une telle forme quadratique sera dite sous-lorentzienne.

6.1 Classification des groupes de Lie simples non compacts

qui peuvent agir conformément

Dans cette section, on commence comme annoncé par dresser la liste, à isomorphisme local près, des groupes de Lie simples non compacts qui admettent une action conforme sur une variété lorentzienne compacte.