Les idées qui fonctionnaient pour le mouvement holo morphe

Dans l'article [C], M. Comerford adapte le résultat de Mané, Sad et Sullivan sur le mouvement holomorphe de l'ensemble de Julia, pour le cas des suites bornées de polynômes. En ne se plaçant que dans le sous-ensemble ouvert W Ç U sur lequel les suites bornées de polynômes sont hyperboliques (ce qui signifie, essentiellement, que les points critiques des compositions FA;„ demeurent uniformément loin de l'ensemble

de Julia), il parvient à construire localement une fonction holomorphe h qui se trouve dans J . Un argument de densité semblable à celui présenté au théorème 6.3.2 conduit alors au mouvement holomorphe recherché.

La question qu'on étudie dans cette section est donc la suivante. Comment construit- on cette fonction holomorphe h et est-il possible, en laissant tomber l'hypothèse d'avoir des suites hyperboliques, d'utiliser la même stratégie pour construire une multifonc- tion méromorphe? Car il s'agit tout de même d'une notion plus faible que celle de mouvement holomorphe.

La stratégie dans la construction de h est la suivante. Soit (PA)Aew u n e famille

analytique de suites bornées hyperboliques de polynômes, et fixons Ao G W. Pour m G N, on définit la famille (P^x^w, où, pour chaque A, on a Pm = (FA"n)nGN avec

p m f PA;n- SI 1 < H < 771.

[Px0;n, si m < n.

En d'autres mots, on éteint la dépendance de ces suites par rapport à A, à partir du rang m. Au risque de confondre davantage le lecteur, les ensembles de Julia des suites PTO

seront notés Jm(X), alors qu'on se souviendra que dans ces quelques paragraphes, le m

sert d'indice et non d'exposant. Fixons z0 G J7"(A0) et, pour chaque m, considérons

l'équation

FA;TO(W) = FAo;m(z0).

Le théorème des fonctions implicites, renforcé par l'hypothèse que les suites PA soient hyperboliques, permet, après moult détails, de trouver un voisinage V de A0 (indépen-

dant de m) tel que pour tout ra, l'équation ci-haut possède une solution w =: hm(X)

holomorphe sur V. En manipulant le théorème 2.2.2, on trouve, de plus, que pour tout ra G N et A G V, on a hm{A) G Jm(X). Ensuite, comme les multifonctions Jm sont uni-

formément bornées par un certain rayon d'échappement, les hm le sont également. Par

le critère de Montel (théorème 2.1.3), une sous-suite de ces dernières fonctions converge localement uniformément vers une fonction h : V —» C holomorphe.

Enfin, par un autre résultat dans l'article de Comerford (voir [C, Théorème 3.2]), si une suite bornée de polynômes est hyperbolique en un point donné, alors son en- semble de Julia dépend continûment de ses coefficients.IV Puisque, pour tout A G U,

on a Pm —>• PA ponctuellement, alors en utilisant le théorème A.2.3.(i), on conclut que

MA) G J(X).

Bref, après un résumé très informel des idées utilisées dans l'article de Comerford, voici pourquoi celles-ci ne semblent être d'aucune aide pour attaquer notre question 1. D'abord, il faut remplacer l'utilisation du théorème des fonctions implicites par quelque chose de plus approprié, car sans l'hypothèse que PA soit hyperbolique en A G U, il n'est pas possible de trouver le voisinage V de façon à ce qu'il soit indépendant de m. Le théorème global des multifonctions implicites (théorème 5.2.7) peut alors aisément prendre le relais. En effet, en utilisant le théorème 2.2.2, on trouve que pour tout m G N et A G F , on a

Jm(X) = { z E C : Fx.,m(z) G FA0;m(J(A0))}.

Donc chaque Jm est méromorphe sur U par le théorème 5.2.7.

Il serait donc merveilleux de pouvoir démontrer que la suite de multifonctions (i7m)meN, ou une sous-suite de celle-ci, converge vers une multifonction limite, dans

un sens assez fort pour que cette limite soit une multifonction méromorphe. Il serait d'autant plus formidable que cette limite s'avère à coïncider avec J*.

Ce qu'il manque fondamentalement, comme à la section précédente, c'est un es- pèce de critère de Montel qui s'appliquerait aux multifonctions méromorphes et qui permettrait de conclure qu'une sous-suite de (j7m)meN converge vers une multifonc-

tion méromorphe. Si, toutefois, une multifonction limite méromorphe H existait au voisinage d'un certain A, le fait que l'ensemble de Julia dépende semi-continûment infé- rieurement de ses coefficients (théorème 4.3.9) permettrait immédiatement de dire que J(X) Ç H(X). Puisque H serait semi-continue supérieurement, la minimalité de J * permettrait même de déduire que J*(X) Ç H(X).

Par contre, pour obtenir l'autre inclusion, il faudrait essentiellement que J * dépende semi-continûment supérieurement des coefficients de PA, ce qui est beaucoup plus exi-

geant que de simplement dépendre semi-continûment supérieurement de A. C'est néan- moins cette confusion linguistique qui a conduit l'auteur à croire, pendant un certain temps, que sa piste en était une bonne, jusqu'à-ce qu'il fasse la simple observation suivante. Pour tout ra G N, on a t7m(Ao) = J ( X Q ) , car les suites Pm sont inchangées

en Ao- Ainsi, si H est une multifonction limite dont on suppose l'existence, on doit avoir F(A0) = J ( X Q ) . Ceci contredit le fait que J*(XQ) Q F(A0) dans le cas (fort possible)

où J n'est pas continue en Ao- Ainsi, aucune multifonction limite méromorphe n'existe au voisinage de A0 lorsqu'on se trouve dans ce dernier cas, et il n'est donc pas étonnant

qu'aucun théorème du type Montel ne s'applique.

Suite à cet échec, l'auteur ne s'est pas intéressé davantage à savoir ce qui se produit dans le cas où J est continue en A0, cette question devenant un peu dépourvue d'intérêt.

Il la pose tout de même à son lecteur.

Question 2. À la lumière de la discussion précédente, supposons que J soit continue en Ao- Cela implique-t-il l'existence d'une multifonction limite H méromorphe au voi- sinage de A0, pour la suite (Jm)men ? Si tel est le cas, a-t-on que H = J sur ce même

voisinage ?