La 1-forme canonique sur P (1)
4.6 Une autre approche du théorème de Singer
Nous terminons ce chapitre en expliquant comment l’on peut déduire la généralisation du théorème de Singer présentée au chapitre précédent du théorème 4.1, si on a supposé
que la variété est infinitésimalement homogène à un degré plus élevé que dans le théorème 3.1.
Soit (M, C) une géométrie de Cartan modelée sur X = G/P, et m = dim G. Supposons
M connexe et (M, C) (m + 1)-infinitésimalement homogène, c’est à dire Dm+1K ∶ ̂M → Wm+1 est à valeurs dans une seule P -orbite. Alors, pour tout r ⩽ m, DrK est
égale-ment à valeurs dans une seule P -orbite dansWr. Par conséquent, toutes les applications
K,D1K, . . . ,Dm+1K sont de rang constant sur ̂M . La preuve du théorème 4.1 montre
que ceci implique M = Mint
m+1. Puisque Dm+1K est P -équivariante, pour tout ̂x ∈ ̂M ,
Ker(T̂xDm+1K) + T̂x(̂x.P) = T̂xM , ce qui implique π̂ ∗Ker(T̂xDm+1K) = TxM . Ainsi, le
théorème 3.1 nous donne TxM = {X(x), X ∈ Killloc(x)} et (M, C) est localement homo-gène.
Actions conformes de groupes de
Lie sur des variétés compactes
Autour d’un théorème de
plongement
Ce chapitre présente quelques résultats généraux et techniques autour de l’étude des actions de groupes de Lie qui préservent une géométrie de Cartan. Le théorème central qui est décrit ici est une formulation dans le cadre des géométries de Cartan, due à U. Bader, C. Frances et K. Melnick d’un théorème de plongement, initialement donné par R.J. Zimmer ([Zim86], Theorem A) dans le cas d’actions de groupes de Lie simples non compacts qui préservent des G-structures de volume fini. L’énoncé général de ce théorème est un peu abrupt et nous expliquons comment le mettre en oeuvre dans le cadre d’actions conformes de groupes de Lie sur des variétés pseudo-riemanniennes.
5.1 Historique
5.1.1 Applications de Gauss
La notion d’application de Gauss telle qu’on la trouve formulée dans [DG91] se définit comme suit. Si H est un groupe de Lie qui agit différentiablement sur une variété M , on dispose d’une application
σ∶ M → Gr(h)
x↦ hx
où hx désigne l’algèbre de Lie du stabilisateur de x dans H. Lorsque l’on fait agir H par action adjointe sur les espaces de la grassmannienne Gr(h), cette application devient
H-équivariante.
Prenons un autre exemple. Supposons que l’action de H préserve une métrique pseudo-riemannienne g sur M . En tout point x ∈ M, la restriction de gx à l’espace tangent à l’orbite Tx(H.x) ≃ h/hx se rapatrie sur h en une forme quadratique qx (en décrétant que hx⊂ Ker qx) et l’application
σ′∶ M → S2(h∗)
x↦ qx
ainsi définie est H-équivariante pour l’action de H sur les formes quadratiques sur h définie par h.q(X) = q(Ad(h−1)X).
En prélude à la définition de point de Zimmer que nous allons donner plus loin, obser-vons sur ces deux exemples ce que l’on peut dire de point x∈ M s’envoyant par σ ou σ′
sur un point fixé par l’action de H sur la variété à l’arrivée.
Dans le premier cas, si x est un tel point, cela signifie que l’algèbre de Lie de son stabilisateur est un idéal de h. Ainsi, si on est par exemple dans le cas où H est un groupe de Lie simple et connexe, l’orbite d’un point x∈ M tel que H.σ(x) = {σ(x)} est soit réduite à{x}, soit de dimension maximale dim h.
Dans le deuxième cas, si x∈ M est tel que H.σ′(x) = {σ′(x)}, cela signifie que la forme quadratique qx sur h est laissée invariante par toute l’action adjointe de H. Comme nous aurons l’occasion de le voir à plusieurs reprises dans les chapitres qui vont suivre, une telle propriété est très restrictive. Parfois on peut même entièrement déterminer une telle forme quadratique et on connaît alors la signature de l’orbite d’un tel point.
5.1.2 Dynamique algébrique mesurée
Formalisons ce que nous venons d’observer. On a l’action d’un groupe de Lie H sur une variété M qui se fait en préservant une certaine structure géométrique, on lui a associé une application H-équivariante
σ∶ M → V
où V est une variété munie d’une action du groupe H et on s’est rendu compte qu’il y a des choses intéressantes à dire sur les points de M qui s’envoient par σ dans le lieu {v ∈ V ∣ H.v = {v}} des points de V fixés par l’action de H. On aimerait donc comprendre le lieu σ(M) ∩ {v ∈ V ∣ H.v = {v}}. Est-il non vide ? Peut on localiser ses points ?
Dans les deux cas que nous avons décrits la variété V a une structure de variété algébrique réelle, et si par exemple on suppose le groupe H algébrique, l’action de H sur
V est algébrique. Par H-équivariance, on a alors une action algébrique de H sur l’adhérence
de Zariski de σ(M) dans V . L’idée centrale est que des propriétés dynamiques de H sur
M vont se retrouver dans l’action de H sur V , et que la rigidité des actions algébriques va
assurer l’existence de points fixes. C’est ce que donne résultat suivant remonte à A. Borel et H. Fürstenberg, et que l’on peut trouver dans [Zim84a], Theorem 3.2.5.
Théorème 5.1 (Théorème de densité de Borel). Soit H un groupe algébrique agissant
algébriquement sur une variété algébrique V . Supposons que l’action de H préserve une mesure finie µ sur V . Alors, le sous-groupe H0 de H formé par les éléments qui agissent trivialement sur le support Supp(µ) de la mesure est un sous-groupe normal, algébrique
et cocompact de H.
De façon informelle, ce théorème nous dit que si une action algébrique préserve une mesure finie, alors elle est quasiment triviale sur le support de la mesure. Prenons un cas élémentaire : supposons H algébrique, simple et non compact. Si on construit une action algébrique de H sur une variété algébrique, de sorte que H agit en préservant une mesure finie µ, alors on est assuré que H agit trivialement sur le support de µ puisque par simplicité le sous-groupe algébrique H0 ne peut qu’être {e} ou H et {e} n’est pas cocompact puisque H est non compact.
Reprenons notre situation où H est un groupe de Lie agissant sur M et σ∶ M → V est une application H-équivariante. Si H préserve une mesure finie µ sur M , alors à l’arrivée
H préserve σ∗µ sur V . Si par exemple H est simple, algébrique et non compact, alors tout
5.1.3 Le théorème de plongement de Zimmer et ses conséquences en géométrie lorentzienne
C’est à partir de méthodes proches de ce qu’on vient de décrire que Zimmer a démontré un important théorème de plongement, dont nous rappelons l’énoncé.
Théorème 5.2 ([Zim86], Theorem A). Soient M une variété compacte et P → M une
G-structure (d’ordre arbitraire), où G est un groupe algébrique réel. Supposons que cette G-structure définit naturellement une densité sur M . Soit H un groupe de Lie simple non compact agissant non trivialement sur M par automorphismes de cette G-structure. Alors, il existe un plongement d’algèbres de Lie ι∶ h → g.
En fait, on peut choisir le plongement ι de sorte qu’on ait une représentation g → gl(RN) et un sous-espace V ⊂ RN tels que ι(h) préserve V et ι(h) restreinte à V soit
conjuguée à ad(h).
Une très belle illustration de ce résultat est le corollaire suivant donné par Zimmer. Corollaire 5.1.1 ([Zim86], Theorem B, 1)). Un groupe de Lie simple non compact qui
admet une action non triviale par isométries sur une variété lorentzienne compacte est soit compact, soit localement isomorphe à PSL(2, R).
Ces travaux de Zimmer furent le point de départ d’importantes avancées dans la com-préhension du groupe des isométries d’une variété lorentzienne compacte, qui aboutirent en 1995 à la classification à isomorphisme local près des groupes d’isométries possibles pour une variété lorentzienne compacte.
Théorème 5.3 ([AS97], [Zeg98a]). Soient (Mn, g) une variété lorentzienne compacte,
avec n ⩾ 2, et G = Isom(M, g)0 la composante neutre de son groupe d’isométries. Le revêtement universel de ce groupe se décompose en ̃G= S × K × Rk, où K est un groupe de Lie semi-simple compact, et S est dans la liste suivante :
– {id} ;
– le revêtement universel SL̃(2, R) ;
– un groupe de Heisenberg Heis(2d + 1), d ⩾ 1 ;
– une famille dénombrable de produits semi-directs résolubles (non nilpotents) de la forme R⋉ Heis(2d + 1), d ⩾ 1.
Réciproquement, pour chaque groupe de Lie ̃G de cette forme, il existe une variété lorent-zienne compacte(M, g) telle que Isom(M, g)0 est revêtu par ̃G.