Le groupe des automorphismes d’un parallélisme

Définition 1.2.3. Un parallélisme P sur une variété Mn est la donnée de n champs de vecteurs partout linéairement indépendants (X1, . . . , X_n). Par dualité, cela revient à se donner une 1 forme ω ∈ Ω1(M, Rn) telle que pour tout x, ωx ∶ TxM → Rn est un isomorphisme linéaire.

Un isomorphisme entre deux variétés munies de parallélismes (M1,P1) et (M2,P2) est un difféomorphisme f ∶ M1 → M2 tel que f∗_ω2 = ω1, si ω_i est la 1-forme associée au parallélismePi. Un champ de Killing est un champ de vecteur X∈ X(M) tel que LXω= 0, ce qui revient à demander que son flot est formé d’isomorphismes locaux. Notons que si

g est la métrique riemannienne dont(X1, . . . , Xn) est un champ repère orthonormé, alors Aut(M, P) ⊂ Isom(M, g) et en particulier les automorphismes agissent par isométries d’une distance qui induit la topologie de M . Pour tout X∈ Rn, on note ̃X= ω−1(X) ∈ X(M) le

champ ω-constant associé à X. On a alors une notion d’exponentielle : pour tout x∈ M et A∈ Rnsuffisamment petit, on pose

exp(x, A) = φ1 ̃

A(x)

où φ^tà désigne le flot local du champ ̃A. Un argument d’inversion locale assure alors

que cette exponentielle réalise un difféomorphisme entre un voisinage de M× {0} dans

M× Rn et un voisinage de la diagonale de M × M. On vérifie immédiatement que si f préserve le parallélisme, f(exp(x, A)) = exp(f(x), A) pour de petits A. En particulier, un automorphisme d’un parallélisme qui fixe un point coïncide localement avec l’identité. Lemme 1.2.1. Soit f∶ M → M une application différentiable qui préserve le parallélisme.

Si f fixe un point x₀, alors f coïncide avec l’identité sur la composante connexe de x₀.

Le résultat suivant illustre encore plus la rigidité d’un parallélisme.

Lemme 1.2.2. Soit (fk) une suite de Aut(M, P). S’il existe x0 ∈ M tel que (fk(x0))

converge, et si M est connexe, alors il existe f∞∈ Aut(M, P) tel que (fk) → f∞ ^{pour la}

topologie compacte-ouverte.

Démonstration. On note x∞ ^{la limite de} (fk(x0)). Prouvons que (fk) converge ponc-tuellement sur M . Si x∈ M, donnons-nous γ un chemin de x0 à x. Puisque les f_k pré-servent une distance riemannienne d sur M , les images f_k(γ) restent dans un compact de M . Fixons alors un ouvert U relativement compact, qui contient γ∪ ⋃k⩾0^fk(γ), et tel qu’il existe U ⊂ Rn un voisinage ouvert de 0 tels que ∀x ∈ U, exp(x, .) réalise un difféomorphisme de U sur son image Ux ∶= exp(x, U). On prend maintenant un recou-vrement fini de γ ⊂ ⋃0⩽i⩽n^Ui tel que x_n = x et pour tout i on ait xi ∈ γ ∩ Ui∩ Ui+1 ^et

exp(exp(. . . (exp(x0, u0), u1) . . . , un−2), un−1). Pour tout k, fk est un automorphisme du parallélisme et commute donc à l’exponentielle, ce qui nous assure

fk(x) = exp(exp(. . . (exp(fk(x0), u0), u1) . . . , un−2), un−1).

Ceci montre bien que (fk(x)) a une limite, que nous notons f∞(x). Puisque les fk pré-servent tous la distance d, l’application f∞∶ x ↦ f∞(x) est une isométrie de (M, d), donc un homéomorphisme de M . La construction de f∞ montre que

f∞(x) = exp(exp(. . . (exp(x∞, u0), u1) . . . , un−2), un−1),

où les u_idépendent différentiablement de x, ce qui assure que f∞^{est lisse. Enfin, pour tous}

x∈ M et u ∈ Rn assez petit, nous avons f_k(exp(x, u)) = exp(fk(x), u) → exp(f∞(x), u), d’où f∞(exp(x, u)) = exp(f∞(x), u). Puisque f∞ est différentiable, ceci implique que f∞

préserve le parallélismeP et que la convergence fk→ f∞ ^{est uniforme sur les compacts.}

Pour conclure, comme on a d(f−1

k (x∞), x0) = d(x∞^{, f}k(x0)) → 0, (f−1

k (x∞)) converge vers x₀. En appliquant ce qui vient d’être fait à la suite (gk) = (f−1

k ), nous avons un difféomorphisme g∞ qui préserve le parallélisme et tel que g∞(x∞) = x0. Ainsi, g∞ ○

f∞(x0) = x0 et f∞○ g∞(x∞) = x∞. Par le lemme 1.2.1, f∞∈ Aut(M, P) et f−1 ∞ = g∞. À présent, fixons-nous(M, P) une variété munie d’un parallélisme. Notons G le groupe de ses automorphismes. Les lemmes précédents impliquent que l’action de G sur M est libre et propre sur chaque composante connexe, lorsque G est muni de la topologie de convergence sur les compacts. Le résultat suivant est fondamental.

Théorème 1.5. Le groupe G admet une unique structure de groupe de Lie réel qui rend

son action sur M différentiable. De plus, la structure différentielle de G est compatible avec la (restriction à G de la) topologie compacte-ouverte.

Démonstration. Le lemme 1.2.2 implique que les orbites de G sont fermées dans M . Nous

allons prouver que ce sont des sous-variétés.

L’ensemble Kill(M, P) des champs de Killing de (M, P) forme une sous-algèbre de champs de vecteurs, et puisque pour tout x∈ M, l’évaluation {X ∈ Kill(M, P) ↦ Xx ∈

TxM} est injective, cette algèbre est de dimension finie bornée par dim M.

Définissons alors h comme étant la sous-algèbre de Kill(M, P) engendrée par les champs de Killing complets. Le théorème 1.3 (et les commentaires qui suivent son énoncé) nous assure alors qu’il existe un groupe de Lie connexe H qui agit sur M par automorphismes deP et qui intègre l’action infinitésimale de h. L’action de G sur M étant libre et propre, les orbites de H sont des sous-variétés fermées de M . Les orbites de G sont alors des réunions d’orbites de H. La fin de la démonstration repose essentiellement sur le lemme suivant.

Lemme 1.2.3. Soit (xk) une suite de points dans une même G-orbite, xk → x∞, avec x_k≠ x∞ (nécessairement x∞ est lui aussi dans cette orbite). Alors, il existe un champ de Killing complet X tel que quitte à extraire, ω(X(x∞)) est la direction asymptotique de la

suite (xk).

Remarque 1.2.4. Par direction asymptotique, on entend une limite dans Pⁿ−1(R) de R.uk, où l’on écrit x_k= exp(x∞^{, u}k).

Démonstration. Nous pouvons donc supposer qu’aucun des x_k n’est dans la H-orbite de

x∞. Premièrement, donnons-nous un voisinage U de x∞ et un voisinage U de 0 dans Rⁿ tels que exp(x, u) est défini pour tous x ∈ U et u ∈ U et supposons que les xk sont tous dans U . Nous avons alors u_k ∈ U tels que xk = exp(x∞, uk). Quitte à extraire, on peut supposer que tous les u_k sont non nuls et que u_k = λkv_k, avec (vk) → v ≠ 0 et

λ_k> 0. Pour tout k, nous avons également gk∈ G tel que xk= gkx∞^{. Fixons a}> 0 tel que

tv ∈ U pour ∣t∣ < a. Pour 0 < t < a, donnons-nous (nk) → ∞ une suite d’entiers tels que

n_kλ_k → t et nkλ_k < t. Nous avons alors gnk

k x∞ = exp(x∞, n_kλ_kv_k). Nous obtenons ainsi que(gnk

k x∞) → exp(x∞^{, tv}). Par le lemme 1.2.2, gnk

k converge pour la topologie compacte-ouverte vers g^t ∈ G, qui vérifie donc gt.x∞ = exp(x∞, tv). Si gt, g^t′ et g^t+t′

sont définis, nous avons g^t′g^tx∞= gt′ exp(x∞^{, tv}) = exp(gt′ x∞^{, tv}) = exp(x∞^,(t + t′)v) = gt+t′ x∞^{. Nous} avons donc g^tg^t′ = gt+t′

et les g^t engendrent un groupe à un paramètre d’automorphismes qui définit un champ de Killing complet X, qui est tel que ω_x∞(X(x∞)) = v.

Soit x∈ M. Puisque l’action de H est localement libre, en notant s = dim H et en fixant (X1, . . . , X_s) une base de h, nous avons U1 un voisinage de 0 dans Rⁿ−s_,U2 un voisinage de 0 dans R^s, U un voisinage de x dans M et un difféomorphisme

Φ∶ U1× U2→ U donné pour u ∈ U1 et t ∈ U2 par Φ(u, t) = φt1

X1 ○ ⋯ ○ φts

Xs(exp(x, u)). Le lemme que nous venons de démontrer nous assure que si les ouverts sont pris assez petits, alors G.x∩ U = Φ({0} × U2). En effet, si ça n’était pas le cas, nous aurions une suite xk≠ x dans G.x qui converge vers x. Quitte à la perturber par de petits éléments de H, cette suite serait de la forme x_k = Φ((uk, 0)), et le lemme nous fournirait alors un champ de Killing complet qui devrait être transverse à l’orbite de H, ce qui n’est pas possible.

Nous pouvons alors terminer la preuve du théorème. Nous venons de démontrer que les orbites de G sont des sous-variétés plongées de M et que si x est fixé, l’application orbitale

G→ G.x

est un homéomorphisme lorsque G est muni de la topologie compacte-ouverte. En rapa-triant la structure différentielle de la variété G.x sur G, nous munissons G d’une structure de groupe de Lie réel, dont la structure différentielle est compatible avec la topologie compacte-ouverte.

On notera que la preuve montre que le groupe H est la composante neutre de G, ce qui est cohérent a posteriori : H est le sous-groupe engendré par les sous-groupes à un paramètre de G.

1.2.3 Le groupe des automorphismes d’une G-structure de type fini

Donnons-nous une G-structure P → M de type fini, avec G(k)= {id}. Nous avons donc un "empilement" de fibrés

P(k) G(k)

ÐÐ→ P(k−1)→ ⋯ → P(1) G(1)

ÐÐ→ P G

D’après le théorème 1.5, le groupe des automorphismes de la{id}-structure P(k)→ P(k−1)_,

appelons-leG, admet une structure de groupe de Lie qui rend son action sur P(k−1)

diffé-rentiable. De plus, le théorème 1.1 nous fournit un plongement

ιk∶ Aut(P → M) Ð→ G

f ↦ Tkf.

Lemme 1.2.4. L’image de ι_k est fermée dans G.

Démonstration. Pour k = 1, donnons-nous une suite (fn) d’automorphismes de la G-structure telle que(Tfn) → F dans G (rappelons qu’en particulier, la convergence est celle de la convergence uniforme sur les compacts de P ). Chaque T f_n commute avec l’action de G sur P . En passant à la limite, F commute également avec l’action de G, et F est un automorphisme de fibré, au-dessus d’un difféomorphisme f ∈ Diff(M). D’après la proposition 1.1.1, f ∈ Aut(P → M) et F = Tf. Notons que (fn) → f pour la topologie C1. Pour k⩾ 2, on suppose que Tkf_n converge (pour la topologie compacte-ouverte) vers

F(k) ∈ Aut(P(k)→ P(k−1)). Puisque Tkfn= T(Tk−1_fn), ce qui vient d’être vu pour k = 1 montre qu’il existe F(k−1) ∈ Aut(P(k−1) → P(k−2)) tel que Tk−1_f

n → F(k−1) _{en topologie}

C¹.

Une preuve par induction nous donne ainsi qu’il existe un automorphisme f ∈ Aut(P →

M) tel que F(k)= Tkf et (fn) converge en topologie Ck vers f .

Finalement, l’image de ι_k est un sous-groupe de Lie de G et on peut rapatrier cette structure différentielle sur Aut(P → M), qui devient lui même un groupe de Lie, dont l’action sur M est différentiable. La topologie sous-jacente de la structure différentielle est compatible avec la topologie C^k. Enfin, ι_k devient un plongement de groupes de Lie, et nous avons

Géométries de Cartan et le

problème d’équivalence

Le « programme d’Erlangen » élaboré par Felix Klein en 1872 voulait définir les diffé-rentes géométries qui venaient alors de naître en termes de groupes de transformations, et ce de façon à les unifier. En termes modernes, une géométrie de Klein est simplement la donnée d’un espace homogène X= G/P, G étant un groupe de Lie, et P un sous-groupe fermé de G. Étudier la « géométrie » de X, c’est alors étudier des objets, des notions, liés à X, et qui sont préservés par l’action par translation à gauche sur X du groupe G.

Dans les années 1920, Élie Cartan introduisit ce qu’il appela les « espaces généralisés », qui sont des versions courbées des géométries de Klein, dans le même sens que lorsqu’on affirme qu’une variété riemannienne est une version courbe de l’espace euclidien Eⁿ, qui lui-même est vu comme l’espace homogène (O(n) ⋉ Rn)/O(n). Depuis, on a coutume de désigner ces « espaces » par le terme géométries de Cartan. Chaque géométrie de Cartan correspond donc à un espace homogène, que l’on appelle espace modèle de la géométrie.

L’objet de ce chapitre est d’introduire la notion de géométrie de Cartan, et de donner une construction de la géométrie de Cartan normalisée associée à une structure conforme pseudo-riemannienne. La construction que nous proposons suit d’assez près la section 1.6 du premier chapitre de [ČS09], et est très liée à ce que nous avons exposé au chapitre précédent sur les prolongations de G-structures.

Hypothèse globale. Dans toute cette partie, sauf mention explicite du contraire, G désigne toujours un groupe de Lie, P un sous-groupe fermé de G et X = G/P l’espace homogène associé. Nous ferons de plus les hypothèses suivantes :

1. G est connexe ;

2. P ne contient aucun sous-groupe distingué non trivial de G, ce qui revient à supposer que P agit fidèlement (à gauche) sur X.

2.1 Généralités

De façon informelle, une géométrie de Cartan sur une variété M , d’espace modèle X, est une structure géométrique sur M , qui se définit dans le langage de la géométrie différentielle et qui partage les propriétés infinitésimales de X.