La 1-forme canonique sur P (1)
6.2 Caractérisation des actions inessentielles de SL (2, R)
⎝ t1t3 −t1t2 t21 t1t4 −t2 1 −t1t2 t21 t1t4 −t1t3 ⎞ ⎟ ⎠⩽ 1. En particulier le mineur ∣t1t4 −t2 1
t21 t1t4∣ doit être nul. On en déduit t1 = 0. On prouve de la même façon que t2 = t3 = t4 = 0.
On note encore D= f(u ∩ [heisC(2n − 3), heisC(2n − 3)]). Ce que nous venons d’établir dans le lemme précédent assure que X1, X2, X3, X4∈ heisC(2n − 3), nous devons avoir
f([X1, X2]) = [U, Ui] = Zi∈ D
f([X1, X3]) = [U, Uj] = Zj∈ D. Ceci contredit dim D⩽ 1, et donc l’existence de f.
Nous pouvons conclure. L’hypothèse d’existence d’une action conforme de H sur(M, g) nous a assuré celle d’un morphisme surjectif d’un groupe unipotent U⊂ Umax sur Adh(S), où S⊂ H est un groupe qui intègre s = heisH(7) ⊂ h. En dérivant ce morphisme, on obtient un morphisme surjectif de u⊂ umaxsur adh(s), et par simplicité de h, adh(s) ≃ s. Le lemme précédent nous assure que ceci n’est pas possible.
6.2 Caractérisation des actions inessentielles de SL(2, R)
Rappelons qu’une action conforme d’un groupe de Lie sur une structure conforme (M, [g]) est dite inessentielle s’il existe une métrique g0 conforme à g pour laquelle l’action du groupe se fait par isométries. Comme nous l’avons rappelé en introduction à ce chapitre, si(M, g) est une variété lorentzienne compacte, à isomorphisme local près SL(2, R) est le seul groupe de Lie simple non compact pouvant agir par isométries sur(M, g), et si une telle action existe, alors toutes les orbites sont de dimension égale à 3.Dans cette section nous démontrons que cette propriété des orbites caractérise les actions conformes inessentielles des groupes de Lie localement isomorphes à SL(2, R) sur des variétés lorentziennes compactes. Nous verrons à la section 6.5 que si H est un groupe de Lie simple non compact non localement isomorphe à SL(2, R), alors une action conforme de H sur une variété lorentzienne compacte ne peut pas être localement libre partout. Par conséquent, le théorème 6.3 sera une conséquence de l’énoncé ci-dessous.
Théorème 6.4. Soient(M, g) une variété lorentzienne compacte de dimension dim M ⩾ 3
et H un groupe de Lie connexe et localement isomorphe à SL(2, R). Étant donné une
inessentielle, c’est-à-dire il existe une métrique g0 dans la classe conforme [g] telle que
H⊂ Isom(M, g0).
Démonstration. L’algèbre de Lie h est isomorphe à sl(2, R). On peut donc se donner trois éléments X, Y, Z∈ h qui vérifient les relations [X, Y ] = Y , [X, Z] = −Z et [Y, Z] = X. Une action conforme de H sur(M, g) définit un triplet de champs de vecteurs conformes, que nous notons par abus X, Y , Z, qui sont partout linéairement indépendants et vérifient les mêmes relations de crochets que dans sl(2, R).
On appelle (M, C) la géométrie de Cartan modelée sur Ein1,n−1 associée à(M, [g]). Conformément au chapitre 5, nous notons toujours ι ∶ ̂M → Hom(h, g) l’application de Gauss associée à l’action de H par automorphismes de(M, C) (̂M désigne l’espace total
du fibré de Cartan). On considère le sous-groupe de Cartan S= {etX, t∈ R} ⊂ H.
Lemme 6.2.1. En tout point de Zimmer x∈ M pour (ι, S), l’orbite H.x est lorentzienne,
Xx est de type espace, Yx et Zx sont isotropes et orthogonaux à Xx.
Démonstration. Soit x un tel point. Nous sommes dans la situation de la proposition 5.3.2.
Celle-ci nous assure que la classe conforme[Qx] sur h, qui correspond à la restriction de [gx] à l’espace tangent à l’orbite H.x, est invariante par l’action adjointe Adh(S).
Le point clé ici est que Qx, en tant que restriction d’une forme quadratique lorentzienne, a ses sous-espaces totalement isotropes de dimension au plus 1. Notons atl’endomorphisme Adh(Xt). Nous avons λ(t) > 0 tel que a∗
tQx= λ(t)Qx. Supposons Qx(Y ) ≠ 0. Nous voyons alors que Qx(atY) = e2tQx(Y ) = λ(t)Qx(Y ). D’où λ(t) = e2t. Mais alors, en notant Bx la forme polaire de Qx, nous aurions Bx(atX, atZ) = e2tBx(X, Z) = Bx(X, e−tZ), d’où X ⊥ Z. On obtient de même Qx(X) = Qx(Z) = 0. Les vecteurs X et Z doivent donc former un plan isotrope, ce qui est exclus. Ainsi, Y est isotrope et par symétrie, Z l’est également. Ces deux vecteurs ne pouvant être orthogonaux, nous obtenons Bx(atY, atZ) = λ(t)Bx(Y, Z) =
Bx(Y, Z), d’où λ(t) = 1 et donc Adh(S) ⊂ O(Qx). Par conséquent, nous devons avoir
Bx(X, Y ) = Bx(atX, atY) = etBx(X, Y ) et Bx(X, Z) = Bx(atX, atZ) = e−tBx(X, Z) pour tout t. Il en découle que X est également orthogonal à Y et Z pour Qx. Comme [Qx] correspond à la restriction de [g], cela signifie que dans TxM , le plan Vect(Yx, Zx) est lorentzien et Xx lui est orthogonal. Par conséquent, Xx est de type espace.
Considérons à présent U = {x ∈ M ∣ gx(X, X) > 0}. Puisque S ⊂ H vérifie la propriété (*) et est moyennable, on a existence de points de Zimmer pour(ι, S), et l’ouvert U est non vide par ce qui précède. De plus, U est invariant par le flot de X. Si U n’était pas M entière, son complémentaire serait un fermé, non vide, S-invariant. Par conséquent, par la propriété 5.3.1, Uc devrait contenir des points de Zimmer pour (ι, S), ce qui est absurde d’après ce que l’on vient de voir. Finalement, le champ X est partout de type espace.
Le théorème découle alors de la proposition suivante qui est plus générale.
Proposition 6.2.2. Soit G un groupe simple, connexe agissant conformément sur une
variété pseudo-riemannienne compacte(M, g). Soit a un espace de Cartan de g. On
sup-pose qu’il existe un élément régulier de a qui est partout de type espace. Alors, l’action de G est inessentielle.
La preuve de cette propriété s’appuie sur le fait suivant (qui est une technique bien connue, déjà utilisée dans [Oba72], voir aussi [Laf88], §B. Lemma 11, dans le cas rieman-nien). Nous en donnons une formulation générale car nous le réutiliserons de façon moins élémentaire au chapitre 7.
Lemme 6.2.3. Soient(M, g0) une variété pseudo-riemannienne et h ⊂ X(M) une algèbre
de champs de vecteurs conformes. Si X ∈ h est partout de type espace, la métrique g ∶=
g0
g0(X,X) est préservée par les flots des éléments du centralisateur zh(X).
Démonstration (Lemme 6.2.3). Soit Y commutant avec X. Notons λ(x, t) la distorsion conforme du flot φtY relativement à la métrique g0, ie ∀x ∈ M, t ∈ R, [(φt
Y)∗g0]x =
λ(x, t)(g0)x. Nous avons pour tous x∈ M et u, v ∈ TxM
gφt Y(x)(φt Y∗u, φtY∗v) = (g0)φtY(x)(φt Y∗u, φtY∗v) (g0)φt Y(x)(Xφt Y(x), Xφt Y(x)) = λ(x, t)(g0)x(u, v) λ(x, t)(g0)x(Xx, Xx) = gx(u, v), parce que[Y, X] = 0 ⇒ TxφtYXx= Xφt
Y(x). Nous avons bien(φt Y)∗g
0= g0.
Démonstration (Proposition 6.2.2). Soient Φ l’ensemble des racines restreintes de a et
g = g0⊕ ⊕α∈Φgα la décomposition en espaces de racine associée. Soit X ∈ a régulier partout de type espace. Si g0 est une métrique quelconque dans la classe conforme de M , posons g= g0
g0(X,X).
Puisque g0 ⊂ zg(X) (X est dans l’espace de Cartan), le lemme 6.2.3 nous assure que (φt
Y)∗g= g pour tout Y ∈ g0. Ainsi, tout le groupe engendré par exp(g0) ⊂ H agit isomé-triquement pour g.
Soient maintenant α une racine et Z ∈ gα. Puisque [X, Z] = α(X)Z, on doit avoir (φt
X)∗Z(x) = e−α(X)tZ(φt
Xx). La relation (φt
X)∗g= g nous donne alors
gx(Z, Z) = e−2α(X)tgφt
X(x)(Z, Z) et gx(Z, Y ) = e−α(X)tgφt
X(x)(Z, Y )
pour tout Y ∈ g0. Comme {x ↦ gx(Z, Y )} et {x ↦ gx(Z, Z)} sont bornées sur M par compacité, on déduit de α(X) ≠ 0 qu’en tout point et pour toute racine α, gαest totalement isotrope et orthogonal à g0.
On appelle λ(x, t) la distorsion conforme du flot de Z. De la relation [Z, X] = −α(X)Z on déduit
∀x, t, (φt
Z)∗X(x) = X(φt
Z(x)) + α(X)t Z(φt Z(x)). Nous avons alors λ(x, t)gx(X, X) = gφt
Z(x)(X, X) = gx(X, X) > 0 car par construction, l’application {x ↦ gx(X, X)} est constante égale à 1 sur M. D’où λ(x, t) = 1, et donc les sous-groupes engendrés par les espaces de racine agissent isométriquement. On en déduit qu’un voisinage de l’identité de G est contenu dans Isom(M, g), on conclut par connexité.
Remarque 6.2.1. On peut affaiblir l’hypothèse de ce dernier lemme. Supposons qu’on ait X0∈ a partout de type espace. Par continuité de {(X, x) ↦ gx(X, X)} (pour une métrique arbitraire), pour tout x∈ M on a un voisinage Ux de x et un voisinage Vx ⊂ a de X0 tel que pour tout y∈ Ux et X∈ Vx, Xy est de type espace. Par compacité, on a x1, . . . , xn tels que M= ⋃ Uxi. L’ouvert⋂ Vxi⊂ a contient nécessairement un élément régulier X qui, par construction, est partout de type espace.
Comme nous l’avons expliqué en début de chapitre, la preuve du théorème 6.2 se ramène essentiellement à l’étude des action conformes essentielles de groupes localement isomorphes à SL(2, R). Nous allons donc consacrer les sections 6.3 et 6.4 à la démonstration du théorème intermédiaire suivant.
Théorème 6.5. Soient H un groupe de Lie connexe et localement isomorphe à SL(2, R)
et (M, [g]) une structure conforme lorentzienne réelle analytique, avec dim M ⩾ 3, sur
laquelle H agit conformément. S’il existe une H-orbite de dimension inférieure ou égale à 2, alors(M, [g]) est conformément plate.
Ce que nous venons de démontrer sur les actions conformes localement libres nous don-nera alors immédiatement le théorème 6.2 dans le cas des groupes localement isomorphes à SL(2, R). Nous terminerons alors le chapitre en prouvant à la section 6.5 qu’un groupe de Lie simple non compact, non localement isomorphe à SL(2, R), qui agit conformément sur une variété lorentzienne compacte contient toujours un sous-groupe localement isomorphe à SL(2, R) qui agit essentiellement.
Plan de la preuve du théorème 6.5
La démonstration va s’organiser comme suit. On se fixe un groupe de Lie H connexe et localement isomorphe à SL(2, R) agissant conformément et essentiellement sur une variété lorentzienne compacte(M, g). Notre attention va bien sûr se concentrer sur le lieu de M où les H-orbites sont de dimension inférieure ou égale à 2 puisque c’est la non vacuité de cet ensemble qui caractérise l’essentialité de l’action de H.
1. La première étape, qui va être l’objet de la section 6.3, est de démontrer qu’on a l’alternative
– ou bien il existe une H-orbite de dimension 1 ;
– ou bien il existe un compact K⊂ M, qui est H-invariant, et dans lequel toutes les
H-orbites sont de dimension 2.
2. Dans la première situation, des résultats antérieurs vont nous permettre de démon-trer directement la platitude de (M, [g]) si celle-ci est supposée réelle analytique. 3. C’est donc dans la deuxième situation que se situe le gros du travail. On y consacre
la section 6.4. On va démontrer qu’il existe un point de K dont la H-orbite est dégénérée et qui admet un voisinage sur lequel est défini un champ conforme local qui fixe ce point, dont le flot est défini à tout temps positif, et dont la dynamique préserve et contracte exponentiellement une certaine distribution d’hypersurfaces dégénérées sur un segment lumière.
L’existence d’un tel champ conforme local va découler du théorème 4.4 d’intégrabilité des générateurs de Killing dans le cas analytique. L’hypothèse d’analyticité est ici centrale car le compact K peut être d’intérieur vide et inclus dans le complémentaire du lieu d’intégrabilité si on ne suppose pas la structure analytique.
On montrera alors qu’un tel phénomène dynamique ne peut se produire que sur un ouvert conformément plat, et puisque la structure conforme est supposée analytique, cela impliquera que (M, [g]) est conformément plate.