Caractérisation algébrique des groupes de Lie nilpotents non abélien qui

On termine dans cette section en expliquant comment prouver le théorème 7.1. Il va nous suffire de faire le bilan de ce qui a été vu. Soit H un groupe nilpotent connexe non abélien tel qu’il existe(M, g) lorentzienne compacte de dimension n, supportant une action conforme de H.

Nous savons qu’en toute généralité n(H) ⩽ 3 et que s’il y a égalité, H est localement isomorphe à un sous-groupe de O(2, n) ([FM10], Theorem 1.2). Pour le cas n(H) = 2, il suffit de distinguer selon que l’action est essentielle ou non.

Si l’action est inessentielle, alors h est isomorphe à une somme directe d’algèbres de Lie heis(2d + 1) ⊕ Rk par le théorème 7.4, et le groupe correspondant à heis(2d + 1) agit localement librement partout. En fait, les résultats antérieurs sur les actions isométriques de groupes de Lie sur des variétés lorentziennes compactes ([D’A88], Corollary 3.3) assurent que dans ce cas, toute l’action est localement libre sur un ouvert dense de M . En particulier, 2d+1+k ⩽ n et on vérifie sans difficulté que dans ces conditions, heis(2d+1)⊕Rkse plonge dans o(2, n).

Si l’action est essentielle, nous avons démontré que (M, [g]) est conformément plate sur un ouvert U . On peut conclure avec le

Lemme 7.3.1. Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne de signature (p, q), avec

p+ q ⩾ 3 et h ⊂ Kill(M, [g]) une algèbre de Lie (de dimension finie) de champs de Killing

conformes. Si cette variété est conformément plate, alors l’algèbre de Lie h s’injecte dans

o(p + 1, q + 1).

Démonstration. On appelle ι̂x∶ h → o(p+1, q +1) l’application linéaire injective définie par

ι̂x(X) = ω̂x( ̂X(̂x)) où ̂X désigne le relevé de X à l’espace total du fibré de Cartan associé

à la structure conforme(M, [g]). Cette application a été introduite au début du chapitre 5 pour des structures de Cartan générales. Or, puisque(M, [g]) est supposée conformément plate, la 2-forme courbure de la géométrie de Cartan associée est identiquement nulle. Par conséquent, le lemme 5.2.1 assure que pour tout ̂x, ι̂x est un morphisme d’algèbres de Lie.

Finalement, dans tous les cas, un groupe de Lie nilpotent, connexe et non abélien qui agit conformément sur une variété lorentzienne compacte est nécessairement localement isomorphe à un sous-groupe de P O(2, n). Réciproquement, tout sous-groupe nilpotent non abélien de P O(2, n) agit conformément sur Ein1,n−1 _{qui est une variété lorentzienne et}

compacte. Ainsi

Théorème 7.5. Soit H un groupe de Lie nilpotent, connexe, non abélien. Ce groupe H

agit conformément sur une variété lorentzienne compacte de dimension n si et seulement si h se plonge dans o(2, n)

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