Densifier une sous-multifonction

La première chose à essayer, quand on tente de généraliser un résultat d'une théorie donnée vers un cadre plus général, est de regarder la preuve existante, dans la théorie de départ, et de remplacer les résultats utilisés par leur analogue approprié de la nouvelle théorie. Qu'observe-t-on donc si on examine la preuve du théorème 6.1.1 ?

La stratégie était la suivante : en utilisant le théorème des fonctions implicites ainsi que le fait que les points périodiques répulsifs se trouvent toujours dans l'ensemble de Julia, on construisait localement une fonction holomorphe h telle que h(X) G ^7(A) pour chaque A. Ensuite, en utilisant la densité de l'orbite arrière de h(X) dans J(X), on parvenait à écrire J(X) sous la forme

J W = U

n(A),

où chaque Jn était une multifonction méromorphe continue. Le résultat local suivait

enfin en appliquant le théorème 5.2.11. Il n'y avait plus, ensuite, qu'à globaliser le résultat par des arguments de nature topologique.

Le passage d'un résultat local à un résultat global, pour le cas de la théorie aléatoire, pourra se faire exactement comme dans le cas classique. Pour obtenir un résultat local, donc, il ne nous causera aucun problème de remplacer la densité de l'orbite arrière d'un

point dans l'ensemble de Julia par la densité de l'ensemble mentionné au corollaire 3.5.4. m Cependant, avant d'appliquer un résultat de densité, il nous faut un point de

départ h(X) qui bouge holomorphiquement selon A. La difficulté sera de déterminer un tel point. En effet, tel qu'il fut discuté à la suite du théorème 4.3.6, aucune notion de point périodique répulsif n'est présente en itération aléatoire, ce qui a pour conséquence qu'on ne connaît pas de moyen d'affirmer, par un simple système d'équations, qu'un point donné appartient à l'ensemble de Julia. C'est là qu'apparaît la faiblesse du critère de Montel (théorème 2.1.3) qui est un critère permettant de déterminer qu'un point appartient à l'ensemble de Fatou, mais qui ne dit rien pour nous aider à déterminer qu'un point appartient à l'ensemble de Julia.

Cela conduit à la question de déterminer une condition suffisante simple pour dire qu'un point appartient à l'ensemble de Julia, ou plus précisément, de construire lo- calement une fonction holomorphe telle que h(X) G U~(X) pour chaque A. Pour nos besoins, il serait même suffisant de construire une multifonction analytique H telle que F(A) Ç J(X) pour chaque A, quitte à prendre simplement F(A) = {h(X)} si une fonction holomorphe adéquate h était trouvée.

Question 1. Soient Î / Ç C ouvert et (Px)x€U une famille analytique de suites bornées de polynômes. Alors pour chaque Ao G U, construire un voisinage ouvert V de Xo et une multifonction analytique H : V —> «(C) tels que, pour chaque A G V, on ait H(X) ç J(X).

Il va sans dire que l'auteur n'est pas parvenu à obtenir une solution à la question 1, bien que toutes les idées subséquemment présentées dans cette section partent de celle- ci, qui est d'approcher une multifonction méromorphe qui se trouverait dans J par les moyens à notre disposition. On peut tout de même démontrer rigoureusement qu'une solution à la question 1, si elle existe, résoudrait la conjecture 6.3.1. En fait, pour qu'elle permette de régler directement le cas de la partie (iii) de la conjecture, il faudrait faire l'hypothèse que la multifonction H soit continue. Mais on a dit plus haut que la partie (iii) était déjà démontrée (par d'autres moyens) et il est donc inutile de faire cette hypothèse supplémentaire.

Théorème 6.3.2. Soit U Ç C ouvert et (Px)xeu u n e famille analytique de suites

bornées de polynômes. Supposons, de plus, que pour chaque A0 G U, il existe un voisinage

ouvert V de Xo et une multifonction analytique H : V —> «(C) tels que, pour chaque X E V , on ait H(X) Ç J(X). Alors :

(i) J * est une multifonction méromorphe sur U,

III. Qu'on a d'ailleurs présenté, à la section 3.5, comme étant l'analogue du résultat classique utilisé ici.

(U) dJ*(X) Ç J{X) pour tout X E U \ E , où E est un ensemble polaire.

Démonstration. Il suffit de démontrer le résultat localement, le cas global en découlant exactement comme dans la preuve du théorème 6.1.1. Fixons donc A0 G U, et soit V

le voisinage de A0 mentionné dans l'énoncé du théorème. Pour tout A G V et n G N,

posons :

Jn(A) := {z G C : Fx-M) e *A;«(#(A))} = F^(Fx,n(H(X))).

Par le théorème global des multifonctions implicites (théorème 5.2.7), chaque Jn est

une multifonction méromorphe sur V. Or, pour chaque A, puisque H(X) Ç J(X), en utilisant le théorème 3.5.4 et le fait que l'ensemble de Julia est fermé, on trouve :

LU(A) = IJ F

-

(F

(F(A)))

neN neN = U U F^n(Fx;n(z)) neNzetf(A) U U ^ n ( ^ A ; n ( z ) ) zeH(A) neN

= U JW

= JW

Le résultat suit donc en appliquant directement le théorème 5.2.11. D

Une idée pour tenter de construire une multifonction H appropriée est la suivante. Pour Ao G U donné, soit V un voisinage ouvert de Ao sur lequel un rayon d'échappe- ment R commun à tous les PA existe. On fixe alors un point a G C tel que \a\ = R puis on considère, pour chaque n G N, la multifonction suivante :

FA-n(a):={zGC:FA ;„(z) = a}.

Encore par le théorème global des multifonctions implicites, chaque F^.^a) est méro- morphe sur V en tant que multifonction de A. De plus, s'il s'avérait qu'une sous-suite de ces multifonctions converge simplement vers une multifonction limite H, il serait facile, en utilisant le théorème 3.4.2, de démontrer qu'on aurait H(X) Ç J(X) pour tout A G V. On est donc à la recherche d'un espèce de critère de Montel pour les multifonc- tions méromorphes qui nous indiquerait non seulement qu'une sous-suite convergente existe, mais qu'elle converge dans un sens assez fort pour que sa limite H soit une multifonction méromorphe.

Toutefois, après de nombreuses recherches, l'auteur n'est jamais parvenu à trouver un tel critère qui soit assez fort pour être appliqué ici, le plus fort ayant croisé son

chemin ne s'appliquant qu'aux multifonctions analytiques finies dont la cardinalité est uniformément bornée (voir [N, Théorème 1.3.33]). On tentera toutefois de contourner cette difficulté à la section 6.3.3, où les multifonctions utilisées seront essentiellement basées sur les multifonctions Fyn(a), et où aucun critère de Montel ne sera nécessaire.

On pourrait envisager, plutôt que de considérer pour chaque n toute la multifonc- tion Fï.n(a), de prendre à chaque fois seulement une branche inverse holomorphe hn(X)

de FA;n en a. On pourrait ainsi appliquer le critère de Montel classique pour obtenir une

fonction holomorphe limite h(X) G J(X). Le problème ici serait, par contre, qu'il fau- drait remplacer le théorème global des multifonctions implicites par le théorème local classique des fonctions implicites. Pour ce faire, il faudrait d'abord contrôler les points critiques des FA;n pour s'assurer qu'ils demeurent loin de a, ce qui n'a rien d'évident.

Or, même en supposant que cela soit faisable, on ne trouverait, pour chaque n, qu'un voisinage Vn de Ao, dépendant de n, sur lequel la fonction hn serait définie ; rien ne

permettrait donc de conclure que h serait définie en plus d'un seul point.

L'embêtement général se résume donc à ceci. Avec les fonctions holomorphes, on a de bons théorèmes de convergence mais un mauvais théorème des fonctions implicites. Avec les multifonctions méromorphes, c'est tout le contraire. Comment trouver l'équilibre ?

6.3.2 Les idées qui fonctionnaient pour le mouvement holo-