Premiers liens avec les fonctions méromorphes

On est en droit de s'attendre à ce que les multifonctions méromorphes généralisent les fonctions méromorphes au moins dans le sens suivant : si /(z) est une fonction méromorphe, alors la multifonction K(z) := {/(z)} devrait être méromorphe. Il s'agit en fait d'un cas particulier de multifonction qui admet des sélections méromorphes locales.

Définition 5.2.3. Une multifonction K : U —» «(C) admet des sélections méro­ morphes locales si, pour chaque A0 G U et chaque z0 G dK(X0), il existe un voisinage

V de Ao et une fonction méromorphe h définie sur V, telle que h(Xo) = ZQ et telle que pour tout A G V, on ait h(X) G K(X).

Intuitivement parlant, dire qu'une multifonction admet des sélections méromorphes locales, c'est dire que chaque point sur son bord se comporte comme une fonction méromorphe, lorsque A varie. Il est intéressant de noter qu'il n'est pas nécessaire d'exiger que les sélections soient admises en tout point de K(X), mais seulement sur le bord, pour obtenir le théorème suivant.

T h é o r è m e 5.2.4. Soit K : U —>■ K(C) une multifonction semi­continue supérieure­ ment, qui admet des sélections méromorphes locales. Alors K est méromorphe.

Démonstration. Considérons d'abord le cas où K prend toutes ses images dans K(C). Fixons E, v et u comme dans la définition 5.2.1 et montrons que u est sous­harmonique. La semi­continuité de u suit de celles de K et de v, et il suffit donc de vérifier l'inégalité de la moyenne.

Soit A0 G F . En appliquant le principe du maximum des fonctions sous­harmoniques

à la fonction z i­> t>(A0,z), on trouve que celle­ci atteint son maximum en un point

z0 G dK(X0). On a donc n(A0) = u(A0,z0). Puisque K admet des sélections méro­

morphes locales, il existe un voisinage V de Ao et une fonction h comme dans la dé­ finition 5.2.3. Définissons, sur V, la fonction w(X) := v(X,h(X)). Alors w est sous­ harmonique, avec w < u. On a donc, pour r suffisamment petit :

1 r2 n „ 1 r 2 n

U(X0) = w(Xo) < — w(X0 + r el 9) d 9 < — u(X0 + rel6)d6.

Donc, u satisfait l'inégalité de la moyenne, et K est analytique en Ao-

Considérons maintenant le cas où K peut prendre ses valeurs dans «(C). Soit A0 G U

tel que F(A0) ^ C, et prenons un point z0 G" K(X0)- Comme le graphe de K est fermé

(théorème 4.2.3), son complément est ouvert, et il existe donc un voisinage W de A0

tel que z0 G* K(X) pour tout A G W. En envoyant zo sur oo par une transformation de

Môbius g, la multifonction goK n'atteint pas oo sur W et l'argument ci-haut s'applique

pour démontrer qu'il s'agit d'une multifonction analytique. D

Réciproquement à la discussion du début de cette section, étant donné une multi- fonction méromorphe de la forme K(X) := {/(A)} où / est une fonction quelconque à valeurs dans C, on est en droit de s'attendre à pouvoir conclure que / est une fonc- tion méromorphe. Les multifonctions méromorphes ne généraliseraient ainsi pas trop les fonctions méromorphes. C'est l'objet du prochain théorème, qu'on ne démontre que partiellement par manque de préalables.

Théorème 5.2.5. Soit K : U —y «(C) une multifonction méromorphe de la forme K(X) = {/(A)}, pour une certaine fonction f : U -f C. Alors f est méromorphe sur U.

Démonstration. D'abord, la distance maximale 8H coïncidant avec la distance usuelle dans le cas des ensembles qui sont des singletons, la semi-continuité supérieure de K implique que / est continue sur U.

Fixons maintenant Ao G U et montrons que / est méromorphe au voisinage de A0.

Puisque K est méromorphe, il existe une transformation de Môbius g telle que g o K est analytique sur un voisinage V de Ao- Soit D un disque centré en Ao tel que D C V. On veut montrer que g o f est holomorphe sur D.

Soit A l'ensemble des fonctions </>:£>—> C continues telles qu'il existe une multi- fonction analytique L définie sur un voisinage de D de la forme L(X) = {(fi(X)} pour tout X E D. Clairement, on a g o / G A. Or, on peut montrer (voir la preuve de [Rai, Théorème 2.6]) que A satisfait les hypothèses d'une version réciproque du principe du maximum11 (voir [Ru, Théorème 12.13]) de laquelle on conclut que toute fonction dans

A est holomorphe sur D. D

Il y a donc un lien intrinsèque entre les multifonctions méromorphes et les fonctions méromorphes ordinaires. Il est entre autres possible de composer les multifonctions

II. C'est-à-dire que A est une algèbre contenant les polynômes et telle que toute fonction dans A admet son maximum sur D en un point de dD.

méromorphes avec des fonctions méromorphes, pour en obtenir de nouvelles. C'est ce que raconte le prochain théorème.

T h é o r è m e 5.2.6. Soient U Ç C et D Ç C ouverts, et soit / : ^ x D ­ > C méromorphe en chacune de ses variables. Soit, de plus, K une multifonction méromorphe sur U telle que pour tout X E U, on ait K(X) C D. Alors la multifonction

f ( X , K ( X ) ) : = { f ( X , z ) : z E K ( X ) } est méromorphe sur U.

Démonstration. Soit d'abord A0 G U, et on veut montrer que A «—>■ f(X,K(X)) est

semi­continue supérieurement en A0. Or, ceci découle directement du fait que K est

elle­même semi­continue en A0, et du fait que / soit continue partout.

Soit maintenant A0 G U tel que /(A0, F(A0)) ^ C, fixons z0 G" /(A0, F(A0)), et soit

<7i une transformation de Môbius qui envoie z0 sur oo. Par la continuité de / , il existe

un voisinage ouvert V de A0 et un voisinage ouvert W de K(X0) tels que g\ o f ne prend

pas la valeur oo sur V x W. La fonction g\ o / y est donc holomorphe en chacune de ses variables. De plus, puisque K est méromorphe, alors quitte à rétrécir V, on peut s'assurer qu'il existe une transformation de Môbius g2 telle que g2 o K est analytique

sur V.

On veut donc montrer que la multifonction

g io f(X,K(X)) = {9 lo f ( X , g ï \ z ) ) : z E g2o K(X)}

est analytique sur V.

Soit donc F Ç V ouvert, et v(X, z) pluri­sous­harmonique sur un voisinage de Gr(<7i o /(A, K ( X ) ) \ \GE ) ­ Pour A G F , considérons la fonction u ci­contre :

u(A) := mV{ v ( X , z ) : z eg io f ( X , K ( X ) ) }

= sup{v(A, gx o /(A, g2 l(z))) : z E g2o K(X)}.

La composition d'une fonction pluri­sous­harmonique avec une fonction holomorphe étant elle­même pluri­sous­harmonique (il s'agit essentiellement d'une conséquence du même phénomène pour les fonctions sous­harmoniques), on déduit que la fonction (A, z) i­> v(X,gi o f(X,grT1(z))) est pluri­sous­harmonique. Il suit, par l'analyticité