Capacité logarithmique

Adoptons, le temps de ces quelques paragraphes, le regard du physicien amateur, afin d'interpréter quelques formules. Soit F C C un ensemble, et fi une mesure borélienne de probabilité sur C, dont le support est compact et contenu dans F . Voyons la mesure // comme une fonction qui munit chaque particule (chaque point) de F d'une certaine charge (ou d'une masse ponctuelle). Chacune de ces particules, disons z, est soumise à une force de répulsion par rapport aux autres particules, qui est fonction de leur charge et de la distance qui les sépare de z. Cette force confère à z une certaine énergie potentielle. Dans un espace en dimension deux (comme le plan complexe), cette quantité, appelée potentiel logarithmique en z, est obtenue par la formule suivante :

p»(z) ■= / log | ­dp(w). J \z — w\

Si on veut calculer l'énergie totale contenue dans F avec la mesure /J, il suffit de sommer, par une intégrale, l'énergie potentielle contenue en chaque point. On définit ainsi la fonction d'énergie :

I(n) — / pft(z)dp(z) = / / log ­ ­dn(w)dp(z).

J J J z — w\

Or, dans la nature, les charges tendent à se distribuer de façon à minimiser l'énergie potentielle d'une structure. On s'intéresse donc à l'énergie minimale que peut théori­ quement contenir F . Cette quantité s'appelle la c o n s t a n t e de Robin de F . De façon équivalente, en voyant les charges comme étant attractives plutôt que répulsives, on s'intéresse au supremum de la fonction —/(/i), lorsque la mesure /x varie. En prenant son exponentielle pour rendre le tout positif, on définit la capacité logarithmique de F , comme étant :

où le supremum est pris sur toutes les mesures boréliennes de probabilité sur C, à support compact dans F .

Proposition B.2.1. La capacité logarithmique présente les propriétés suivantes : (i) Si Ei Ç F2, alors cap(Fi) < cap(F2),

(ii) Si F C C est compact, alors cap(F) = cap(dF),

(iii) Si F i D K2D ­ • ■ sont compacts et si K — ( "| Kn, alors cap(F) = lim cap(Fn),

neN n _ > o c

(iv) Si Bi Ç B2 C • • • sont boréliens et si B := (J Bn, alors cap(B) = lim cap(F„).

neN n _ > o c

Démonstration. Ces résultats constituent les théorèmes 5.1.2 et 5.1.3 du livre de Rans­

ford [Ra3]. D

Sauf dans les cas où on s'intéresse à la capacité de suites monotones d'ensembles, la capacité logarithmique cesse de présenter d'aussi belles propriétés que celles d'une mesure (comme la sous­additivité, par exemple). Il existe tout de même une certaine relation entre la capacité et l'union d'ensembles, à tout le moins dans le cas borné : T h é o r è m e B.2.2. Soit (Bn)n e N une suite de boréliens dans C et soit B := \Jn e^ Bn.

Si diam(F) < R pour un R > 0, alors cap(B) < R et

! <y !

log(/?/cap(B)) ­n^ l o g ( i î / c a p ( B „ ) ) '

où on interprète 1/0 = oo et l/oo = 0.

Démonstration. C'est la partie (a) du théorème 5.1.4 du livre de Ransford [Ra3]. D

Le calcul de la capacité logarithmique d'un ensemble donné est un problème difficile qui peut être traité, dans certains cas simples, avec des outils de la théorie du potentiel comme les fonctions de Green. Une table de résultats de calcul pour quelques cas est disponible dans le livre de Ransford [Ra3, Table 5.1]. Pour nous, il suffira de nous souvenir que la capacité d'un disque fermé de rayon r est égale à r (voir [Ra3, Corollaire 5.2.2]). La propriété suivante nous sera également utile.

T h é o r è m e B.2.3. Soit F C C compact, et P(z) := Yln = 0anzn un polynôme avec

ad ^ 0. Alors :

\ \ad\ J 1/d

Démonstration. Il s'agit du théorème 5.2.5 du livre de Ransford [Ra3]. D

À défaut de pouvoir toujours calculer explicitement la capacité logarithmique d'un ensemble donné, il existe un certain nombre d'inégalités permettant de l'estimer. Par exemple, pour l'image d'un ensemble compact par une fonction Lipschitz, on a le théo- rème suivant.

Théorème B.2.4. Soit K C C compact et f : F —> C une fonction Lipschitz, c'est- à-dire une fonction satisfaisant, pour tout z,w G K, l'inégalité suivante :

\ f ( z ) - f ( w ) \ < A \ z - w \a

pour certains A, a > 0. Alors cap(/(F)) < A cap(F)Q.

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